“钉子板上的多边形”教学尝试与思考

唐晓琴

[摘 要]“钉子板上的多边形”是五年级上册“综合实践”这一领域的内容，实质是格点多边形面积计算教学。通过课前思考、实践探索、课后反思，呈现“钉子板上的多边形”这一课的设计思路和教学过程，打造使学生经历探索过程、体会归纳思想、感悟发现和提出问题过程的魅力课堂。

[关键词]钉子板；多边形；发现和提出问题 探索实践

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）29-0018-02

【课前思考】为什么学习“钉子板上的多边形”？

“钉子板上的多边形”是五年级上册“综合实践”这一领域的内容，这节课的实质是格点多边形面积计算教学。教材依次呈现多边形中有一个钉子、两个钉子的图形，引导学生通过数一数、算一算、小组合作讨论等方式发现多边形的面积与边上钉子数之间的关系，在此基础上，让学生进一步探索多边形内有3个、4个……钉子的情况，最后得出一般结论。

从学生的学习经验来看，学生已经学过运用公式计算常见平面图形的面积，知道可以用割补法或数方格的方法算出不规则图形的面积。学生经历过数的认识、数的运算等领域的规律探索的一般过程，知道可以从简单问题入手进行研究，只需经历“发现规律——验证规律——得出结论”这一过程。

在小学阶段学习的“钉子板上的多边形”会不会是中学学习内容的下放？经过了解发现，在八年级数学教材中安排的综合实践课“格点多边形的面积计算公式”的教学内容中，教学目标与小学阶段并不完全相同。除了要求学生掌握求格点多边形面积的一般方法外，还渗透了函数思想，引导学生发现y（多邊形面积）与x （多边形边上格点数）具有线性关系y=ax+b，其中a=1/2是不变的，而b的值等于多边形内点的个数减去1。 由此可以引导学生归纳出多边形的面积y等于各边上格点的个数和的一半加上多边形内点的个数再减去1，即y=1/2x+（n-1）。可见，小学生学习钉子板上的多边形正是为了这样的后续学习积累活动经验。

【课堂实践】怎样教学“钉子板上的多边形”？

结合学生已有的学习经验及心理特征，我为本课教学制订了教学目标：

（1）使学生探索并初步发现格点图上多边形的面积与多边形边上、内部格点数之间的关系，体会用含有字母的式子表示上述关系的价值。

（2）使学生经历探索过程，体会归纳思想，感悟发现问题、提出问题过程的魅力。

【教学过程】

一、问题与猜想

1.明确课题

2.提出问题

师：今天我们不用钉子板，用点子图来代替。（出示点子图）像这样的点叫格点，关于格点图上的多边形，我们可以研究什么？

生（齐）：周长或者面积。

师：如果要知道这个多边形的面积，你有哪些策略？（出示不规则多边形）

生1：数方格的方法。

生2：分割成学过的图形。

3.尝试猜想

师（出示乔治·皮克图片）：有一位叫乔治·皮克的数学家，他发现了格点多边形的奥秘，从而很快算出面积。大家想不想找到这个神奇的方法？让我们一起来探索其中的奥妙吧！

师（出示前面给出的不规则图形）：猜想一下，在格点图上的多边形的面积可能和什么有关系？

二、探索与发现

1.探索内部格点数为1的多边形

师（出示四个图形）：我们先来看一组简单的图形。认真观察这些图形，想一想它们的面积和哪里的格点数有关系？你会算它们的面积吗？请大家算一算。

（学生计算填表）

师：认真观察表格里的数据，你发现了什么？你是怎么比较的？这个规律可以表达得更简洁吗？如果用n表示多边形边上的格点数，用S表示多边形的面积，那么这个规律如何表示？

生1：S=n÷2。（师板书：S=n÷2）

师：真厉害，这么快就发现了规律。让我们试一试这个规律，看这一组图形。（出示的图形分别是内部一个格点、两个格点、三个格点、四个格点的多边形）我们先数出边上的格点数，你能直接算出面积吗？

【课堂花絮：学生由快速口答渐渐变为犹豫不决，因为发现S=n÷2并不适用于内部两个格点、三个格点、四个格点的多边形，所以开始怀疑S=n÷2的正确性。由此形成的冲突为找出规律埋下伏笔。】

师：为什么这个规律有时灵有时不灵呢？认真观察这些图形，同桌之间讨论你的发现。

生2：多边形里面只有一个格点时就可以用S=n÷2。

师：你能从不同的图形中发现共同点，真不错。“S=n÷2”这个规律在什么情况才成立呢？

生3：内部格点数是1时。

师：如果用a表示多边形内部的格点数，即a=1时，S=n÷2。

师：看来我们不仅要善于发现规律，更要主动地去验证规律，这样才能得出正确的结论。

师：多边形的面积不仅与多边形边上的格点数有关系，与内部的格点数也有关系。（出示：内部的格点数）

2.探索多边形内部有两个格点时面积与边上格点数的关系

师： 接下来我们就好好研究内部格点数是2的多边形。屏幕上已经出现了一个图形，为了研究的有效性，建议再画出一个或者两个不一样的多边形（里面有2个格点的多边形），分别算出它们的面积，再观察它们的面积和边上的格点数之间究竟有什么关系。

师（出示研究单）：①每人再画出一个或两个内部格点数是2的多边形。②算出每个图形的面积，比较面积与边上的格点数之间的关系。③同桌互相说一说发现的规律。endprint

生4：当a=2时，S=n÷2+1。

师：回忆刚才探索规律的过程，你有什么想法？

生5：首先要认真观察图形，有了猜想，就要大胆表达出来，光有猜想还不行，还要进一步验证，最后把得出的结论表达出来。

【说明：引导学生在研究问题的过程中不断感悟和总结研究问题的一般方法，能让学生对问题的本质有进一步的认识。】

3.进一步探索多边形内有3个格点的情形

师：大家还想研究什么樣的图形？

生6：内部有3个格点的多边形。

师：如果多边形内有3个格点，它的面积与边上格点数又有什么关系？

生7：当a=3时，S=n÷2+2。

师：光有猜想还不行，我们如何来验证这个规律呢？我们在验证时首先做什么？

生8：画图，认真观察图形。

师：其次呢？

生9：要算出相关的数据。

师：最后想一想你发现了什么，把结论表达出来。

师（出示小组合作小贴士）：①画出一个内部格点数是3的多边形。②填写表格。③小组交流讨论发现的规律。

【课堂花絮：每组成员画好图形后通过合作完成表格，他们在讨论的过程中发现问题，并及时改正和调整。各小组发现的规律以及表达形式各不相同。】

生10：我们小组发现多边形内部格点数是3时，其面积是边上格点数除以2再加2。

师：这位同学观察得很仔细，我们研究问题时就要像这位同学那样按照一定顺序有条理地进行。

师：内部格点数是4时可能有什么规律？

生11：a=4时，S=n÷2+3。

师：可以写成“a=1，S=n÷2”吗？

生12：a=1时，S=n÷2+0。

师：这么多规律我们能不能用一个字母式子来表示？

生13：S=n÷2+（a-1）。

师：a=0时是什么情况？

生14：S=n÷2-1。

师（出示不规则多边形）：还记得这个图形吗？你能用我们今天探索的方法求出它的面积吗？

三、回顾与链接

师：钉子板上的多边形的面积其实就是一个有名的数学问题——面积与格点（出示面积与格点），发现格点与面积规律的就是刚才老师介绍的奥地利数学家乔治·皮克。下面请一位同学来读读数学史。

生15：1889年，他发现了关于多边形的面积、边上的格点数以及内部格点数之间关系的皮克公式，并进行了证明，得到了皮克定理。“皮克定理”被誉为“有史以来最重要100个数学定理”之一。

师：我们今天探究得出的S=n÷2+（a-1）就类似于皮克公式。看来数学家能发现的规律我们也能发现，大家是不是觉得自己很厉害。如果大家对我们今天研究的话题感兴趣，还可以去看看《格点和面积》这本书，作者是我国数学家闵嗣鹤。

【课后反思】课堂教学是否能再开放一些？

首先，研究的过程可以放手一些。课堂中按照多边形内部格点数的依次增加，循序渐进地研究了格点多边形的面积与外部、内部格点数之间的关系，看起来课堂教学流程很顺畅，但是这种顺畅也束缚了学生的思维。在研究完内部格点数是1的多边形之后，学生似乎已经猜到了答案，在之后的学习环节中，部分学生研究的兴趣和好奇心逐渐减弱，因此，在以后的教学中可以尝试充分放手让学生自己先讨论研究本课问题的方法和步骤，再放手让学生独立进行研究。

其次，课堂教学的环节可以开放一些。例如在探究内部格点数是1的多边形时，本课是直接让学生通过计算面积和观察比较来发现多边形的面积和边上格点数之间的关系，这样的课堂教学人为地向学生暗示了研究的方向和方法，虽然这样能让学生更快地接近成功，但也过多地代替了学生的学习活动。这个环节其实可以让学生先在格点图上画出不同形状的格点多边形，再讨论如何给这些多边形进行分类，在分类的基础上再进一步讨论内部格点数是1的多边形的面积和什么有关系，由此展开学习研究或许更有效。

数学世界是奇妙的，数学课堂更是充满了无限生机，只要教师能从学生的角度出发，充分发扬课堂教学民主，学生就会有奇妙的发现。

（责编 金 铃）endprint