基于多想少算的数学解题策略*

☉四川师范大学数学与软件科学学院 李雪梅

☉内 江 师 范 学 院 赵思林

基于多想少算的数学解题策略*

☉四川师范大学数学与软件科学学院 李雪梅

☉内 江 师 范 学 院 赵思林

《数学考试大纲》要求学生的运算能力会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理的、简捷的运算途径，这就要求我们在平时的解题训练中要努力选取合理的方法，寻找简捷的途径，减少运算量，提高运算速度，从而达到多想少算的效果.数学作为思维的科学，更应“多动脑”，即“多想少算”.［1］这里，“多想”是多做有价值的多向、多面、多次之想，“少算”是少做盲目、繁杂、低效之算.高考数学命题将“多考点想，少考点算”作为一条基本的命题理念，在近年的高考试题中得到了充分的体现.多想少算作为解高考数学题的基本策略，其具体的思维策略有很多，比如：代换策略、类比策略、运用定义策略、数学思想策略、分离参数策略、联想策略、逆向思维策略、猜想策略、极限策略、基本量策略等.

一、代换策略

在求解数学问题的过程中，把其中某个代数式看成一个整体，用一个新变量作代换，从而使问题的解答便于进行，这种方法叫做代换法.代换法既是一种重要的解题方法，也蕴含有丰富的解题技巧，其应用目的是把复杂的结构形式转化为简单的结构形式，把隐含的条件显露处理，把分散的条件联系起来，使问题化难为易，化繁为简，化陌生为熟悉.在实际应用时，应根据所给问题的特点，灵活选取适当的代换方法，从而提高解题能力.

例1（2017年高考全国卷Ⅱ理23题）已知a＞0，b＞0，a2+b2=2，证明：

（1）（a+b）（a3+b3）≥4；

（2）a+b≤2.

证明：（1）因为a＞0，b＞0，a2+b2=2，所以（a+b）（a3+b3）=（a+b）2（a2+b2-ab）=（a2+b2+2ab）（a2+b2-ab）=（2+2ab）（2-ab）=-2（ab）2+2ab+4.

所以，当ab=1时，（a+b）（a3+b3）取到最小值4，即（a+b）（a3+b3）≥4.

点评：本题是一道证明不等式的问题，在求解过程中运用了等量代换法，从而简化了问题的求解过程.高考中数学题目类型繁多，解题方法灵活多变，其中代换法不但能开拓灵活巧妙的解题思路，而且有化难为易、化繁为简的作用.其中代换法在不等式证明、三角证明、求极限等题目中都有体现，因此教师在教学中应注意加强代换法的渗透教学.

二、类比策略

类比是根据两个不同的对象之间某些属性类似，从一类对象的某种属性猜想到另一类对象也具有这种属性的一种推理方法.类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来，使得“柳暗花明又一村”.正如康德提到：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进.”

例2已知x，y，z均为实数，且xy≠-1，yz≠-1，zx≠

证明：设A=α-β，B=β-γ，C=γ-α，于是x=tanα，y=tanβ，z=tanγ.

所以tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC成立.

点评：本题观察结论中需要我们求证的等式，可以发现等式的结构特征与tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC（A+B+C=k，k∈Z）相类似，所以可以类比到这个三角恒等式上，用三角函数换元法求解.本题通过观察发现所证不等式与三角恒等式结构之间的类似，进而进行类比求解.因此，其解法较新颖、灵活，考查了学生的数学思维能力及对知识的理解深度，是一道值得研究的题目.

三、运用定义策略

中国科学院李邦河院士认为：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.”［2］利用概念的定义解题，可以深化理解概念，缩短解题过程，优化思维品质，开发学习潜能.

图1

例3（2016年江苏卷10题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是________.

解析：由题意得F（c，0），直线与椭圆方程联立可得，由∠BFC=90°可得则

由b2=a2-c2可得，则

点评：本题考查椭圆的标准方程、离心率及直线与椭圆相交问题等知识点.在求解过程中将直线方程与椭圆方程联立求得B，C两点的坐标，再利用向量法求解，从而求得椭圆的离心率.本题的关键在于要熟知椭圆的定义及其离心率的定义，只有掌握了定义才能够解答题目.

例4（2017年北京卷理、文5题）已知函数则（fx）（ ）.

A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在R上是减函数

解析，所以函数是奇函数，并且3x是增函数是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数（fx）是增函数.选A.

点评：本题考查了奇函数、偶函数的定义，以及如何判断一个函数是增函数还是减函数.既考查了函数奇偶性，又考查了函数的单调性，题目虽然不是很难，但是考查的知识点还是比较全面具体的，因此本题具有一定的研究价值.

四、数学思想策略

思想是数学的灵魂，是对数学知识、方法、规律的一种本质认识.所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想.

解析：由y=loga（x+1）+1在［0，+∞）上递减，则0＜a＜1.又由f（x）在R上单调递减，则02+（4a-3）·0+3a≥（f0）=1，

图2

由图像（图2）可知，在［0，+∞）上|（fx）|=2-x有且仅有一个解，故在（-∞，0）上|（fx）|=2-x同样有且仅有一个解.

（4a-2）2-4（3a-2）=0，解得或1（舍）.选C.

点评：此题以选择题的形式出现显然大大降低了难度，学生可以根据选项运用排除法进行解答，若此题以解答题的学生出现，我们就可以采用分类讨论，运用数形结合思想使问题化难为易，变抽象为具体，从而达到事半功倍的效果.

当1≤3a≤2时，由图像（图2）可知，符合条件.

综上

五、分离参数策略

分离参数作为高中数学中的一种常用的方法，有极为重要、广泛的应用.不少数学问题中对参数进行分类讨论往往比较烦琐，因此常用分离参数的方法解决问题，从而提高数学教学的有效性和学生分析问题、解决问题的能力.

例6若关于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集为Ø，求实数a的取值范围.

解析：现将条件转换成“对任意的x∈R，均有ax2-|x+1|+2a≥0”，再将参数a分离出来，转化成函数问题.

①当t=0时，g（0）=0；

点评：本题要求根据含参数不等式及其解集，求参数a的取值范围，解决此类问题的较常用且较简单快捷的方法是分离参数.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.

六、联想策略

联想是将研究对象的特点与个体自身的知识经验联系起来进行想象的思维形式，是一种自觉的、有目的的想象.联想分析法是指运用联想的方式分析并解决数学问题的一种方法.联想分析法能在较短的时间内，洞察问题结论，发现解题思路，从而快速求解数学题目.

例7（2009年四川卷）已知函数（fx）是定义在实数集R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有x（fx+1）=）的值是（ ）.

解析：在解决抽象函数问题时，可以联想具体的函数并类比它的性质，从而得出结论.本题联想到函数y=xsin2πx满足题设的条件x（fx+1）=（1+x）（fx），可以用特殊值法，取y=xsin2πx，则

点评：本题由抽象函数联想到具体函数，通过类比具体函数的性质，从而得出结论.在求解这类题目时，对学生的思维层次及对知识的熟练程度都有一定的要求，当学生对相关知识都比较熟练的时候联想比较容易发生，从而“熟能生巧”，快速解决问题.

七、逆向思维策略

逆向思维又称为反向思维，是从对立的角度考虑问题的思维方式.当正向思考有困难时，不妨转换思考方式，进行逆向思考，常能化难为易，使问题迅速而准确地解决.善于逆向思维是思维灵活的一种表现.

例8在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个.

分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，讨论起来比较复杂，因此我们换一个角度思考，从反面入手考虑，用间接法求解.

解：显然，不能被5整除的数末位数字不是0，也不是5.末位数字是0或者5的数可以被5整除.

点评：本题按习惯从“正面入手”求解比较复杂.因此，我们考虑问题的反面，即先求出可以被5整除的四位数，进而求出不能被5整除的四位数.从反面考虑问题，优化了解题的过程，从而快速求解，达到了事半功倍的效果.

例9（2017年浙江卷16题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法（.用数字作答）

解析：由题意可得，总的选择方法为种，其中不满足题意的选法有种，则满足题意的选法有

点评：本题若采用正向思维解答存在一定的难度，学生可能会遗漏掉一些情况.因此采用逆向思维法求解，首先计算出总的选择方法和不满足题意的情况，再相减即可得到满足题意的选法.在高考中，遇到类似问题而无法求解时，不妨尝试利用逆向思维求解，“反其道而思之”，从问题的反面深入地进行探索，往往可以使问题简单化.

八、猜想策略

猜想是人们依据已有知识经验，对研究的问题和对象做出合乎一定经验与事实的预测性判断，它是一种极具创造性的思维活动.牛顿曾指出“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”因此，在解决数学问题时，可在一定前提下进行合理的、大胆的猜想，培养观察、猜想、估计，以及直觉思维的能力和敏锐的数学眼光.

例10若对任意常数a，且a≠0，都有问：（fx）是否为周期函数？若是，求出它的一个周期.

分析：本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数，进一步联想到等式与等式的结构极为相似，分析后者可知tanx的周期为π，是常数的4倍，故猜想结构相似的函数（fx）是以4a为周期的函数，即有（f4a+x）=（fx），通过验证可知猜想正确.

点评：这里的猜想并不是凭空想象，而是由题目条件和已有经验，对问题从整体上把握而产生的合情猜想，它是观察题目所给的条件，运用联想而产生的直觉猜想.

九、极限策略

极限思想在现代数学学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能决定的，极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.因此，在求解比较困难，感到无从下手的题目时，不妨尝试利用极限思想解答.

例11在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若AC边上的高h等于c-a，那么的值是（ ）.

解析：本题若直接用常规方法求解比较烦琐，因此要转换思路进行解答.这里，若令A→0°，则h→0，又因为h=c-a，从而C→0°.

点评：本题利用极限的思想求解，简化了解答过程，化难为易，通过无限逼近的思想即可求解.极限的思想指用极限的概念分析问题和解决问题，它是数学中一种重要的思想，并且极限思想方法也是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法.

十、基本量策略

在数学运算过程中，常需要根据题目的已知条件，设定未知条件，并且分析已知量与未知量之间的关系，从而列出相应的等式求解.在这些已知量、未知量中，选定其中的一些量，则其余的量就可以用它们来表达.这些量，我们称之为基本量.在解题过程中如何适当选取基本量是分析及解决数学问题的一个非常重要的环节.

例12 （2017年高考全国卷Ⅱ理17题）△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，已知

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b.

解析：利用三角形内角和定理可知A+C=π-B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简sin2B，结2合sin2B+cos2B=1，求出cosB；再利用（1）中结论B=90°，以及勾股定理和面积公式，求出a+c、ac，从而求出b.

点评：解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行 “边化角”，“角化边”，另外还要注意a+c，ac，a2+c2三者之间的关系，这类题目小而灵活，考查知识全面.此外，本题在求解过程中也渗透了基本量策略.

培养学生解决数学问题的能力，是高中数学教学的目标之一，在实际教学中，教师应主要培养学生的解题能力，并提倡“多想少算”，即要多思考，锻炼自己的思维能力，从而跳出以往的思维定势，进而在解题中迅速找到简洁的解题途径.

1.赵思林.中学数学研究性教学与案例［M］.成都：四川大学出版社，2016.

2.李邦河.数的概念的发展［J］.数学通报，2009（8）.

*项目来源：教育部“本科教学工程”四川省地方属高校本科专业综合改革试点项目——内江师范学院数学与应用数学“专业综合改革试点”项目（ZG0464）；四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（ZY16001），内江师范学院2016年度校级学科建设特色培育项目（T160009，T160010，T160011）.赵思林系本文通讯作者.