例谈离心率的基本题型及求解策略

☉江苏省南京市第一中学 李毓涵

例谈离心率的基本题型及求解策略

☉江苏省南京市第一中学 李毓涵

求椭圆与双曲线离心率问题是高考中的热点，构造不等式或等式是核心问题，而求离心率的取值范围是解析几何中的一类典型问题.这类问题的求解过程中往往涉及多个知识点，综合性强，方法也多种多样.本文通过几例，给出求解这类问题的几种思维策略.

一、根据所给圆锥曲线求离心率的取值范围

例1 已知F（-c，0），F（c，0）为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且则此椭圆离心率的取值范围为________.

策略一（数形结合）：设P的坐标为（x0，y0），由，得又因为P在椭圆上，得联立

策略二（转化为点P坐标）：设P的坐标为（x0，y0），由，得.将代入椭圆方程由

策略三（三角代换）：P在椭圆上，于是可设P的坐标为（a c o s θ，b s i n θ），代入得由

策略四（运用焦半径）：设∠F1P F2=α，由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，由余弦定理得得从而解出由

策略五（运用均值不等式）：由余弦定理得cosα=c2，代入上式得.由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，根据均值不等式得a2≤3c2.又因为|PF1||PF2|≤a2-c2，即c2≤a2-c2，2c2≤a2，

例2设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，求离心率e的取值范围.

策略一（利用曲线中x的范围）：设P（x，y），又知F（1-c，0），F（2c，0），则

由∠F1PF2=90°，得，即（x+c，y）·（x-c，y）=0，得x2+y2=c2.

上述解法其实是将点P的轨迹方程与椭圆的标准方程联立方程组，求出点P的横坐标后，利用椭圆中横坐标的取值范围，建立起a、b、c的不等式，进而求出离心率e的取值范围.

策略二（利用二次方程根的判别式）：设r2，由椭圆定义知.又知，得所以r1，r2是方程2b2=0的两个实数根，因此得e=，所以

利用椭圆定义和勾股定理，得到焦半径r1，r2是关于方程x2-2ax+2b2=0的两个实根后，再利用一元二次方程根的判别式，建立起a、b的不等式，是本解法的关键.判别式法是高中数学解题中经常采用的方法.

策略三（利用三角函数有界性）：记由正弦定理知，即

上述解法中先利用椭圆定义和正弦定理，将离心率转化为三角函数式，再利用三角恒等变形和三角函数的有界性，求得离心率e的取值范围，考查的知识点较为全面.

策略四（利用焦半径公式）：设y），由焦半径公式得r1=a+ex，r2=a+ex.由勾股定理得得又P点在椭圆上，且x≠±a，所以

策略五（利用基本不等式）：设由椭圆定义，有r1+r2=2a，而r1+r2=2a，平方后得

又∠F1PF2=90°知所以于是所以又0＜e＜1，所以

上述解法利用基本不等式建立起a、c的不等关系，使本题的解法变得更加简捷.基本不等式法在求圆锥曲线的取值范围中经常会用到，同学们要加以重视.

策略六（利用图形的几何特性）：由∠F1PF2=90°知，点P在以原点为圆心，|F1F2|=2c为直径的圆上.

又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点，故有c≥b，所以c2≥b2，即c2≥a2-c2，2c2≥a2，所以

本解法巧妙借助图形的几何特性，利用数形结合，迅速找出了b、c的不等关系，进而求出离心率e的取值范围.

通过两例常见解题策略的阐述，提示我们在求解圆锥曲线离心离的取值范围时，关键在于根据圆锥曲线的定义、性质以及图形的几何特征，充分挖掘题中隐含条件，建立起关于a、b、c的不等式关系，进而求出离心离的取值范围.

二、根据题目条件中已知参数的范围求离心率的取值范围

例3椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若|PQ|=λ|PF1|，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

分析：本题原解计算量很大，而且用到利用导数求范围，学生很难算对，下面可以通过整体换元求范围，关键还是如何构造不等式求椭圆离心率的取值范围.

解：时单调递减，所以，，联立得将代入，得，解得得