高考数学解题思想方法之化归转化

王 华

(新疆哈密市伊州区三道岭第二中学,新疆 哈密 839003)

高考数学解题思想方法之化归转化

王 华

(新疆哈密市伊州区三道岭第二中学,新疆 哈密 839003)

化归转化是高考数学中最重要的思想方法之一，几乎每题都会用到，特别在导数题目中体现的尤为明显.本文以下题为例对化归转化思想的应用进行分析和探究.

化归转化；化简

一、问题提出

化归转化思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.下面我们通过一道题目来说明.

题目设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)证明：f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范围.

二、分析问题

在教学过程中，学生对导数问题很“畏惧”.希尔伯特说：“当我听别人讲解问题时，常常很难理解，甚至不可能理解.这时便想，是否可以将问题化简些呢？往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题.”文[1] 中指出“是否可以将问题化简些呢”是一个非常重要的解题策略.如何拨开层层迷雾，去接近问题的本质，将看起来很复杂的问题，一步步化简到学生可以达到的“最近发展区”.

在教学中，求解导函数是学生都能掌握的基础知识，且大部分学生可以正确求解出导函数，并能合并同类项整理成为f′(x)=m(emx-1)+2x.那么，由导函数如何证明函数在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增呢？分析结论发现函数单调性与参数m无关，且函数驻点为零.再进一步分析结论证明函数在(-∞,0)单调递减，即证明当xlt;0,f′(x)lt;0 .因为xlt;0，所以2xlt;0，要证f′(x)lt;0，只需证m(emx-1)lt;0,那么问题化简为xlt;0时，m(emx-e0)lt;0.进一步化简为xlt;0时，比较emx与e0大小，显然，这时问题已然解决.

经过分析上面两不等式结构具有统一性，此处学生可以将问题化简为函数g(t)=et-t-e+1≤0，求解t的取值范围.根据导函数g′(t)=et-1，g(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0，又g(-1)=e-1+2-elt;0，显然t∈[-1,1]时，g(t)≤0，即当m∈[-1,1]时，g(m)≤0,g(-m)≤0.再考虑当mgt;1和mlt;-1时g(t)的函数值，当mgt;1，由g(t)的单调性，g(m)gt;g(1)=0，即em-mgt;e-1；根据函数g(x)的结构，当mlt;-1时，-mgt;1，g(-m)gt;g(1)=0，即e-m+mgt;e-1，这时问题已然解决.

三、解决问题

通过上述分析学生不再有“老师解题像是魔术师从帽子里变出兔子一般，充满神秘感”.学生能够体会每一次困难的解决实质是对问题的一次化简的过程.下面为该题的解答过程.

①

设函数g(t)=et-t-e+1.则g′(t)=et-1，当tlt;0时，g′(t)lt;0；当tgt;0时，g′(t)gt;0，故g(t)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-elt;0，故当t∈[-1,1]时，g(t)≤0.当m∈[-1,1]时，g(m)≤0,g(-m)≤0，即①式成立；当mgt;1时，由g(t)的单调性，g(m)gt;0，即em-mgt;e-1.当mlt;-1时，g(-m)gt;0，即e-m+mgt;e-1.综上，m的取值范围是[-1,1]

华罗庚教授说过：“善于‘退’，足够的‘退’，退到原始而不失一般性的地方.”这里的“退”就是我们前面一直提到的化简.本文的撰写是想以一个高考的导数题为例，阐述高考中较难试题的一个一般性的方法，即是通过化归转化，将生疏的、困难的问题化简为学生熟悉的、简单的问题，进而将问题愉快地、顺利地解决.

[1] 许晓天.优化例题教学力促高效解题[J].中学教学数学参考：上旬，2015(4):30-34.

[责任编辑：杨惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0032-02

2017-07-01

王华(1983.2-) 女, 四川省资中人,中学一级教师，从事高中数学教学.