两类特殊矩阵的特殊性不变比照

2021-01-17田金玲

湖南工业职业技术学院学报 2021年5期

关键词：分块正整数同理

田金玲

（大同师范高等专科学校数学系，山西大同，037039）

矩阵中有些身份特殊的矩阵，它们有着一般矩阵不具备的良好性质，文章总结了其中两类特殊矩阵,正交矩阵以及对合矩阵经过变化之后，得到的矩阵还是同种类型矩阵的性质特点，通过比对它们的性质，以求进一步提高对此类矩阵的认识。

预备知识：定义1一个n阶实矩阵A叫作一个正交矩阵，如果AAT=ATA=E[1]。

定义2一个n阶矩阵A叫作一个对合矩阵，如果A2=E[2]。

1 正交矩阵与对合矩阵的共性比照

性质1.1 如果A是一个正交矩阵，那么AT也是一个正交矩阵。

证明：因为A是一个正交矩阵，所以AAT=AT A=E，于是有(AT)AT=AAT=E，同时另有AT(AT)T=AAT=E，故可知AT是一个正交矩阵。

性质1.2如果A是一个对合矩阵，那么AT也是一个对合矩阵[3]。

证明：由A是一个对合矩阵可知A2=E，于是(AT)2=(A2)T=ET=E，故AT也是一个对合矩阵。

性质2.1如果A是一个正交矩阵，那么A-1也是一个正交矩阵[4]。

证明：因为A是一个正交矩阵，所以

AAT=AT A=E，由逆矩阵的定义可知，此时A可逆，并且A-1=AT，由性质1.1可知，A是一个正交矩阵，则AT也是一个正交矩阵，所以A-1是一个正交矩阵。

性质2.1如果A是一个对合矩阵，那么A-1也是一个对合矩阵。

证明：因为A是一个对合矩阵，故A2=E，即AA=E，显然有A-1=A，而A是一个对合矩阵，故A-1也是一个对合矩阵。

性质3.1如果A是一个正交矩阵，那么A的伴随矩阵A*也是一个正交矩阵。

证明：因为AA*=|A|E，故A*=|A|A-1，那么(A*)T A*=(|A|A-1)T|A|A-1=|A|(A-1)T|A|A-1=|A|2(A-1)T A-1。由性质2.1知A是一个正交矩阵，则A-1也是一个正交矩阵，故由此得(A-1)T A-1=E，再由A是一个正交矩阵得到AT A=E，两边同时取行列式得 |AT A|=E，所以 |AT||A|=1，|A||A|=1，|A|2=1，代入|A|2(A-1)T A-1=E即可得到|A|2(A-1)T A-1=1E=E，于是有(A*)T A*=E。同理可得A*(A*)T=E，故A*也是一个正交矩阵。

性质3.2如果A是一个对合矩阵，那么A*也是一个对合矩阵。

证明：因为(A*)2=(|A|A-1)=|A|2=(A-1)2=|A|2(A-1)2=|A|2(A2)-1，由于A是一个对合矩阵，故有A2=E，于是|A|2(A2)-1=|A|2E，另外，由于A2=E，对此式两边同时取行列式可得|A|2=E，进一步有 |A||A|=1，即 |A|2=1，所以推得|A|2E=E，所以(A*)2=E，于是就有A*也是一个对合矩阵。

性质4.1如果A是一个正交矩阵，那么An（n为正整数）也是正交矩阵。

证明：因为A是一个正交矩阵，显然AT=A-1，于是(An)T An=(AT)N An=(A-1)n An=E，同理可得An(An)=E,于是得出An也是正交矩阵。

性质4.2如果A是一个对合矩阵，那么An（n为正整数）也是一个对合矩阵[5]。

证明：因为(An)2=A2n=(A2)n，已知A是一个对合矩阵，故有A2=E，于是可以推得(A2)n=En=E，所以(An)2=E，所以A（nn为正整数）也是一个对合矩阵。

性质5.1如果A，B是正交矩阵,那么分块矩阵也是一个正交矩阵[6]。

证明：因为A，B是正交矩阵，所以AAT=AT A=E，BBT=BTB=E，于是

PTP=同理可得PPT=E，所以得到也是一个正交矩阵。

性质5.2如果A，B都是对合矩阵，那么分块矩阵也是一个对合矩阵。

性质6.1如果A，B都是正交矩阵，那么分块矩阵为正整数）也是一个正交矩阵。

性质6.2如果A，B都是对合矩阵，那么分块矩阵为正整数）也是一个对合矩阵。

证明：因为A，B都是对合矩阵，由性质5.2的结论可知也是一个对合矩阵，即所以En=E，所以分块矩阵为正整数）也是一个对合矩阵。

性质7.1如果P，Q是n阶实矩阵，而分块矩阵是一个正交矩阵，那么P，Q也是正交矩阵。

性质7.2如果P，Q是n阶矩阵，而分块矩阵是一个对合矩阵，那么P，Q也是对合矩阵。

2 正交矩阵与对合矩阵性质的差异性比照

性质8.1如果A是一个正交矩阵，B也是一个正交矩阵，那么AB也是正交矩阵。

证明：因为A，B均为正交矩阵，所以AAT=AT A=E，BBT=BTB=E，于是有(AB)T(AB)=BT AT AB=BT(AT A)B=BTEB=BTB=E，同理可得(AB)T(AB)=E，于是得到AB也是正交矩阵。

性质8.2如果A是一个对合矩阵，B也是一个对合矩阵，同时A与B可交换，那么AB也是一个对合矩阵[7]。

证明：因为A与B可交换，于是有AB=BA成立，所以(AB)2=ABAB=BAAB=BA2B，由于A是一个对合矩阵，故有A2=E，进一步将其代入上式又可得BA2B=BEB=BB=B2，又由于B是一个对合矩阵，即B2=E，于是得到(AB)2=E，所以AB也是一个对合矩阵。

性质9.1如果A是一个正交矩阵，B也是一个正交矩阵,那么A-1B也是正交矩阵[8]。

证明：因为A，B都是正交矩阵，故AT=A-1，BT=B-1，而(A-1)T=(AT)-1，于是有(A-1B)T=BT(A-1)T=B-1(AT)-1=B-1(A-1)-1=(A-1B)-1，根据逆矩阵的定义可以得到(A-1B)-1(A-1B)=(A-1B)(A-1B)-1=E，故(A-1B)T(A-1B)=(A-1B)(A-1B)T=E，这样就证得A-1B也是正交矩阵。

性质9.2如果A是一个对合矩阵，B也是一个对合矩阵,并且A-1与B可交换，那么A-1B也是对合矩阵。

证明：因为A，B都是对合矩阵，所以A2=E，B2=E，又因为A-1与B可交换，所以A-1B=BA-1，于是(A-1B)2=A-1BA-1B=BA-1A-1B=B(AA)-1B=B(A2)-1B=BEB=B2=E，所以A-1B也是对合矩阵。

性质10.1如果A是一个正交矩阵，B也是一个正交矩阵,那么AB-1也是正交矩阵[9]。

证明：仿照性质9.1的证明过程，显然可得AB-1也是正交矩阵。

性质10.2如果A是一个对合矩阵，B也是一个对合矩阵，并且A与B-1可交换，那么AB-1也是对合矩阵。

证明：仿照性质9.2的证明过程，显然可得AB-1也是对合矩阵。

性质11.1如果A是一个正交矩阵，B也是一个正交矩阵,那么ATB也是正交矩阵[10]。

证明：因为A，B都是正交矩阵，故AT=A-1，BT=B-1，而(A-1)T=(AT)-1，于是有(ATB)T=BT(AT)T=B-1(A-1)T=B-1(AT)-1=(ATB)-1，再根据逆矩阵的定义可以得到(ATB)-1(ATB)=(ATB)(ATB)-1=E，所以(ATB)T(ATB)=(ATB)(ATB)T=E，这样就证得ATB也是正交矩阵。

性质11.2如果A是一个对合矩阵，B是一个对合矩阵,并且AT与B可交换，则ATB也是对合矩阵。

证明：因为A，B都是对合矩阵，所以A2=E，B2=E，又因为AT与B可交换，所以ATB=BAT，于是(ATB)2=ATBATB=BAT ATB=B(AT)2B=B(A2)TB=BEB=B2=E，所以ATB也是对合矩阵。

性质12.1如果A是一个正交矩阵，B也是一个正交矩阵，那么BAT也是正交矩阵。

证明：仿照性质11.1的证明过程，显然可得ABT也是正交矩阵。

性质12.2如果A是一个对合矩阵，B是一个对合矩阵，并且A与BT可交换，则ABT也是对合矩阵。

证明：仿照性质11.2的证明过程，显然可得ABT也是对合矩阵。

性质13.1如果A是一个正交矩阵，B也是一个正交矩阵,那么B-1AB也是正交矩阵。

证明：因为A，B都是正交矩阵，故AT=A-1，BT=B-1，而(A-1)T=(AT)-1，于是有(B-1AB)=BT AT(B-1)T=B-1A-1(BT)-1=B-1A-1(B-1)-1=(B-1AB)-1，再根据逆矩阵的定义便可得(B-1AB)-1(B-1AB)=(B-1AB)(B-1AB)-1=E，从而有(B-1AB)T(B-1AB)=(B-1AB)(B-1AB)T=E，这样就证得B-1AB也是正交矩阵。

性质13.2如果A是一个对合矩阵，B为可逆矩阵，则B-1AB也是一个对合矩阵。

证明：因为(B-1AB)2=B-1ABB-1AB=B-1AEAB=B-1A2B，由于A是一个对合矩阵，故有A2=E，于是上式可继续化简得B-1A2B=B-1EB=B-1B=E，即有(B-1AB)2=E，所以B-1AB也是一个对合矩阵。