浅谈高中三角函数中的数学思想

张艺文

(河南省鹤壁市高中，河南 鹤壁 458030)

浅谈高中三角函数中的数学思想

张艺文

(河南省鹤壁市高中，河南 鹤壁 458030)

三角函数是高中数学的重要内容之一，本文浅谈了几种基本数学思想在高中三角函数部分的体现.

三角函数；数学思想

函数是中学数学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.三角函数是函数的一个重要分支，也是考试的重点之一.本文从作者目前高中两年的学习经历出发，浅谈几种思想方法，对三角函数部分的体现做出了自己的理解，希望能够更好地学习三角函数.

一、方程与函数结合的思想

在解决实际问题的过程中，利用函数关系或者方程或方程组把已知量和未知量之间的关系抽象化，求出变量的值，使三角函数问题最终解决的一种思想方法，常用于求值证明等方面.

二、函数中整体思想

在三角函数解题过程中，把一部分或全部转化成一个整体，找出它们之间的联系，往往可以使复杂的题目变得简单起来.多用于化简求值，研究函数性质等方面.

三、数形结合思想

“数”与“形”中学数学的两块基石，初中的课本总是前几章是“代数”后几章是“几何”.期末考试，老师就会强调“数形结合”，一直延续到现在.二者在相互渗透，在一定条件下可以相互转换.遇到选择题的时候，可以先了解题意，作出相应的草图，通过作图使问题与图形结合，从而更直观地表现问题并得出结论.“数形结合”的重点是研究“以形助数”“以数定形”，“数形结合”是一种非常重要的数学思想.利用三角函数图象，可以直观地研究解题思路，总结归纳解题方法和技巧，提高实际运用能力.

解由题意知x应满足

作辅助图如下：

评析求函数的定义域，就是根据函数式的特点，使各部分有意义，列出不等式(组)，解之即可.在对几个角求交集时，一般可以借助图象，这里的图象分为两类：数轴和单位圆，然后画出符合条件的区域.另外，利用数轴和单位圆研究三角函数，是一种十分有效的解题方法.

四、分类讨论思想

分类讨论的思想方法在数学学习中普遍的存在，它主要是通过数学对象的不同属性，将其分类并对其进行研究的一种思想方法.分类讨论方法可以使相似问题归类，从而使复杂的问题简单化.此类思想主要体现在给值求角，以及含参问题的解决上.

例4 已知tanα=2，求4sinα2-3sinαcosα-5cosα2的值.

解tanα=2，易知α为第一或第三象限角.

∴原式=1.

∴原式=1.

综上所述：原式=1.

评析本题是根据角所在的象限进行分类.

五、化归思想

研究三角函数问题时，在一定条件下，变换研究对象，将问题转化并归结为另一种新对象，这种思维方法称为化归转换思想.我感觉化归转换思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：化多种函数名称为一种函数；化未知角为已知角；化多角的形式为单角；化高次为低次；化特殊为一般.

例5 已知tanα=2，求sinα2+sinαcosα-2cosα2

评析本题运用了转化思想——“弦化切”.

总之，三角函数是函数的一个最重要的分支.同时，1.方程思想;2.整体思想;3.数形结合思想;4.分类讨论思想;5.化归思想在本章内容也有着独特的优势.如果我们自己能够做到勤思考、多运用，那么对我们高中数学学科的学习甚至以后的发展都会发挥很重要的作用.

[1]课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书数学必修4[M].北京：人民教育出版社,2011.

[责任编辑：杨惠民]

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A

1008-0333(2017)25-0038-02

2017-07-01

张艺文(2000.10-)女，河南省鹤壁人，高中在校生.