不等式恒成立问题的探究

【摘要】 不等式恒成立问题是中学数学考察的重要内容之一. 题型一般为： 在给定的主元的取值范围内， 不等式恒成立， 求参数的取值范围.本文将探究不等式恒成立问题的常见解题方法.

【关键词】 不等式 恒成立 主元 参数

不等式恒成立问题是中学数学考察的重要内容之一，覆盖知识点多且综合性强，思想方法多种多样，能力要求较高，成为高考试题中的热点. 解决此类问题第一步是要分清主元， 哪个字母是主元，就应当确定一个以这个字母为自变量的函数. 一般来说，在题干中给出范围且有“任意”、“所有”等全称量词修饰的变量（字母）就是不等式的主元， 而要求范围的变量往往就是参数[1]. 本文将探究三种常见的解题策略方法： 分离参数法， 利用（构造）函数的单调性或最值法， 数形结合法.

一、分離参数法

若是变量和参数可以通过恒等变化分离的不等式， 可将参数分离出来， 转化成主元函数的最值问题. 这种方法适用于参数易分离，主元函数最值易求的题型.

解此类不等式恒成立问题经常要用到以下几个推论：

评析： 本题是较为典型的不等式恒成立问题， 可以利用分离变量并构造初等函数， 转化为函数最值的方法求解.

三、数形结合法

策略五：以形助数，转为解析几何问题

适合题型 当主变量和参数很难分离， 且用构造初等函数方法不便解决， 用导数方法也较为繁琐时， 常常考虑用数形结合法， 转化为两个函数图像之间的关系.

事实上，不等式恒成立问题在求参数范围时涉及的知识面广， 切入点多，方法更是多种多样. 本文只是例谈了几类常见的题型和方法，还有很多方法没涉及. 在解题过程中重点是认真分析，分清主元和参数， 等价转化. 只有抓住了这点， 考生才能在各种题境中选择恰当的方法， 以不变应万变.

参考文献

[1] 练伟， 童其林. 例谈解不等式恒成立问题的基本思路[J]. 新高考（高三语数外， 2011 （2）.

[2] 章建荣.“含参数不等式的恒成立”问题的探究[J]. 中学数学研究， 2007 （9）.