差比型数列的求和探讨

朱小扣

(安徽省无为县牛埠高中，安徽 巢湖 238351)

差比型数列的求和探讨

朱小扣

(安徽省无为县牛埠高中，安徽 巢湖 238351)

本文给出了差比型数列前n项和的五种求解方法.

差比型数列；前n项和；求和方法

若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}叫差比型数列.求差比型数列的前n项和一直是高考的考点，为此本文将从最一般的情形入手，得到差比型数列求和的五种通法.

例题求Sn=1+2q+3q2+…+nqn-1(q≠0且q≠1).

解方法一(错位相减法)：

Sn=1+2q+3q2+…+nqn-1.

①

①×q-②得：

q1Sn=q+2q2+…+ (n-1)qn-1+nqn.

②

①-②得：(1-q)Sn=1+q+q2+…+qn-2+qn-1-nqn

方法二(迭代法)：

Sn=1+2q+3q2+…+(n-1)qn-2+nqn-1

=1+q(2+3q+…+nqn-2)

=1+q[1+2q+…+(n-1)qn-2]+q(1+q+q2+…+qn-2)

=1+q(1+2q+…+(n-1)qn-2+nqn-1-nqn+q(1+q+q2+…+qn-2)

方法三(导数微分法)：

先考虑S=1+2x+3x2+…+nxn-1

用此方法还可以求形如“S=12+22x+32x2+…+n2xn-1”(x≠0且x≠1)的值.

注意到：n2xn-1=(n2+n)xn-1-nxn-1

=n(n+1)xn-1-nxn-1=(xn+1)″-(xn)′，

∴S=12+22x+32x2+…+n2xn-1

=(x2)″-(x)′+(x3)″-(x2)′+…+(xn+1)″-(xn)′

=(x2+x3+…+xn+1)″-(x+x2+…+xn)′.

这样就可以求出S了，同样的方法还可以求出类似的和.

因为导数与积分是互逆运算，所以像求上面的和除了可以用导数来算还可以用积分来计算.

如求S=1+2x+3x2+…+nxn-1

方法四(差分方程法)：

Sn=1+2q+3q2+…+(n-1)qn-2+nqn-1

=1+q(2+3q+…+nqn-2)

=1+q(1+2q+…+(n-1)qn-2)

+q(1+q+q2+…+qn-2)

此差分方程的特征根为λ=q,特解为

(*)

方法五(通项公式法)Sn=1+2q+3q2+…+nqn-1,则Sn+1-Sn=(n+1)qn.

设Sn+1-[a(n+1)+b]=Sn-[an+b],

则Sn+1-Sn=[(aq-a)n+aq+bq-b]qn

∴{Sn-[(an+b)qn]}是常数列.

∴Sn-[(an+b)qn]=S1-(a+b)q

∴Sn=[(an+b)qn]+S1-(a+b)q,

总结对于其他的差比型数列的前n项和，如：

求q2+2q3+3q4+…+nqn+1及1+3q+5q2+…+(2n-1)qn-1的值，可以按如下方法：

就可以化为上面的类型，都可以用上面五种方法去解.五种求和方法互相交融，交相辉映,体现数学的多元性.数学上很多知识也是交织的，所以要学好数学,我们必须要会举一反三，触类旁通.

[1]朱小扣.探究高中数学命题的原则[J].中学数学研究(华南师范大学版),2017(11).

[2]朱小扣,朱嘉懿.例谈不等式解题中的多元性和延拓性[J].数理化解题研究，2017(16).

[责任编辑：杨惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0053-02

2017-07-01

朱小扣(1986.2-)，男，中学一级教师，从事高中数学教学和高考试题研究.