区间二元语义信息的C-OWGD算子在多属性群决策中的应用

刘 兮，孟祥旺，陈华友

(1.安徽城市管理职业学院 公共教学部，合肥 230011；2. 安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

区间二元语义信息的C-OWGD算子在多属性群决策中的应用

刘 兮1，孟祥旺1，陈华友2

(1.安徽城市管理职业学院 公共教学部，合肥 230011；2. 安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

基于C-OWGD算子定义了一种新的区间二元语义距离，再将其和语言环境下的有序加权距离(OWD)算子相结合，提出了基于区间二元语义C-OWGD算子距离的有序加权距离(ITC-OWGD)算子，并探讨了该算子的一些性质和特例。最后，给出了基于ITC-OWGD算子的区间二元语义多属性群决策方法。该方法在决策者权重、属性权重信息皆未知的条件下，给出了求解决策者权重和属性权重的公式，从而获得相应的权重。

多属性群决策；距离测度；区间二元语义信息；C-OWGD算子

多属性群决策问题，即若干个决策者对有限个备选方案在相关属性信息下按照某种合理规则给出排序结果并确定最优方案，其核心问题是如何集结方案的属性信息。自Yager[1]于1988年提出了有序加权平均(OWA)算子后，OWA 算子以及拓展出的一系列信息集结算子[2-5]已成为解决属性信息集结问题的主要工具，在决策领域得到了广泛应用。

文献[6]将C-OWA和C-OWGD算子应用到不确定语言环境中，提出了基于不确定语言信息的ULC-OWA和ULC-OWG算子，并将这些算子应用到不确定语言多属性决策中。文献[7-8]考虑信息数据集成时的相互间关系，分别将power算子和Bonferroni算子推广到不确定语言环境，提出了ULPOWA、ULBM和ULGBM等若干新算子，并分别给出基于这些算子的不确定语言多属性决策方法。文献[9]研究了属性权重已知，且属性值为区间二元语义信息的多属性群决策问题，提出了几种集结区间二元语义信息的算子，并给出了一种求解专家权重的方法，从而利用专家权重和算子进行方案群决策。

目前，距离测度作为另外一种重要的属性信息集结方法，也在多属性决策中得到了普遍应用。距离测度主要依靠度量各个方案和理想结果之间的距离差异，从而得到与理想结果之间距离最小即为最优方案的排序结果。文献[10]将实数间距离和OWA算子相结合，并推广到广义平均形式，提出了有序加权距离(OWD)算子。文献[11-12]分别将OWD算子推广到语言信息和二元语义信息环境下，提出了LOWD和TOWD算子，并分别给出基于这些算子的语言型多属性决策方法。文献[13]将C-OWA算子和区间语言间距离相结合，定义了一种连续区间语言有序加权距离(LCOWD)算子，探讨了算子的一些性质和特例，并将其应用到多属性群决策中。

本文首先基于C-OWGD算子定义了一种新的区间二元语义距离，再将其拓展到语言环境下的有序加权距离(OWD)算子中，提出了基于区间二元语义C-OWGD算子距离的有序加权距离(ITC-OWGD)算子，进一步研究了该算子的一些性质和特例。

1 预备知识

1.1二元语义基本概念

定义1[14]若sk∈ST+1为语言短语，令函数：θ(sk)=(sk,0),sk∈ST+1，则称θ:ST+1→ST+1×[-0.5,0.5)为语言短语对应的二元语义形式的转换函数。

定义2[14]设β∈[0,T]为语言评价集ST+1经某集结方法得到的实数，令

则称函数Δ:[0,T]→ST+1×[-0.5,0.5)为实数β对应的二元语义信息的转换函数，其中round为四舍五入取整算子。

令Δ-1(sk,ak)=k+ak=β，则称Δ-1:ST+1×[-0.5,0.5)→[0,T]为转换函数Δ的逆函数。Δ-1的意义在于把二元语义信息转换为相应的实数。

假设(sk,ak)和(sl,al)为两个二元语义，其序关系满足：(Ⅰ)若k>l，则(sk,ak)>(sl,al)；(Ⅱ)当k=l时，若ak>al，则(sk,ak)>(sl,al)；若ak=al，则(sk,ak)=(sl,al)。

在多个专家进行的群决策中，决策者们往往会依据其个人偏好提出不同语言评价集给出各自的语言评价信息。而这些评价信息在集成时由于粒度不同不能直接进行计算，需要利用基本语言评价集进行一致化，转为同粒度下的二元语义信息后才能处理。这个过程容易导致信息丢失且计算较繁琐。为解决这个问题，文献[16]提出了一种新的二元语义表达形式。

定义3[16]设β∈[0,1]为语言评价集ST+1经某集结方法得到的实数，令

比较定义2、3可知，定义2中的β∈[0,T]，而定义3中的β∈[0,1]，可认为其是标准化的，因为无论语言评价集ST+1的粒度为多少，β的取值范围都在[0,1]之间，这样就能直接比较隶属于不同语言评价集的二元语义。

在决策时，由于诸多不确定性，且为防止信息缺失，文献[17]在定义3的基础上提出了区间二元语义概念。下面给出区间二元语义的定义：

1.2连续区间二元语义OWGD(ITC-OWGD)算子

定义5[18]设[a,b]为区间数，0

(1)

其中函数ρ:[0,1]→[0,1] 满足ρ(0)=0，ρ(1)=1，当x>y时ρ(x)≥ρ(y)，则称G 是连续区间数据的OWG算子，简称为C-OWGD算子。ρ(x)称为基本的单位区间单调(BUM)函数。

定义6设[(si,αi),(sj,αj)]为区间二元语义，0<Δ-1(si,αi)<Δ-1(sj,αj)，且

gρ([(si,αi),(sj,αj)])=Δ(Gρ([Δ-1(si,αi),Δ-1(sj,αj)]))

(2)

则称g是连续区间二元语义的OWG算子，简称为ITC-OWG算子。其中ρ(x)为基本的BUM函数。

在引入ρ(x)的态度参数后，可以得到gρ([(si,αi),(sj,αj)])的另一表达式

gρ([(si,αi),(sj,αj)])=Δ((Δ-1(sj,αj))λ(Δ-1(si,αi)1-λ))

(3)

(4)

由式(3)可以看出，ITC-OWG算子可以表示成区间二元语义[(si,αi),(sj,αj)]两个端点的加权几何平均形式。

文献[10]将GOWA算子和实数间距离测度相结合，提出了有序加权距离(OWD)算子的概念。

(5)

其中d(aj,bj)=|aj-bj|,j=1,2,…,n，且σ(1),σ(2),…,σ(n)是(1,2,…,n)的一个置换,满足d(aσ(j-1),bσ(j-1))≥d(aσ(j),bσ(j)),参数τ>0。

(6)

(7)

(8)

在(8)式中，当参数τ取不同的数值时，可以得到很多特殊的距离算子。

当τ=1时, ITC-OWGD 算子退化为区间二元语义C-OWGD算子距离的有序加权海明距离(ITC-OWGHD)算子：

(9)

当τ=2时, ITC-OWGD 算子退化为区间二元语义C-OWGD算子距离的有序加权欧几里得距离(ITC-OWGED)算子：

(10)

当τ→0时, ITC-OWGD 算子退化为区间二元语义C-OWGD算子距离的有序加权几何距离(IT-COWGGD)算子：

(11)

易证ITC-OWGD算子具有如下性质。

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.3ITC-OWGD算子的推广

根据文献[19],可以利用拟算术平均替代广义平均，对ITC-OWGD算子作进一步推广，得到拟算术IT-COWGD算子。

(18)

当函数f(x)=xτ时，Quasi-ITC-OWGD 算子即退化为ITC-OWGD 算子，可知ITC-OWGD 算子为Quasi-ITC-OWGD 算子的一个特例。

2 多属性群决策应用

表1 理想方案

基于ITC-OWGD算子的多属性群决策方法具体步骤如下。

(19)

(20)

(21)

由文献[20]中思想，可定义如下相似度概念：

(22)

其中k=1,2,…,t,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n。

(23)

同理，也可得到属性权重w=(w1,w2,…,wn)T如下，

(24)

(25)

(26)

3 实例分析

表2 专家D1给出的决策评估矩阵表3 专家D2给出的决策评估矩阵R1=C1C2C3C4X1X2X3X4[s71,s73][s71,s72][s71,s72][s73,s75][s73,s75][s71,s73][s71,s72][s71,s73][s74,s75][s71,s74][s71,s73][s71,s72][s72,s73][s72,s75][s72,s74][s72,s73]æèççççöø÷÷÷÷R2=C1C2C3C4X1X2X3X4[s51,s52][s51,s53][s51,s52][s51,s53][s52,s53][s51,s52][s51,s53][s51,s53][s51,s53][s51,s52][s51,s53][s52,s53][s51,s52][s52,s53][s51,s53][s51,s52]æèççççöø÷÷÷÷

表4专家D3给出的决策评估矩阵

表5 属性理想值

下面根据本文提出的方法对4个考评地方进行排序和择优。

表10专家D1的距离矩阵d1

表11专家D2的距离矩阵d2

表12专家D3的距离矩阵d3

根据式 (22) 、(23) 和 (24)，可得到

相似度为：Sim1=0.6558,Sim2= 0.7351,Sim3= 0.6091;

投资顾问权重为:ω1=0.3279,ω2=0.3675,ω3=0.3046;

属性权重为:w1=0.2385,w2=0.2458,w3=0.2651,w4=0.2506.

这里T-GOWA算子中的系数τ=3。

则对4个考评地方进行排序得X3≻X4≻X2≻X1，则可持续发展最优城市为A3。

由前面分析知，当ITC-OWGD 算子中参数τ取一些特定的数值时，可以得到很多特殊的距离算子，相应的，排序结果也将发生变化，如表18所示。

表18 各种距离算子下的排序结果

图1 参数τ对考核评估结果的影响

由图1知，随着τ的变化，考评结果的排序也在变化：

(1)当τ∈(0,6.5634]时,考评地的排序为X3≻X4≻X2≻X1,可持续发展最优城市为X3;

(2)当τ∈(6.5634,11.4235]时,考评地的排序为X3≻X4≻X1≻X2,可持续发展最优城市为X3;

(3)当τ∈(11.4235,20]时,考评地的排序为X3≻X1≻X4≻X2,可持续发展最优城市为X3.

4 结束语

本文基于C-OWGD算子定义了一种新的区间二元语义距离，将其拓展到语言环境下的有序加权距离(OWD)算子中，提出了基于区间二元语义C-OWGD算子距离的有序加权距离(ITC-OWGD)算子，探讨了该算子的一些性质和特例，并提出了一种基于ITC-OWGD算子的区间二元语义多属性群决策方法。该方法的优点是综合考虑了每个决策者给出的方案和最优方案间的距离测度，且给出了求解决策者权重和属性权重的公式，决策者还可以根据偏好选取不同的参数从而获得多种排序结果。最后，通过实例分析，说明了本文方法的有效性和可行性。

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ContinuousOrderedWeightedGeometricDistance(C-OWGD)OperatorforInterval-valued2-tupleLinguisticInformationandItsApplicationstoMultipleAttributeGroupDecisionMaking

LIU Xi1,MENG Xiang-wang1,CHEN Hua-you2

(1. Department of Basic Courses, Anhui Occupational College of City Management, Hefei 230011; 2. School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China)

A group decision making method based on interval-valued 2-tuple linguistic information and distance measure is developed. Firstly, a new interval-valued 2-tuple linguistic distance measure based on the C-OWG operator is defined. Secondly, the interval-valued 2-tuple linguistic continuous ordered weighted geometric distance (ITC-OWGD) operator is proposed, which combines the new distance measure with the ordered weighted distance (OWD) operator under linguistic environment. Simultaneously, some desired properties and different special cases of the ITC-OWGD operator are also investigated. Furthermore, a method of MAGDM under interval-valued 2-tuple linguistic environment is proposed based on ITC-OWGD operator. The merits are in two respects: 1) the proposed method can be used to deal with the situations, where decision makers’ weights and attributes’ weights are completely unknown; 2) two simple and exact formulas are used to determine the weighting vector of decision makers and the weighting vector of attributes.

multiple attribute group decision making; distance measure; interval-valued 2-tuple linguistic information; C-OWGD operator

2017-07-10

2017-09-20

安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2015A379)，安徽省高等学校自然科学研究项目(KJ2015A065)，合肥师范学院人才科研启动基金(2017rcjj03)资助。

刘 兮(1986— )，女，安徽寿县人, 安徽城市管理职业学院公共教学部讲师，博士，研究方向：组合预测、决策和评价分析；孟祥旺(1985— )，男，山东微山人, 安徽城市管理职业学院公共教学部助教，硕士，研究方向：时滞控制系统；陈华友 (1969— )，男，安徽和县人，安徽大学数学科学学院教授，博士生导师，研究方向：预测和决策分析。

O159

A

2096-2371(2017)05-0001-11

[责任编辑：张永军]