修正极坐标系下雷达与ESM航迹对准关联

关欣， 彭彬彬， 衣晓

海军航空工程学院 电子信息工程系， 烟台 264001

修正极坐标系下雷达与ESM航迹对准关联

关欣， 彭彬彬， 衣晓*

海军航空工程学院 电子信息工程系， 烟台 264001

研究了存在系统误差时修正极坐标系(MPC)下的雷达与电子支援措施(ESM)航迹关联问题。系统误差导致MPC下雷达和ESM的角度估计产生偏移，而对角度变化率、距变率与距离的比值(ITG)的估计影响不大；结合非中心卡方分布的知识，分析了雷达与ESM的测量误差对非中心参数和正确关联概率的影响；提出了一种基于积分重合度的雷达与ESM航迹对准关联算法。首先将雷达与ESM的目标映射到角度-角度变化率空间，分别得到了雷达与ESM的目标曲线，然后对两目标曲线求积分重合度，估计出雷达与ESM测角系统误差的偏移量，对偏移量补偿后进行雷达与ESM的航迹关联。仿真结果表明，本文所提算法能有效地提高存在系统误差时雷达与ESM正确航迹关联概率。

系统误差； 航迹关联； 雷达； ESM； 非中心参数； 积分重合度； 修正极坐标系

在军事多传感器信息融合系统中，异类传感器的信息融合一直是一个重要又困难的研究课题，其中雷达和电子支援措施(Electronic Support Measurements，ESM)的数据融合就是典型的异类传感器数据融合问题[1]。雷达和ESM数据融合的前提是雷达和ESM的数据关联。但是由于ESM是被动传感器，只能提供角度信息而没有距离信息，再加上传感器的误差和数据率的差异等问题，雷达和ESM航迹关联存在很大的不确定性[2-3]。文献[4]研究了在各雷达目标航迹样本容量不等时雷达与ESM的航迹关联问题。在此基础上，文献[5]简化了机载雷达与ESM航迹关联的正确关联和错误关联概率表达式。上述方法均是利用量测数据构造统计量，为了能更好地利用传感器提供的信息，文献[6-7]分别对雷达和ESM量测进行滤波处理后，利用直角坐标系下位置和速度构造关联统计量，此时为了确保滤波不发散，要求ESM传感器相对目标进行一定的机动。在修正极坐标系(Modified Polar Coordinates,MPC)下滤波时，当传感器与目标之间的相对加速度为零时，可观测的状态与不可观测的状态能自动解耦，确保了稳定跟踪[8]。文献[9]在修正极坐标系下对3类典型场景5种关联方法的正确关联概率和错误关联概率进行了仿真与分析。文献[10]在MPC中的前3个状态向量的基础上，增加了两个新的状态量，基于最大似然估计分析了所提方法的性能。但是上述文献均未考虑系统误差的影响[11-13]。

现有的雷达与ESM系统误差配准方法默认已经实现了航迹关联，但是由于系统误差的存在往往无法获取正确的雷达与ESM航迹关联关系，从而产生了一个相互为前提的矛盾问题。文献[14-15]采用图像匹配的思想，对空间进行网格化划分，利用傅里叶变换和Randon变换等技术实现了雷达航迹对准关联。所谓对准关联，分为航迹对准和航迹关联两个步骤，即不依赖准确的系统误差配准技术下的航迹关联。然而上述均为雷达组网的情况[16-17]。文献[18-19]分别研究了系统误差对基于角度统计量和基于位置统计量的雷达与ESM航迹关联方法的影响[20]，但是均未提出存在系统误差时有效的解决方法。

本文对系统误差存在时MPC下雷达与ESM航迹关联问题进行了研究，分析了系统误差对MPC下状态量的影响。结合非中心卡方分布的知识，分析了雷达与ESM的测量误差对非中心参数的影响。提出了基于积分重合度的雷达与ESM航迹对准关联算法，该算法将所有目标看作一个整体，较好地利用了目标间的相对位置信息。不要求对雷达与ESM实现准确的误差配准，可以估计出雷达与ESM的角度系统误差间的偏移量，有效地实现系统误差下雷达与ESM的航迹对准关联。

1 雷达与ESM的系统方程

假设雷达与ESM位于同一平台，以平台中心为坐标原点建立坐标系同时对目标进行定位跟踪。T为采样间隔，文中分别记t0T与(t0+k)T时刻为t0和k时刻。平台在k时刻的位置为(xp(k),yp(k))。假设目标在传感器的监视区域内匀速直线运动，在直角坐标系的状态向量为X=[xtvxytvy]T，则k时刻目标相对于平台的位置可写为

(1)

式中：x0,y0为目标t0时刻的位置；vx、vy为沿x轴、y轴的速度。雷达量测由距离和方位角组成，且该量测受随机测量误差和系统误差的影响，有

ZA(k)=hX(k)+Δ+Wk

(2)

(3)

(4)

由于ESM只能测得角度信息，所以采用修正极坐标系中对目标进行跟踪滤波，这可以避免目标与ESM传感器之间相对加速度为零时直角坐标系中的滤波发散问题[21]。修正极坐标系中目标的状态向量通常为目标方位角变化率、距离变化率与距离比(Inverse-Time-to-Go，ITG)、方位角和距离的倒数，则ESM的状态向量表示为

(5)

由于滤波时第4个分量与前面3个分量相互解耦，为了减少计算量只取状态估计的前面3个项。则其离散状态下的状态方程为

(6)

式中：s1=y1(k),s2=y2(k),s3=Ty1(k),s4=1+Ty2(k)。

量测方程为

(7)

雷达在直角坐标系下的卡尔曼滤波和ESM在MPC下的具体滤波公式可参考文献[21]。

2 MPC下雷达与ESM航迹关联

2.1 构造关联统计量

将雷达在直角坐标系下的状态估计和协方差转化到MPC中[11]，前3项状态估计记为

式中:

(8)

(9)

(10)

在获得雷达和ESM的目标状态估计的基础上，假设PA(k)与PB(k)分别为雷达与ESM在k时刻MPC中的状态估计的协方差，设

(11)

k时刻第i个雷达航迹与第j个ESM航迹的关联统计量表示为

(12)

当给定门限λ时，雷达与ESM航迹关联决策方式为

H0∶η(k)>λ，雷达与ESM航迹不关联。

H1∶η(k)≤λ，雷达与ESM航迹关联。

2.2 系统误差的影响

系统误差对雷达和ESM航迹关联统计量的影响以定理的形式给出。

定理对于系统误差下同地配置的雷达与ESM，MPC中状态估计的前两项，即角度变化率和ITG是近似无偏的，而角度估计量由于系统误差的影响，存在固定偏差；统计量为

证明：k时刻目标位于x(k),y(k)，当雷达与ESM滤波效果良好，雷达目标在MPC的状态估计为

(13)

(14)

(15)

ESM目标在MPC中的状态估计为

(16)

(17)

(18)

若雷达航迹与ESM航迹来源于同一个目标，可知

(19)

(20)

(21)

式中：雷达与ESM测角系统误差的偏差c=ΔθA-ΔθB，简称为测角系统偏差，通常c并不等于零。系统误差对状态向量的前两项基本不影响，即角度变化率和ITG是近似无偏的，而角度估计由于系统误差的影响，存在恒定偏差。所以η(k)服从自由度为3、非中心参数为δ(k)的非中心卡方分布：

(22)

式中：

(23)

证毕。

2.3 雷达与ESM测量参数对非中心参数和正确关联概率的影响

结合式(22)和式(23)，对于系统误差存在时MPC中的雷达与ESM航迹关联，提出如下性质：

证明：对于式(23)，显然随着c2的增大，非中心参数δ(k)增大；随着c2的减小，非中心参数δ(k)减小。说明非中心参数不是由雷达或ESM测角系统误差的具体值，而是由雷达与ESM的测角系统偏差决定的。

然后证明非中心参数与随机误差的关系。

雷达目标在直角坐标系下k时刻的Fisher信息阵[10]为

(24)

式中：

(25)

将其由直角坐标转换到MPC中，可得到雷达目标在MPC中的Fisher信息阵为

(26)

则可以得到雷达目标在MPC中的克拉美-罗下限为

(27)

ESM目标在k时刻的Fisher信息阵为[10]

(28)

ESM目标的克拉美-罗下限为

(29)

(30)

式中：a(n)、b(n)、c(n)、d(n)、e(n)和f(n)为n时刻关于初始状态X(t0)的函数。这里只是探究雷达与ESM传感器的误差对非中心参数的影响，所以并不需写出确切表达式。

(31)

提取共同的分母：

(32)

式中：

(33)

(34)

可知A(n)和B(n)均为3×3的正定阵。对时间求和后，有

(35)

对于正定阵，加法运算后仍为正定阵，同样C(k)和D(k)为3×3的正定阵。

同理，对ESM的JB(k)进行类似处理，可以化简为

(36)

式中：E(k)为3×3的正定阵。所以

(37)

E-1(k)]

(38)

E-1(k)]-1

(39)

证毕。

若给定漏关联概率，门限为TT即为某个确定常数，得到正确关联概率为

(40)

图1 非中心卡方分布概率密度函数 Fig.1 Probability density function for non-central chi-squared distribution

3 基于积分重合度的雷达与ESM航迹对准关联算法

第2节讨论了系统误差对MPC下状态估计量的影响，即系统误差对前两个状态分量基本不影响，只对第3个状态分量造成固定角度偏移，所以只要能将这个固定的偏移量估计出来，补偿后就可以采用现有的关联算法进行航迹关联。

(41)

(42)

目标曲线将所有目标视为一个整体，其形状包含了目标之间的相对位置信息，而与测角系统误差无关。由于定积分沿着积分轴具有平移不变性，所以以雷达目标曲线为参照，对F2(θ,k)沿着横轴进行平移，假设平移量为C，得到函数F2(θ+C,k)，则平移后雷达与ESM目标曲线的相似程度用积分重合度S(C,k)可表示为

(43)

式中：u1=min(n1(k),m1(k)+C)，u2=max(n2(k),m2(k)+C)。由于积分上下限含有C，需进行讨论，如表1所示。

表1 积分上下限的取值表Table 1 Values for bounds of integral

使得S(C,k)最小的Cmin即为k时刻雷达与ESM测角系统误差偏差ΔθA-ΔθB的估计值。S(C,k)对C求导，得到S′(C,k)，令S′(C,k)=0，当雷达测角系统误差大于ESM测角系统误差时，在区间[n1(k)-m2(k),n2(k)-m1(k)]有唯一解；当ESM测角系统误差大于雷达测角系统误差时，在区间[m1(k)-n2(k),m2(k)-n1(k)]存在唯一解。

4 仿真分析

为了验证本文所提出的基于积分重合度的雷达与ESM航迹对准关联算法的有效性，在系统误差存在的情况下对该算法进行仿真实验。仿真中，正确关联概率为Pc=Nc/(Nc+Nf+Nm)，错误关联概率为Pf=Nf/(Nc+Nf+Nm)，漏关联概率为Pm=Nm/(Nc+Nf+Nm)，且有Pc+Pf+Pm=1。其中Nc、Nf和Nm分别为实验中正确关联、错误关联和漏关联点迹对的数目。

4.1 系统误差影响

假设雷达与ESM位于同一个观测平台，平台初始位置为(0,0) km，以π/2的航向和100 m/s的速度匀速直线运动。存在3个平行直线运动的目标，初始位置分别为(41,31) km、(42,33) km和(39,30) km，航向和速度均为2π/3和200 m/s。雷达与ESM采样间隔均为1 s，允许的漏关联概率为0.1。表2为设置的仿真条件，在上述条件下各进行100次蒙特卡罗仿真，对传统方法[9]在系统误差存在时进行仿真，并对结果进行分析，图2 和图3给出了仿真结果。

表2 系统误差下雷达与ESM航迹关联仿真条件Table 2 Simulation conditions of radar and ESM with systematic errors

图2 系统误差下雷达与ESM航迹正确关联概率 Fig.2 Correct association probability of radar and ESM with systematic errors

图3 系统误差下目标的状态估计(σθA=1.0°) Fig.3 Estimates of target with systematic errors (σθA=1.0°)

图3为实验2中σθA=1.0° 时某个目标的状态估计。可以看出存在系统误差时，修正极坐标系中状态估计的前两项，即角度变化率和ITG是近似无偏的，雷达与ESM能稳定跟踪，说明雷达测距系统误差对MPC下的ITG估计影响很小；而角度估计由于测角系统误差的影响，与真实状态存在固定偏差。

从图2和图3中可以看出，当存在系统误差时，随着系统误差的增大，雷达与ESM航迹正确关联概率减小；随着雷达或ESM测角误差的增大，正确关联概率增大。随着雷达测距误差的增大，正确关联概率增大不明显。这是因为随着雷达或ESM测角误差，关联统计量的非中心参数减小，导致正确关联概率增大。不存在系统误差时，传统方法[9]的关联统计量与决策门限均服从卡方分布。存在系统误差时，门限与关联统计量不相符，传统方法不再适用，反常的实验现象说明了系统误差下对准雷达与ESM的必要性。

4.2 对准后雷达与ESM航迹关联性能

在4.1节3个平行运动目标的基础上，随机产生3个匀速直线运动目标，目标的速度和初始航向分别在80～120 m/s和0～2π内均匀分布。设置仿真条件如表3所示。

在实验1的条件下，本文算法与文献[12]算法分别进行100次蒙特卡罗仿真对比，随着时间变化的关联效果如图4所示。

从图4中可以看出当存在系统误差时，随着时间的推进，由于跟踪逐渐稳定，本文算法正确关联概率逐渐提高；基于统计理论的方法未对系统误差进行对准处理，正确关联概率不断下降，即更多的测量数据不仅没有提高算法的性能，反而导致误差逐渐积累，影响关联效果。

表3 雷达与ESM航迹关联仿真条件Table 3 Simulation conditions of track association of radar and ESM

图4 关联概率随时间变化曲线 Fig.4 Curves of association probability changing over time

为验证不同误差下所提算法的有效性，在表3 的条件下，取250～300 s之间的平均关联性能作为指标，将本文提出的基于积分重合度的雷达与ESM航迹对准关联算法与未考虑系统误差的文献[7]、文献[9]和考虑系统误差的文献[18]算法的关联性能进行对比，各进行100次蒙特卡罗仿真后结果如表4所示。

图5分别为280 s时实验5中对准前与对准后雷达与ESM的目标曲线，即探测到的目标在角度-角度变化率映射空间的分布情况，可以看出，雷达或ESM目标曲线的形状相似，包含了目标的相对位置信息而与系统误差无关。存在系统误差时，如果未对雷达与ESM的测角系统误差进行估计和对准，雷达与ESM的目标曲线会存在严重偏移。从表4中也可以看出，文献[7]的ESM采用伪线性滤波，属于有偏估计，存在系统误差且未对系统误差进行对准时，文献[7,9]关联统计量与所设置的门限不相符，漏关联概率急剧增加，正确关联概率迅速下降，且会出现如2.3节所描述的反常现象，无法提供正确的雷达与ESM航迹关联关系；文献[18]虽然考虑了系统误差的影响，但是仍采用传统的统计方法，对于较大的系统误差性能并不理想。从图5(b)中可以看出，本文提出的基于积分重合度的雷达与ESM航迹对准关联算法首先能较好地估计雷达与ESM的测角系统误差的差值，对其进行补偿后，目标曲线较好地实现对准，算法的漏关联概率迅速下降，正确关联概率大幅提高。随着雷达或ESM的随机测量误差增大，算法的正确关联概率略微下降；对比4.2节中实验1和实验7结果可知，在一定范围内增大雷达的测距系统误差，正确关联概率变化不大，结合图5(a)可知式(21)中的近似处理是合理的；随着雷达与ESM测角系统误差的增大或减小，算法始终维持较高正确关联概率，说明算法对系统误差存在较好的鲁棒性。

表4 雷达与ESM航迹关联概率Table 4 Track association probability of radar and ESM

图5 雷达与ESM的目标曲线 Fig.5 Targets curves of radar and ESM

5 结 论

1) 分析了系统误差对MPC下状态量的影响，即角度变化率和ITG是近似无偏的，而角度估计量由于系统误差的影响，与真实状态存在恒定偏差。

2) 存在系统误差时，关联统计量服从非中心卡方分布；理论分析了雷达与ESM的测量误差对非中心参数和正确关联概率的影响。

3) 提出了一种基于积分重合度的雷达与ESM航迹对准关联方法，该方法不需要事先准确地配准雷达和ESM的系统误差，通过估计和补偿雷达与ESM的测角系统误差相对偏移，正确关联概率得到大幅提高，解决了传统方法在有系统误差性能下降的问题。

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(责任编辑： 苏磊)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161110.0829.002.html

Trackalignment-associationofradarandESMinMPC

GUANXin，PENGBinbin，YIXiao*

DepartmentofElectronicsandInformationEngineering,NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China

Thispaperconductsresearchontheproblemoftrackassociationofradarandelectronicsupportmeasurements(ESM)withsystematicerrorsexistinginmodifiedpolarcoordinates(MPC).SystematicerrorscancauseamassmotionofbearingestimatesofradarandESMinMPC,butonlyslightinfluenceontheestimateofbearingrateandinverse-time-to-go(ITG).Byreferringtoknowledgeofnon-centralchi-squareddistribution,theeffectofmeasurementerrorsofradarandESMonnon-centralparametersandprobabilityofcorrectassociationareanalyzed.Atrackalignment-associationalgorithmforradarandESMbasedonoverlapratioofintegralisproposed.ThetracksofradarandESMaremappedintothebearing-bearingratespacetogainthecurvesofradarandESM.Then,theoverlapratioofintegralofthetargetcurvesiscalculated,andthemassofbearingsystematicerrorsofradarandESMisestimated.Thetrackassociationisachievedafterthemassiscompensated.Simulationresultsshowthatprobabilityofcorrectassociationcanbeimprovedeffectivelybytheproposedalgorithminthepresenceofsystematicerrors.

systematicerror;trackassociation;radar;electronicsupportmeasurements;non-centralparameter;overlapratioofintegral;modifiedpolarcoordinates

2016-08-08；Revised2016-09-21；Accepted2016-11-04；Publishedonline2016-11-100829

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61032001);ProgramforNewCenturyExcellentTalentsinUniversityofMinistryofEducationofChina(NCET-11-0872)

.E-mailyxgx_gxyx@163.com

2016-08-08；退修日期2016-09-21；录用日期2016-11-04； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-11-100829

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161110.0829.002.html

国家自然科学基金 (61032001)； 教育部新世纪优秀人才支持计划 (NCET-11-0872)

.E-mailyxgx_gxyx@163.com

关欣， 彭彬彬， 衣晓． 修正极坐标系下雷达与ESM航迹对准关联J． 航空学报,2017,38(5):320668.GUANX,PENGBB,YIX.Trackalignment-associationofradarandESMinMPCJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(5):320668.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0287

V243.2;TN958

A

1000-6893(2017)05-320668-12