多元最值问题的解决策略探究

崔金华

(江苏省溧阳市光华高级中学，江苏 常州 213300)

多元最值问题的解决策略探究

崔金华

(江苏省溧阳市光华高级中学，江苏 常州 213300)

本文就常见的多元最值问题，给出了最有效的三种求解方法.

多元最值；解决方法；策略

多元最值问题通常是以含有若干个变量的等式或不等式为条件，求含有这几个变量的代数式的最值问题.该题型形式一般为:已知F(x,y,…)=0(或者F(x,y,…)≥0)，求G(x,y,…)的最值.

这类问题的解决方法颇多，涉及的知识面较广，是很多数学思想方法的理想载体，因而成为高考和竞赛中倍受青睐的一种题型，并且具有较好的区分度.以下结合具体的实例，探究该类问题的一些常用的求解方法.

一、消元法

例3 (2017扬州期末第14题)已知一个长方体的表面积为48，所有棱长之和为36，则这个长方体的体积的取值范围为____.

以上三例表明，通常以等式为条件时，可以利用消元法，减少变量个数，再借助其他工具(基本不等式、导数等)求出最值.

二、换元法

解析1 考虑到待求分式上下次数不等，可以考虑借助常数1将目标化为齐次式再来处理.

从例5的解法可以看出，对于一个问题的观察与思考，着眼点不同，解决的方法也不同.三种解法分别从三个不同的角度思考，进行适度换元，在简化形式的同时也让问题露出其本质.

三、主元法

以上两例都是在以几个变量之间满足的不等关系为条件的前提下求最值，从解决的方法上我们可以体会到一种“先局部再整体”的思想，也可以理解为“利用不等关系进行消元”.

不等式是高中数学的重点和难点，多元最值问题与不等式联系最为密切，而“基本不等式”又是这类最值问题常用的工具.在解决这类问题时，对问题所给出的条件进行适当的联想很有必要，同时结合所要解决的问题，能从不同的角度进行探索与思考，从而找到合理的解决途径.文中的例5便是一个很好的典范.虽然本文通过若干例题介绍了几种常用方法，但在解决具体问题时仍需仔细观察、深入思考、灵活运用，方能有效提高解题技能.

[1]陈瑞琪.突破数学传统教学模式的一次尝试[J].上海教育, 1998(12):58-59.

[责任编辑：杨惠民]

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1008-0333(2017)25-0016-02

2017-07-01

崔金华(1985-)男，江苏溧阳人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学与研究.