数学教学：在“实践”与“内化”间穿行

刘琴

摘 要：“具身认知”理论视野下的数学教学是学生“动手实践”与“活动内化”相互促进、和谐圆融、共生共长的过程。在数学教学中，教师要引领学生在“实践”与“内化”之间穿行。运用“实践”事实，可以促进学生数学“内化”的转变；开拓“内化”空间，可以提升学生数学“实践”的效能；形成“共生”取向，可以优化学生“实践”“内化”的品质。

关键词：数学教学；动手实践；活动内化；做思共生

“人有两个宝，双手和大脑，双手会做工，大脑会思考。用手又用脑，才能有创造。”这是人民教育家陶行知先生著名的《手脑相长歌》。陶行知先生在一生的教育实践中，始终践行“教学做合一”。农村小学数学教学承担着数学启蒙的重要使命，以培育学生数学核心素养为旨归。将学生数学课堂学习中的“动手实践”与“活动内化”有机结合，无论是作为学生的认知方式，还是作为数学课程与教学改革的试验田，都与当下“具身认知”理论相契合。“具身认知”既强调学生的动手实践，又强调学生的活动内化。换言之，对于学生学习来说，既离不开合理地“做”，又离不开数学地“思”，“做思共生”是提升学生数学核心素养的应然选择。

一、运用“实践”的事实，促进学生数学“内化”的转变

瑞士著名教育心理学家、结构主义哲学的肇始者皮亚杰曾经这样说，“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展”。在小学阶段，学生的动手操作、数学实践对于学生数学学习来说具有奠基性作用，因为这期间的学生处于从“直观动作”向“具体形象”思维过渡的年龄、心理阶段。针对这个阶段儿童的认知心理，皮亚杰说“动作是产生意义的基础，是儿童获得理解的唯一手段”。

学生的动手实践是学生数学思维的外显，因此，教师要给予学生动手操作、实践的自由，赋予学生动手操作、实践的时空，运用学生动手操作、实践的事实，促进学生数学内化的转变。事实上，学生能够提出有价值、有意义的数学猜想，往往是基于学生经验的认知，如果学生经验缺失，那么学生是很难提出有价值的数学猜想的。操作、实践的过程就是积累学生数学学习表象的过程，就是学生认知感受、体验的过程。

例如教学苏教版小学数学教材第8册的“三角形的三边关系”，笔者在教学伊始向学生提出这样的问题：现在我给你三根小棒，你能围成一个三角形吗？学生兴高采烈地回答：“能！”接着，笔者向学生提供了一组结构性素材：①组：5厘米、5厘米、5厘米；②组：3厘米、4厘米、5厘米；③组：2厘米、3厘米、6厘米；④组：3厘米、3厘米、6厘米。学生分小组展开数学实验、操作。他们惊讶地发现，第③组、第④组的三根小棒不能围成三角形。学生先前的迷思概念、相异构想被数学操作、实践事实所打破，由此诞生出新问题：既然并不是任意三根小棒都能围成三角形，那么，怎样的三根小棒才能围成三角形呢？在实践事实前，学生开始思考三根小棒长度之间的关系。他们发现，第③组的三根小棒之所以围不成三角形，是因为2厘米的小棒和3厘米的小棒合起来还没有6厘米；第④组的三根小棒之所以围不成三角形，是因为3厘米和3厘米的小棒合起来等于6厘米，并不能“拱”起来。围绕着“拱”这个关键词，笔者引导学生从三个方面展开思考：其一，三角形三条边中每两条边都要“拱”起来，必须满足怎样的条件？其二，联系“两点之间，线段最短”，你认为三角形三边的关系可以怎样概括？其三，给你一根小棒将其分成三段，最长的一段应该从哪里剪？由此，将三角形三边关系的探讨、交流引向深入。

诚然，像“三角形三边关系”这样的问题，学生通过操作可能还会对某些问题产生争论、形成意见分歧。如当两根小棒的长度和等于第三根小棒的时候，由于小棒本身的厚度、宽度，有学生也认为可以围成三角形。但如果没有学生的实践、操作，仅靠多媒体演示或者借助“两点之间线段最短”来进行思辨，学生获得的感受、体验必定是肤浅的。“听到的过眼烟云，看到的铭记在心，做过的沦肌浃髓”，只有基于学生实践基础上的内化才更有实际、更具建构和生成的意义。

二、开拓“内化”的空间，提升学生数学“实践”的效能

“工欲善其事，必先利其器”，在数学教学中，“内化”是学生实践的目的与保障。如果学生的数学实践缺乏内化，那么，这样的实践、操作只是一种盲动。漫无目的地做还不如不做。如果学生能够做到“想好了再做”“想明白了再做”“方案设计好了再做”，这样内化空间得到开拓，无疑将会提升学生数学实践的效能。因此，在学生数学学习过程中，教师要根据学习内容和学生认知特质，引导学生深度思考，比如应该如何设计数学实验的方案，數学操作需要哪些材料，数学实验过程中需要控制哪些变量等。

教学苏教版小学数学教材第12册“圆锥的体积”时，在学生动手操作展开数学实验前，笔者分三个层次引导学生展开直觉思考，开拓学生内化空间。

一是向学生出示长方体、正方体和圆柱体，引导学生思考：我们应该将圆锥的体积转化成什么几何形体的体积？学生纷纷认为，应该转化成圆柱的体积，因为只有圆柱和圆锥的底面都是圆形的。

二是向学生提供了四种规格的圆柱和圆锥：一是等底不等高的圆柱和圆锥；二是等高不等底的圆柱和圆锥；三是等底等高的圆柱和圆锥；四是不等底不等高的圆柱和圆锥。孩子们依据数学直觉，认为应该采用等底等高的圆柱和圆锥，因为这样实验可能更利于发现它们之间的关系。从科学上讲，运用等底等高的圆柱和圆锥进行数学实验，其底、高等数学实验中的变量都变成了常量，因此这样的选择有助于提升学生数学实验的效能。

三是向学生提供了这些数学实验素材，如黄豆、沙子、水等。学生认为应该选用水这种实验素材，因为他们直观地看到，黄豆之间的空隙较大，可能做起实验来误差大；沙子之间尽管空隙比较小，但还是存在着我们肉眼所能看到的缝隙，因此毫无疑问也存在一定的误差；水的空隙非常小，我们的肉眼看不到水的缝隙，因此，学生纷纷选择水这种实验素材。

学生在数学实验前以“思”作为先导，明确了应该做什么和怎样做之后，再动手实践，这样的实践更具目的性、方向性、针对性和实效性。教学中，教师只有调动了学生的心智，学生才能更深刻地体悟到数学实验素材与实验现象之间的内在关联。否则，学生可能由于对数学实践过程中素材的结构、关联以及对实验结果的影响等缺乏关注，导致学生之间产生一些不必要的、非数学的争论，甚至有可能将学生的数学实践带入一种无序、失范、混乱的境地。endprint

学生数学内化空间的拓展，得益于学生数学实践前的“思”。长此以往，这种“思”能够逐步培养起学生“数学地思维”的能力，能够引导学生用“数学的眼光”看问题，用“数学的大脑”思考、分析问题和用数学的方式解决问题等能力。

三、形成“共生”的取向，优化学生“实践”“内化”的品质

“共生”是生物学中的一个术语。所谓“共生”，是指生物之间相互依存的关系。在数学实践和内化过程中，援引“共生”这一术语，其目的是让学生的实践与内化活动相互支撑、相互融通起来。脑科学研究表明，只有当人脑左右两个半球同时被激活，学生的效率才能大大提升。实践与内化在学生的心理建构活动中往往是相互交织在一起的，实践是内化的支撑和证明，内化是实践的内在指向和引领，实践和内化在学生的数学学习活动中是互为表里、相互促进的。学生的数学学习往往始于手脑，现于身心，成于共生。正是在这个意义上，有专家认为，学生必须“用手思考，用脑操作”。

例如教学苏教版小学数学教材第5册“两位数除以一位数”，笔者首先出示46÷2，学生借助小棒展开了实物操作。笔者发现，有学生先将零头6根小棒平均分成2份，再将4捆小棒平均分成2份；也有学生先将4捆小棒平均分成2份，再将零头6根平均分成2份。通过实践操作，学生都能得到结果。接着笔者出示38÷2，有学生还是从十位开始分，结果每份1捆，还剩1捆，学生将这一捆打开，和零头8根合起来变成了18根，平均分成2份，每份是9根，合起来是19；也有学生还是从个位开始分，将8平均分成2份后，学生发现3捆不能平均分成2份了，这时学生通过“内部言语”体验到“先分十位”更合理、更方便，于是他们主动调整分的策略，将1捆和8根合起来，然后继续平均分。最后笔者出示了72÷4，学生发现，个位上的2不能平均分成4份，他们试图从十位上借1捆来，但是借后发现，虽然个位已经能够平均分了，但十位上的7捆借走了1捆还剩6捆，却不能平均分成4份。于是这部分学生自觉地调整平均分的策略，开始从高位分起。在这个过程中，学生边实践、边思考、边内化，最终演绎生成出“两位数除以一位数”的算法，建构出 “竖式计算”的模型。

实践与内化的有机融合，让学生真正做到了“做”中有“思”、“思”中有做，做思共存、做思共生。“做”是指尖的思维，“思”是头脑的操作，“做”与“思”是儿童数学学习中不可或缺的“两件宝”。学生在这样的数学学习实践内化过程中，大脑的左右两个半球被同时激活，他们健康用脑、和谐用脑、友善用脑，极大地优化了数學学习的品质。

学生数学学习的过程是动手实践与活动内化结伴而行的过程，实践为内化提供了“外援帮助”，内化为实践提供了“内源支撑”。教学中，教师要展开适切地导引，让学生在实践中内化、在内化中实践，促成动手实践与活动内化的动态平衡，进而打造高效灵动的数学课堂，提升学生的数学核心素养！endprint