如何引领学生学会适当地应用数学联想

仇海宁

摘要：在高中数学教学中，教师要通过巧妙点拨、新奇设问、精心为学生创设联想情境，使学生实现由此及彼，由表及里的认识飞跃，从而“探索”到解题的途径。本文从培养高中学生数学联想能力的意义出发，探讨了有效培养学生联想能力的途径。

关键词：数学教学；联想能力；培养途径

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）21-035-1

对于一个非常规的数学问题，不少学生往往觉得难就难在没想到，想到了似乎就顿时豁然开朗了。因此，我们应教会学生学会适当地应用数学联想，这样往往能化繁为简，使难题迎刃而解，从而大大提高数学解题的效率。

一、培养高中学生数学联想能力的意义

数学解题的思维过程实质上是已知和未知之间的一系列的联想过程。因此在解题时，教师要引导学生通过仔细的观察、分析，必要时画出示意图，把条件和结论反映到图形上，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想、解题方法、解题技巧、解题规律以及熟知的相关问题的解法，由此连续化简条件和结论，建立条件与求解目标之间的逻辑联系，从而就找到了解题的思路和方法。因此，我们可以理解，应用联想，可以实现数学学科与生活的沟通，降低学习难度；应用联想，可以实现新旧知识的沟通，提高数学学习效率；应用联想，能够帮助学生形成完整的知识网络，提高数学思维能力；应用联想，能够形成完整的数学能力结构，培养学生的创新能力。

二、数学教学中有效培养学生联想能力的途径

联想本义是指一种事物和另一种事物相类似时，往往会从这一事物引起对另一事物的联想。联想是可以是因一事物而想起与之有关事物的思想活动；也可以是由于某人或某种事物而想起其他相关的人或事物；还可以是由某一概念而引起其他相关的概念。联想是暂时神经联系的复活，是事物之间联系和关系的反应。在高中数学解题中，联想应该是一种自觉的行为，是一种习惯性的思维方式。下面我将以例题分析的形式从以下几方面谈谈如何有效培养学生的联想能力。

1.数学联想要整体把握数学形式

例1：已知a，b∈R，且a，b≤1，若a1-b2+b1-a2=1。求证：a2+b2=1。

解析：就本题所给条件来看，题目条件变形起来显然没那么容易。但是从纯代数的角度分析，此题可以用柯西不等式来证明。

从题目所给结论显然能够看出点（a，b）在单位圆x2+y2=1上，由此，如果可以联想条件，容易得出点A（a，1-a2），B（b，1-b2）均在单位圆x2+y2=1上，且点C（1-b2，b），D（b，-1-b2）也在此单位圆上。

那么a1-b2+b1-a2=1表明向量OA，OC的数量积为1。所以向量OA，OC夹角为0，故向量OA，OC重合。因此a=1-b2，b=1-a2，所以a2+b2=1得证。

正是由于把握了同一数学对象的不同表达形式，才使得一种快捷的解决问题的方法应运而生。

2.数学联想要勇于应用几何性质

例2：已知双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上存在一点P关于直线l：y=bax对称，则双曲线的离心率为。

解析：此题从正面考虑，可以设出点P坐标，然后根据对称性质，列出方程，求解出坐标，再将点P代入双曲线方程即可解出离心率。但是，因为此题字母较多，显然此法不太合适。

如若联系几何性质，利用几何图形，不难发现，利用双曲线的几何性质，点F2到渐近线l的距离为|MF2|=b，又点P与点F2关于直线l对称，故l垂直平分线段|PF2|，所以点M为线段PF2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，那么|PF2|=2b，|PF1|=2a，又由双曲线定义，|PF2|-|PF1|=2a，所以b=2a，c=5a，则离心率为5。

3.教会学生联想的方法

数学学习中所开展的联想大都是“控制联想”，而控制联想是根据一定的条件与要求去进行的，存在几个选择性问题。因此，教师应教会学生怎样根据题目的条件与结论有选择地去开展联想，而不是胡思乱想。此外，教师还应教会学生从不同角度、各个方面去联想，防止联想过程中的一线性和单向性。如当一个问题找不到解决它的方法和途径时，在仔细观察问题的条件和结论后，回忆过去已学过的知识中有哪一些与本题的条件或结论相近、相似或相反，它们在哪些方面接近、相似或相反，用这些已学过的知识能否解决。如果碰壁，再从其它关系来回忆有关的知识，搜集有用的信息。另外，能力是在活动中形成和发展起来的，为了培养学生的联想能力，要有计划地指导学生开展接近联想、类似联想和对立联想，一般性联想和特殊性联想等的训练，以促使学生联想能力的发展。数形结合就是聯想的有效方法之一。例如，求最小值。通过分析，学生发现如果运用代数方法，此题显得既繁又难，若将原式稍做变形，便可联想到两点间距离公式，进而联想到求y的最小值就是求动点A（x，0）到两定点B（1，1），C（3，2）距离之和的最小值，动点A在x轴上移动。通过直观图形，问题便可变得简捷易懂，真可谓以奇制胜。

总之，高中数学知识内容不像初中数学那样单一，高中数学知识更加复杂化、灵活化、综合化。所以，在高中数学解题中思路往往不能仅仅局限在一定范围内，思维方式不能僵化。恰当应用数学联想，能够使我们大大提高解题的效率。因此，不管是教还是学，我们都要习惯于将知识深入理解、变形、融合、训练，最终达到掌握、综合应用的目的。endprint