例析高中数学概念的生成

魏娟娟

河南省教育科学“十三五”规划2016年度课题（编号：（2016）-JKGHB-0586）

摘 要：《普通高中数学课程标准》中有这样一段话：“由于数学高度抽象体现的特点，注重体现基本概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步应用中逐步理解概念的本质。”作为高中数学教师，应认真设计教学，引导学生经历和感受数学概念的生成过程，才能上出符合新课标理念的好课。

关键词：数学概念；生成；教学设计；案例分析

据调查，对数学概念的理解不到位，容易造成学生对概念的生成过程不理解，从而导致数学成绩差。在实际的高中数学课堂上，教师往往直接给出数学概念，再配以几点注意，这个数学概念就算是讲完了，很少会在教学环节中设计数学概念的生成。要知道”只有经历了数学概念的生成过程，学生才能知道数学概念的来龙去脉，才能理解数学概念的内涵，进而应用数学概念解决问题，逐步体会蕴含在数学概念中的数学思想。学生只有“懂”了，才能“会”，进而会“用”，从而提高了学生数学学习的质量。

所以，为使学生真正的“懂”和“会”，教师就必须在概念生成方面不惜时、不惜力，好好设计教学。下面，笔者就从我校的教学实践出发，以几个教学案例为出发点作些浅要分析。

一、在动手操作中生成数学概念

（一）案例1：《随机事件的概率》中设计的活动：

活动1：每一位学生准备一枚一元硬币，抛掷20次，记录实验结果，并计算自己数据的频率

设计意图：在动手操作中理解随机事件的发生具有不确定性，进行随机意识的培养。

活动2：小组合作统计数据，并计算统计后数据的频率

设计意图：通过数据的统计，体会随着实验的次数增加频率具有稳定性。

活动3：小组合作画出条形图

设计意图：加深对之前结论的理解。

活动4：电脑模拟抛硬币实验

设计意图：通过计算机模拟实验，更好地体验以频率估计概率的思想方法，进而得出概率的统计定义。

活动5：作实验“抛掷一枚硬币两次”10次，记录实验数据。

活动6：摸球实验。

设计意图：帮助学生澄清一些日常生活中的错误认识。

（二）案例分析

本案例的教学试图改变学生学习的方法，学生在合作中学会沟通和配合，在动手操作中经历数学概念的生成过程。虽然这节课只进行了这几个实验活动，例题习题都没有进行，但是由于调动了学生的兴趣，学生的参与度很高，所以教学效果很好，学生们久久不能忘记这节课。

（三）启发和反思

在动手操作中生成数学概念：教师要精心设计操作活动，把数学概念的生成过程化为一个个小实验，学生在操作实验中，动手、动眼、动脑，有交流，又合作在交流中发现问题，进而想办法解决问题。学生学习的主动性调动起来了，学习效果自然好了。

二、在问题中自然生成数学概念

（一）案例2：《任意角的三角函数》的部分教学环节：

1.回顾旧知

教师提问1：我们是如何把0°-360°的角扩展到任意角的？

设计意图：体现任意角三角函数的出现是角的扩充后的结果。

教师提问2：我们是如何使角的集合与实数集建立了一一对应？

设计意图：指出在弧度制下角α∈R，为后面理解任意角三角函数定义域作铺垫。

教师提问3：在初中，我们学过锐角三角函数，它是怎样定义的？

<追问>：这种定义方法能推广到任意角吗？

设计意图：温故知新，发现问题，引入直角坐标系。

2.引申探究

教师提问：如何在直角坐标系中求锐角的三角函数值？

<追问>：这里的锐角α的取值范围是什么？

设计意图：从“旧”概念新学入手，引出“新”概念的定义。

教师提问：若点P在终边上的位置发生了变化，则这些比值会随之改变吗？

<追问1>：那么，这些比值能简化吗？（令分母为1）

<追问2>：此时，点P（x，y）是怎样的点？

设计意图：得出平面直角坐标系下锐角三角函数的定义。

教师提问：这种定义方法能推广到任意角吗？

设计意图：得出任意角三角函数的定义。

教师提问：sinα=y是函数吗？符合高中函数的定义吗？

设计意图：深化理解任意角三角函数的定义。

（二）案例分析

本案例采用问题教学法，通过环环相扣的问题动态展示数学概念的生成过程。教师结合学生的接受能力，把问题设计得层层递进，力求让数学概念自然生成，在思考这些问题的过程中，学生体会到了数学知识间的紧密联系，经历了数学概念的生成过程，自然能够很好地理解这一数学概念，后面的知识应用环节也进行得非常顺利。

（三）启发和反思

在问题中自然生成数学概念：教师精心设计“问题串”，把数学概念的生成过程化为一串问题，学生思考过程自然经历了数学概念的生成过程，实现了学生的主动探索，激发了学生学习的积极性和主动性，达到学习目的。

三、在情境中生成数学概念

（一）案例3：《简单的线性规划问题》的部分教学环节

1.情境1：回顾上节课后的思考题：已知x、y∈R，且满足1≤x+y≤3-1≤x-y≤1，求4x+2y的取值范圍。

小组展示，出现两种不同的答案：

答案1：由不等式的性质得出：0≤x≤2和0≤y≤2，

从而得到：0≤4x+2y≤12。

答案2：因为4x+2y=3（x+y）+（x-y），所以先得出3≤3（x+y）≤9，

从而2≤4x+2y≤10

教师提问：究竟哪一个答案是正确的呢？

设计意图：促进理解x和y并不是相互独立的关系，是由不等式组确定的相互制约关系。

2.情境2：

教师提问：我们知道二元一次不等式组确定一个平面区域，运用这一知识点能否解决这一思考题？

教师追问：怎么确定4x+2y的取值范围呢？

设计意图：引出线性目标函数的几何意义，促进学生加深理解二元一次不等式组对两个变量的制约，进而理解线性规划问题的概念。

（二）案例分析

本案例通过设置疑惑陷阱的情境，引起学生的思想冲突，引发学生思维的碰撞，促使学生进行辨析反思，进而理解数学概念是怎样生成的。在此基础上，教师联系上节内容，引出本节知识，在实际问题情境中应用本节知识，学生体会到数学是很有用的，加大了学习的兴趣和积极性，事半功倍。

（三）启发和反思

在情境中生成数学概念：教师要合理创设情境，把数学概念的生成过程分解在一个个情境中，通过情境烘托良好的课堂氛围，调动学生学习的兴趣；通过情境，设置疑问，激发学生学习的动机；通过情境，引起思维冲突，促进学生主动思考问题，主动寻求解决问题的方法。学生学习的积极性调动起来了，学习效果自然就好了。

总说“授之以鱼不如授之以渔”，揭示数学概念的生成过程就是“渔”，要揭示数学概念的生成过程有很多方法，教师要相信，多一点精心预设，就能够多一份惊喜发现。

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.

2.济南市教研室.高中新课程教学启示录数学案例分析[M].济南：山东教育出版社，2005.

（作者单位：河南省洛阳市第十二中学）