余弦定理在圆锥曲线中的成效

王苏文

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

余弦定理在圆锥曲线中的成效

王苏文

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

本文介绍了用余弦定理解答圆锥曲线中的三角形的问题.

余弦定理；圆锥曲线；三角形

由于圆锥曲线的试题中总离不开点与线的问题，这样一来就极有可能形成三角形，而运用余弦定理来解此类问题常常会有一定的成效.根据三角形的位置不同可分：焦点三角形与非焦点三角形两类.

第一类“焦点三角形”有关的问题

“焦点三角形”指的是圆锥曲线上任意一点与其两个焦点的连线构成的三角形.

例1 已知椭圆的两个焦点为F1,F2，椭圆上存在点P使∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.

解在△PF1F2中，设|F1F2|=2c,|PF1|=p,|PF2|=q，则p+q=2a.

此题围绕着一个角的问题来分析边之间的关系，因此考虑用余弦定理来求解.

此题也可适当地进行引申.如：

(1)已知椭圆的两个焦点为F1,F2，P是椭圆上一点，∠F1PF2何时最大？最大角为多少？(提示：利用余弦定理及基本不等式就可求出P在短轴端点上取到最大值.)

证明设∠F2AF2=θ，|F1F2|=2c,|AF1|=p,|AF2|=q.

根据椭圆与双曲线的定义可得：

由于有共同焦点，故a2-b2=m2+n2.

根据余弦定理得：

第二类“非焦点三角形”有关的问题

在圆锥曲线中虽有很多与焦点三角形有关的问题，但还有很多题与非焦点三角形有关.

例3 已知圆C过定点A(0,p)(p>0)，圆心C在抛物线x2=2py上运动，M,N为圆C与x轴的交点.

(1)求证：|MN|为定长;

解(1)提示：写出圆的方程，令y=0，得到|MN|=2p.(解答略)

(2)可见l1,l2,|MN|构成三角形.

此题运算过程中，若采用常规的运算不但其运算量大，而且最值也较难求.而采用此法可将问题转化为三角函数的最值问题，降低了运算，而可以运用三角函数的最值问题来求最值.

例4 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点(-1,0)及斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点，若∠AFB为钝角，求实数k的取值范围.

解设直线l:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2)，根据题意可知：k≠0.

根据抛物线的定义|FA|=x1+1,|FB|=x2+1.

将直线方程代入抛物线y2=4x中，整理得：

k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

根据直线与曲线相交,故Δ>0,求得：k2<1.

根据余弦定理可知，使得∠AFB为钝角，只需|FA|2+|FB|2-|AB|2<0即可.

将上述式子代入及利用韦达定理可得：2k2-1<0

此题是研究角为钝角的情况，而余弦定理可以解决角分类的问题，可由其余弦值的符号来确定.

总之，在圆锥曲线的学习过程中，三角形有关的问题，联系余弦定理进行求解会有事半功倍的效果.

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.人教A版数学选修2-1.普通高中数学课程标准试验教科书[M].北京：人民教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0031-02

2017-07-01

王苏文(1975.7-)，男，诸暨市人，中学高级，大学本科，从事数学解题教学。

杨惠民]