浅析三角恒等变换

李孝德��

摘要：高中三角函数内容是高考的热点之一，一方面它是初中三角知识的引申和推广，另一面也为后续大学课程中高等数学的幂级数特别是傅里叶级数内容做铺垫。三角函数知识占整个高中数学的全部分值大约为13%。由于三角恒等变换是运用三角知识解题的基础，从而考点主要集中在三角恒等变换上，这在历年高考和自主招生试题中屡见不鲜，三角恒等变换主要考查考生的逻辑推理和运算求解能力，难度在中、低档之间。

关键词：三角恒等变换；高中三角函数；数学教学

由于三角恒等变换公式较多，现将主要公式罗列如下：

两角和与差公式：cos（α±β）=cosα·cosβsinα·sinβ；sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ；tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）；tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

倍角公式：sin（2α）=2sinα·cosα；cos（2α）=cos2（α）-sin2（α）=2cos2（α）-1=1-2sin2（α）；tan（2α）=2tanα/[1-tan2（α）]

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3（α）；cos3α=4cos3（α）-3cosα

半角公式：sin2（α/2）=（1-cosα）/2；cos2（α/2）=（1+cosα）/2；tan2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）；tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

万能公式：sinα=2tan（α/2）/[1+tan2（α/2）]；cosα=[1-tan2（α/2）]/[1+tan2（α/2）]；tanα=2tan（α/2）/[1-tan2（α/2）]

积化和差公式：sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]；cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]；cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]；sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]；sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]；cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]；cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

輔助角公式：acosA+bsinA=xsin（A+M）

以上公式需熟练掌握，并会灵活应用。下面就三角恒等变换谈两点应用：

1. 角代换

将未知角用已知角表示出来，使之能运用公式，称之为角代换。这是一种常见的数学计算技巧与方法。常见的几种角代换有：α=（α+β）-β；α=β-（β-α）；α=12[（α+β）+（α-β）]等。

【例1】已知tan（α-β）=12，tanβ=-17且α，β∈（0，π），求2α-β。

分析：若单独分别求出α，β的具体值是比较困难的，考虑到2α-β=（α-β）+α，α-β的正切值是已知的，而α=（α-β）+β，根据题意α-β，β的正切值是已知的。故先由角代换tanα=tan[（α-β）+β]=tan（α-β）+tanβ1-tan（α-β）tanβ=13，再由角代换：tan（2α-β）=tan[（α-β）+α]=tan（α-β）+tanα1-tan（α-β）tanα=12+131-12×13=1。最后结合α，β的范围可确定2α-β=-34π。

2. 积化和差

和差化积公式大多数学生都比较熟悉，但公式的逆用相对而言比较陌生，也容易被忽视。而公式的逆用和变形则更能开拓思路，培养学生从正向思维到逆向思维的转换的能力。下面结合例子说明如下：

【例2】已知sinα+cosβ=35，cosα+sinβ=45，求sinαcosβ。

分析：由三角恒等变换中的积化和差公式：sinαcosβ=12[sin（α+β）+sin（α-β）]，对题设中的两式平方后相加有：sin（α+β）=-12；同理对题设中的两式平方后相减有：cos2β-cos2α+2sin（α-β）=-725，即2sin（α-β）[sin（α+β）+1]=-725，解得sin（α-β）=-725，代入有sinαcosβ=-39100。

可见，三角恒等变换公式的应用，特别是逆用对解题的重要性。

3. 综合应用

辅助角，二倍角结合三角函数图形的性质（单调性、周期性、最值等）是高考的热点，特别是最近几年的全国各地的考题。

【例3】函数f（x）=sinx+π3cosx-3cos2x+34，x∈R。

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间-π4，π4上的最值。

分析：由三角恒等变换中的和差化积和二倍角公式：

f（x）=sinxcosπ3+cosxsinπ3cosx-31+cos2x2+34=14sin2x-34（1+cos2x）+34=12sin2x-π3，

所以f（x）的最小正周期为T=2π2=π；∵x∈-π4，π4，∴2x-π3∈-5π6，π6，

故f（x）的最大值为14，最小值为-12。

以上是对三角恒等变换的三点浅析，要对其熟练掌握，三角恒等变换公式必须能灵活应用，并具备较好的逻辑推理与运算能力。endprint