构造性方法在矩阵证明题中的应用

2018-01-02刘春麟

数学学习与研究 2017年19期

关键词：矩阵

刘春麟

【摘要】矩陣是高等代数研究数学问题的重要工具，在线性方程组求解、二次型、线性空间、线性变换等方面都有着重要的应用，同时矩阵的证明类题目在数学专业的考研与竞赛中也频频出现，而在这些题目中运用构造性方法证明的尤为困难.本文通过一些巧妙有难度的题目从构造分块矩阵、伴随矩阵等特殊矩阵来介绍如何使用构造性方法去解题.

【关键词】矩阵；构造性方法；矩阵的秩；伴随矩阵

矩阵是高等代数研究数学问题的重要工具，在线性方程组求解、二次型、线性空间、线性变换等方面都有着重要的应用，同时矩阵的证明类题目在数学专业的考研与竞赛中也是频频出现，而在这些题目中运用构造性方法证明的尤为困难.本文通过一些巧妙有难度的题目从构造分块矩阵、伴随矩阵等特殊矩阵来介绍如何使用构造性方法去解题.

此题的最关键也是最巧妙的地方便是通过构造分块矩阵，对矩阵进行拆分，运用矩阵的秩的关系进行证明.

二、通过构造伴随矩阵来证明哈密顿-凯莱（HamiltonCayley）定理及相关矩阵的结论

此题运用构造拆分特殊矩阵，巧妙地解决矩阵分解的问题.

六、结语

构造矩阵解题的过程有助于提高学生的数学逻辑思维能力，突出数学所表达的逆向思维以及体现数学的严谨性，培养思维跳跃能力，为以后在数学方面的研究打下基础.

在高等代数的教学中，矩阵的教授是教学中重要的一环.另一方面，“利用矩阵的构造解题”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的，它不仅有助于培养学生纵向思维能力，而且有助于培养和发展学生的横向思维能力，更有助于培养学生的数学技能，并使学生养成严格推理、全面分析问题的能力.

本文以小见大，从矩阵的小方面讲解构造性证明，但实际不仅仅在矩阵的证明中可以应用，在高等代数的其他知识中，甚至整个数学的学习中，都起到极其重要的作用.

【参考文献】

[1]丘维声.高等代数（上，下）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]王利广，李本星.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：机械工业出版社，2006.

[3]杨子胥.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

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