向量数量积在高考中的几点运用

☉山东省商河县第一中学 王 刚

向量数量积在高考中的几点运用

☉山东省商河县第一中学 王 刚

解法二：不妨设此圆的圆心为O，

平面向量是高中数学的重要内容之一，它是联系几何与代数的重要纽带，它作为一种数学工具有着广泛的应用，在高考命题中一直备受青睐.利用向量的几何意义，屡屡成为填空或选择的压轴题，使得很多考生只能对平面向量问题产生了望洋兴叹的想法.笔者结合平时的教学实践，谈谈向量数量积在解题教学中的应用.

一、向量数量积在平面几何中的应用

利用向量数量积及运算律解决几何问题一般分为三步：一是用向量表示几何关系；二是进行向量运算；三是还原为几何结论.

例1 如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，但不平行，点M，N分别是AD，BC的中点，NM的延长线与BA，CD的延长线分别于点P，Q，求证：∠APM=∠DQM.

图1

证明两角相等，可以通过两角的某一三角函数值相等来证明，但是要注意两角要在三角函数的同一单调区间上.

因为点M，N分别是AD，BC的中点，

充分利用几何中的量化关系来解决该问题，当然要注意两角要在同一单调区间上才能正确求解.

二、向量数量积在最值问题中的运用

与向量有关的最值问题常常需要转化为函数的最值问题，特别是二次函数与三角函数，即寻找变量，借助于向量数量积的坐标运算构造函数再利用函数的性质求其最值.

例2过半径为2的圆外一点P作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则的最小值为________.

图2

解法一：如图2所示，不妨设此圆的圆心为O，∠APO=θ，为此可设则求的最小值.

解法三：不妨设此圆的圆心为O，∠APO=θ，，此时令，则x＞0，即，所以

图3

解法四：建立如图3所示的平面直角坐标系，设∠AOP=α，则 A（2cosα，2sinα），B（2cosα，得：

三、向量数量积解决非向量题

向量作为一种解题工具，应用极为广泛，一直是高考和高中数学联赛的重点考查内容.向量知识融数形于一体，为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间.

1.求代数式的最值

例3 若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是_______.

解：因为|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|（2x+y-2）-（6-x-3y|=|3x+4y-8|，x2+y2≤1，所以|3x+4y-8|=-（3x+4y）+8.构造平面向量α=（3，4），β=（x，y），则因为α·β=|α·||β·|cos＜α，β＞≤|α·||β|，当且仅当α与β同向时取等号，所以则-（3x+4y）≥-5，即|3x+4y-8|≥3，当且仅当且x2+y2=1，即时，等号成立，所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.

通过构造向量的方法，简化了运算，容易理解掌握.

例5已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是_______.

解：因为|2x+y-4|+|6-x-3y|≥（|2x+y-4）-（6-x-3y|=|3x+4y-10|，x2+y2≤1，所以|3x+4y-10|=-（3x+4y）+10.构造平面向量α=（3，4），β=（x，y），则≤1，α·β=3x+4y.因为-|α·||β|≤α·β=|α·||β·|cos〈α，β〉，当且仅当α与β反向时取等号，所以即|3x+4y-10|≤15，当且仅当＜0且x2+y2=1，即时等号成立，所以|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15.

2.利用取等号求值

例6若实数a，b，c满足a+2b+3c=6，a2+4b2+9c2=12，则abc的值是_______.

解：构造空间向量α=（a，2b，3c），β=（1，1，1），则|α|=因为α·当且仅当α与β同向时取等号，所以，当且仅当取等号.又因为a+2b+3c=6，所以

3.证明不等式

例7已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a.

（1）求a的值；

（2）若p，q，r是正实数，且满足且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.

解 ：（1）因为（fx）=|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3，所以（fx）的最小值为a，故a的值是3.

（2）证明：因为正实数p，q，r满足p+q+r=3，构造空间向量α=（p，q，r），β=（1，1，1），则α·β=p+q+r=3.因为α·β=|α·||β·|cos〈α，β〉≤|α·||β|，当且仅当α与β同向时取等号，所以3≤%p2+q2+r2·%3，即，即p2+q2+r2≥3，当且仅当0，即p=q=r=1时取等号.因此，命题得证.

向量的教学如果仅止于课本，则无益于学生数学思维的培养，对数学问题的解决则没有深度和广度.如果能够引导学生进行适当的启发式教学，可培养学生举一反三的能力，提高学生学习数学的兴趣.通过向量数量积的计算公式进行多方面的应用，既开阔了视野，又为今后数学学习做了铺垫，可谓一举多得.