巧找对称点 妙解最值题

在初中数学竞赛中，经常会出现求最值问题，其中这类题目大多可做“对称点”解决，而其基本图形又是课本上的例题，故值得一提，不容忽视。

引例：如图1，要在河边修建一个水泵站，分别向张庄，李村送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？（人教版《几何》第二册P.91例3）。

解：如图，作点A关于直线l的对称点连接交l于点P，P点即为所求（证明略）。

这个结论在很多竞赛中出现，举例如下：

例1、如图，设三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和K ，则S2-K2= （2000年全国初中数学联会竞赛题）。

解：△ABC为正三角形，所以 PA≤AC，PM≤CM，所以PA+PM≤CA+CM=2+3 ，当点P为顶点C时，等号成立 ，

∴S=2+3

问题关键在于求K，以BC为边作正三角形ABC，作M关于直线BC所在直线的对称点M'，连结PM'、AM'，

∵∠ABC=∠CBA'，∴M'在BA'上，且BM'=BM=1，PM=PM'，PA+PM=PA+PM'≥AM' 连结CM'，则∠ACM=90°，

∴ AM'=AC2+CM'2=4+3=7， ∴K=7 。

∴S2-K2=（2+3）2-（7） 2=43。

例2、△ABC中，AB=，AB边上的高为h，试求AC+BC的最小值。

解：显然，点C在平行于AB且到AB的距离为h的直线上，如图，过点C作直线l∥AB，点A关于l的对称点为A'，则AA'=2h，AC+BC的最小值等于A'B=C2+4h2。

例3、已知点A（1，2），B（3，4）在x轴上找点P，使点P到A.B两点距离之和最短，求P点坐标。

解：如图，作A（1，2）關于x轴的对称点A'（1，-2），则过点A'，B的直线解析式为y=3x-5，该直线与x轴交点坐标为（53，0），即为所求P点坐标.

例4、求函数y=x2-2x+5+x2+6x+25的最小值.

解：y=（x-1）2+（0-2）2+（x+3）2+（0-4）2，

∴y为点（x，0）到点A（1，2）和B（-3，4）的距离之和.

∵点（x，0）在x轴上，A，B都在x轴上方，点A关于x轴的对称点A'（1，-2），

z∴y最小值=▏A'B▏=（1+3）2+（-2-4）2=213。

例5、在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE+PC的最小值.

解：∵ABCD为正方形 ，

∴AC是关于BD所在直线对称的对称点，连结AP，由对称性质知AP=PC，

则PC+PE的最小值即为AP+PE的最小值为线段AE，

在Rt△ABE中，AE=AE2+BE2=22+33=13。

由上可知，求几何最值问题中，正确作“对称点”是解决这类问题的关键，通过作对称点，使几何中求两线和的最大或最小问题得到顺利解决，此法简单明了，直观易懂，值得我们借鉴。

注：此文适合初中生阅读。

作者简介：李小忠，1968年5月1日生，男，汉族，中学一级教师。研究方向：初中数学教学。