猜想的彼岸，思维的新高地

居海霞

摘 要：在数学学习中，培养儿童敢猜想、会猜想的素养，显得尤为重要和可贵。在“欲言却言不清”处、在知识的整体回顾处、在知识的新领域处，都可以有意识地创设“可猜想”的空间，激发儿童的直觉、灵感，从而带着他们走向思维的新高地。

关键词：猜想；思维；数学素养

古今中外，很多伟大的猜想成了数学发展水平的一项重要标志。比如，费马猜想产生了代数数论，庞加莱猜想有助于人们更好地研究三维空间，哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展。这些数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”，而且是一只只“能生金蛋的母鸡”，推动着人类社会的发展。因此，在数学学习中，培养儿童敢猜想、会猜想的素养，显得尤为重要和可贵。

一、猜想，想在“欲言却言不清”处

很多时候，儿童对一个知识点在直观感性的认知基础上，如果再往深处挖一挖，可以有一个更深层次的感悟。而如何向深处去挖一挖，就需要我们教师费一番心思。在下面这个教学片段中，借助于“猜想”，学生就能更深层次地感悟“三角形三边关系”。

判断三条线段是否能围成一个三角形，主要的方法就是“两条短线段的长度和比最长的线段长，这三条线段就能围成一个长方形。反之，就不能围”。对于四年级的学生，教材给出的题目通常是借助于具体的数据。

比如图1中的三题，均是给出了具体的数据，让学生来分别判断。在第1题中，两条短线段的和是6 cm，和最长线段一样长，所以不能围成一个三角形。在第2题中，两条短线段的和是4 cm，比最长线段5 cm短，所以也不能围成一个三角形。而在第3题中，两条短线段的和是7 cm，比最长线段6 cm长，所以能围成一个三角形。

但我们都知道，只要最长线段的长比其他两条短线段长度的和长一点点，这三条线段就可以围一个三角形了。但长的“一点点”该怎么表述呢？一个具体的整数、小数或分数都无法准确表述，因为这里涉及数的“极限”。在下面的这个教学片段中，一位教师巧妙地创设了“拉幕”活动，带着孩子进行“猜想”，并感悟其中的“极限”思想。

首先，出示一个“黑幕”，“黑幕”的背后藏着三条线段。“黑幕”徐徐向右拉开，渐渐露出三条线段（如图2）。

当第一条线段、第二条线段全都露出来后，“黑幕”不再向右运行。这时，教师提问：“这三条线段能围成一个三角形吗？”

是呀，第三条线段还有一部分在“黑幕”的后面，看不到它的全长，能不能进行判断呢？经过短暂的思考之后，学生有了发现：既然第三条线段最长也就和长方形的长一样长，那么前两条线段的长度和一定比第三条线段长。所以，这三条线段一定能围成一个三角形。这里，虽然第三条线段没有完全出示，但经过儿童的合理猜想，同样可以进行判断。

接着，在此基础上再进行变式练习。

直观的线条的演示、拉动、变化，给“猜想”搭建了平台，再配以具体的数据举例，于是，对这个“欲言却言不清”的“极限思想”的感悟在儿童思绪的起伏中“孕育而生”。

二、猜想，想在知识的整体回顾处

当一个版块的内容学完后，在整理复习中，我们通常会将零碎的知识梳理、连接、沟通，找出其中的主线，将知识点串联起来。用心的教师还会在串联的基础之上，对儿童进行综合性的练习。在《多边形整理复习》一课中，一位教师在知识融合处带着儿童进行“猜想”，在想象的领域中，使其对平面图形面积的整体掌握到达一个新的高度。

课中，在学生理清了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等多边形的面积推导之间的联系之后，出示了如图3所示的“底”和“高”。

虽然只能看到图形的底，但有“高”的支撑，那看不见的顶点、看不见的其他的边，都会出现在儿童的脑海中。

“可能会是一个三角形”“可能会是一个长方形”“可能会是一个平行四边形”……同时，他们也能在“猜想”中进行思辨：“不可能是正方形，因为正方形的长和宽一样长。”“不可能是梯形，因为求梯形的面积，除了知道下底和高，还要知道上底的长度。”

于是，在猜想之中，学生再次对知识进行了融会贯通，不但想出了一棵棵树，而且想出了“一片小树林”。

三、猜想，想出知识的新领域

对于知识的获得，可以是自主学习、操作、讨论等多种途径，其中，猜想这一方式，在某些特定的学习情境中也可以帮助儿童到达知识获取的新领域。

在二年级《千以内的数的认识》一课中，如何引导儿童认识“最大的三位数是999”呢？我们可以引导他们数数，比如“990，991，992，…998，999，1000”，在数数的过程中发现999的后面是1000，1000是一个四位数，所以999是最大的三位数。我们也可以引导学生写数，在个位、十位、百位上写数，从写出的众多的三位数中来感悟可以写出的最大的三位数是999。要得出这一结论，方式是多样的。下面这一教学片段中，教师巧妙地将“拨珠”和“找数”相结合，引导儿童在“数形结合”的世界中感悟、猜想、验证，从而获取这一结论。

首先，带着儿童拨珠、数数，并从中提取这样的3个三位数：二百零三、三百零二、二百三十，引导儿童观察：“仔细观察这3个三位数，你有什么发现？”

在交流、汇报中学生会发现，这些数的数位上分别有2个珠、3个珠或没有珠等，从而发现这些数都是由5个珠拨出的三位数。

在“5个珠可以拨出很多的三位数，这是其中的3个”这个结论的基础上，教师引导儿童进行想象：“想一想，6个珠可以拨出哪些三位数呢？”学生的手纷纷举起：“501”“420”“123”……学生能想出多个不一样的三位数。“把你想出的三位数在计数器上拨一拨，”在6个珠拨出一个三位数的基础上，教师追问：“6个珠拨出的三位数肯定比5个珠拨出的三位数大。这句话对吗？”学生通过举例，很好地说明了问题，比如“6个珠可以拨出114，5个珠可以拨出500，500比114大！所以这句话不对！”

教师继续引导儿童猜想：“想一想，你还能用几个珠拨一个三位数？”“8个！”“12个！”“15个！”……

猜想继续升华：“继续猜！拨一个三位数，最多可以用多少个算珠？”

在片刻的思索之后，小手再次举起！学生发现：最多用27个算珠！个位、十位、百位上各拨9个珠，撥出的数是999。

在这个教学片段中，教师一共引导儿童进行了三次猜想，分别是：（1）想一想，6个算珠可以拨出哪些三位数？（2）你还能用多少个算珠拨一个三位数？（3）要拨一个三位数，最多可以用多少个算珠？

可以发现，这些猜想都是建立在“形”的基础之上的有效猜想。之前，教师已带领学生进行了拨珠、数数的操作，虽然在之后的猜想时刻脱离了计数器，但学生的脑中、心中却已有计数器，眼前的“无形”却是“有形”。其次，猜想过后会有及时的验证。猜想6个算珠能拨出什么三位数，紧接着去拨一拨，其后，学生就能举例说明“6个珠拨出的三位数不一定比5个珠拨出的三位数大”，质疑、思辨这些思维品质在其中也得以培养。猜想“拨一个三位数最多用多少个珠？”虽已有之前大量的操作积累，但在学生想出“27个珠”之后，教师还是带领学生进行拨珠验证，在验证中，深刻感悟到“999是最大的三位数”。从中我们还能感悟出，猜想既需要之前的认知积累（有积累，猜想才会有效），又需要及时验证（有验证，才能反思猜想正确与否）。

德摩说：“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。”牛顿也曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”在儿童的数学学习中，教师应有意识地创设“可猜想”的空间，激发儿童的直觉、灵感，从而带着他们走向思维的新高地。endprint