关注基本图形着眼知识生长——以“相似三角形的复习”为例

苏兴震

（江苏省张家港市合兴初级中学）

关注基本图形着眼知识生长
——以“相似三角形的复习”为例

苏兴震

（江苏省张家港市合兴初级中学）

相似三角形在初中数学中具有工具性作用，在复习内容的选择上应突出判定和性质的主干，利用“K”字型相似基本图形的主线，将相似三角形的知识内容串联起来，在教学过程中注重总结反思和信息技术的辅助作用.

相似三角形；基本图形；复习教学

复习课的教学，不是已有知识、方法的简单重复，而应是知识技能再发生、再创新的过程，结构体系再生长、再建构的过程，思想方法再定位、再优化的过程.下面，笔者以在江苏省苏州市课堂教学展示活动中开设的“相似三角形的复习”一节复习课教学为例，与同行分享教学过程与思考感悟.

一、教学的设计与思考

1.复习范围的选择

在苏科版《义务教育教科书·数学》中，相似三角形是九年级下册第六章“图形的相似”的内容，是初中数学即将收尾的部分.从这一章内容来看，包含成比例线段、相似的概念、三角形相似的判定条件、三角形相似的性质、位似图形、三角形相似的应用等诸多知识，而且具体解决问题时还会涉及函数、方程、四边形、圆等知识，可谓是初中数学的大综合.因此，在内容取材方面需要削枝强干、突出重点，即突出相似三角形的判定和性质这条主干，其他内容尽可能的弱化，或者舍去.

2.复习内容的定位

在初中数学中，通常是利用相似的判定和性质来求线段的长度、线段间的数量关系，或者求图形的角度、判定图形的位置关系.因此，相似是解决几何图形中数量关系、位置关系的重要工具.在本节课的复习教学中，能够使学生充分认识到相似的工具性作用，并能灵活运用相似工具来分析处理相关的数学问题.

3.复习主线的确定

复习教学中既要考虑知识的连续性，即知识的起点、生长点和落脚点；同时也要考虑其综合性，涵盖既往知识、兼容思想方法、获得解决问题的基本经验.本节复习课从相似三角形的基本概念出发，围绕“K”字型相似基本图形的主线，串联相似三角形的判定条件和性质，渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想，深化认知“K”字型相似及其变化的基本图形，达到灵活、快捷的解决相关数学问题的目的.

二、教学过程

1.回顾思考

师：前面学习了相似三角形的知识，请同学们回顾什么是相似三角形.

学生回顾、回答相似三角形的概念.

师：定义是具有判定和性质的双重属性，但利用这个定义来判定两个三角形相似显然比较麻烦，因此我们探索学习相似三角形判定的简化方法，有哪些？

学生回顾：“平行”判定、“角角”判定、“边角边”判定和“边边边”判定.

师：如图1，我们将两个相似三角形组合在一起，并进行适当放缩，就会得到常见的相似三角形的基本图形（如图2），请同学们观察屏幕上的基本图形的结构，你知道它们的名字吗？

图1

图2

学生观察回顾：“A”字型相似、“8”字型相似、“母子”型相似、“剪刀”型相似.

师：（利用几何画板软件，上下移动虚线，演示图2中的4种相似基本结构的变化过程）通过演示我们发现，这些基本的相似图形的内在变化事实上是有一定的联系的.在三角形相似的基本图形中，还有其他的组合图结构，今天我们就来继续学习、探究.

出示问题1.

问题1：如图3，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD上的一点，且AC⊥EC.求证：△ABC∽△CDE.

图3

学生思考解答，过程略.

师：若将原问题的条件ED⊥BD改为ED⊥EC，此时△ABC∽△CED还成立吗？

学生思考解答，过程略.

教师引导学生观察图3、图4，根据学生的回答，总结图形结构特征.

图4

①有三个直角；

②有两边在同一条直线上.

师：我们发现，这两个相似三角形的组合形状像一个大写“K”字型，因此我们称这种相似的结构叫做“K”字型相似基本图形.

2.实践应用

师：“K”字型相似基本图形也是一种较为常见的相似结构模型，在解决数学问题中有着十分广泛的应用，下面我们来看例1（投影出示）.

例1如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为8的正方形，M，N分别是边AB，BC上的两点，且OM⊥MN.

（1）当AM=5时，求CN的长；

（2）若AM=x，CN=y.

图5

①求y与x之间的函数关系式；

②求y的取值范围.

师：（引导学生阅读例题，理清题目的条件）你发现“K”字型相似基本图形了吗？

学生观察，找出△AOM与△BMN的组合是“K”字型相似基本图形.

学生思考解答问题，两名学生先后在黑板上板书第（1）（2）小题的解答过程.

教师巡视学生的解答，点拨学生的思路和出现的问题，最后针对学生的板书过程进行简要讲评，过程略.

总结收获：利用相似的工具，可以求得线段的长度、线段间的函数关系和线段的范围.

3.变式探究

师：我们研究问题往往采取从特殊到一般的思路，我们发现“K”字型相似模型中的两个三角形是特殊的三角形——直角三角形，能够相似的本质是利用两组对应角相等，进而判定两个三角形相似.那么如果不是直角三角形，而换成一般的三角形能否判定得出这种“K”字型相似呢？

出示问题2.

问题2：如图6，在等边△ABC中，P是边AB上一点，且∠CPE=60°，则△ACP与△BPE相似吗？

学生思考解答，过程略.

师：60°的角其实也是一个特殊角，此时若将图6中线段CE擦除，如图7，条件变更为∠A=∠B=∠CPE，此时△ACP与△BPE相似吗？

图6

学生思考解答，过程略.

教师引导学生观察图7，根据学生的回答，总结图形结构特征.

图7

（2）有两边在同一条直线上.

师：这种相似的结构我们也称之为“K”字型相似，与前面的直角三角形的“K”字型相区别，我们称之为“斜K”型相似基本图形.“斜K”型相似基本图形在很多数学问题中也有着广泛的应用（出示例2）.

例2如图8，四边形OABC的顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，E，F分别是线段OA，AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°.

（1）点D的坐标是______________；

图8

图9

教师引导学生阅读例题，理清题目的条件，通过作BH⊥OA（如图9），解答出第（1）小题，过程略.

师：求解线段的长度，之前我们可以通过全等、等腰三角形、勾股定理等知识来解决，然而阅读此题发现不容易求出来，那么我们就考虑用相似的知识来解决，可是图中并没有直接给出两个三角形相似，怎么办呢？

生：（观察思考、小组交流）可以连接OD（如图10），构造出“斜K”型相似，即△ODE∽△AEF.

2.用卡那霉菌素50万IU、5%碳酸氢钠30 ml、20%葡萄糖50 ml（体重50 kg猪的用量）混合一次静脉注射，每日2次。

图10

教师引导学生讲述解题思路，并指导学生书写好解答过程.

总结收获：根据题目中的提示条件，添加辅助线，构造“斜K”字型相似基本图形，进而解决问题.

4.拓展延伸

师：我们说要用欣赏的眼光看待知识和问题.对待“K”型相似结构也同样如此，尽管它时常会藏匿于各种问题之中，我们只要仔细地观察、认真地思考，就能够发现它的美丽和魅力，进而很好地解决问题.

例3如图11，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数与一次函数交于B，C两点.

（1）点C坐标为_________；

（2）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，说明理由.

图11

教师组织学生小组合作，思考解答第（2）小题：设点P的坐标为P（a，0），作CH⊥Ox，从而找到“K”字型相似基本图形，得△OPB∽△HCP.列方程解得a1=1，a2=3.进而求得点P的坐标为P（1，0）或P（3，0），如图12所示.

师：（几何画板软件演示）观察图12，你发现B，C，P1，P2，四点有何关系呢？

图12

生：四点共圆.

师：很好，（如图13，出示圆）观察图12可以看出，点P是否存在的实质就是以BC为直径的圆与x轴是否有交点.若将直线AB绕着点B进行转动的话，此时直线AB如何表示呢？

图13

生：y=kx+1.

师：很好.（几何画板软件演示，绕着点B转动直线AB）我们发现圆的大小、圆心位置也在发生变化，此时圆与x轴的位置关系也在变化.当直线转到一个特殊位置的时候，即k是某一个确定的值的时候，圆与x轴就处于相切，此时点P就是唯一了.如图14，你能求出此时的k值吗？

图14

学生观察思考，交流讨论，得出作CQ⊥Ox，找到“K”字型相似基本图形，得△OPB∽△QCP.

师：很好，看来同学们对“K”字型相似基本图已经掌握的很好了.对于第（3）小题而言，求一次函数中的k值，要充分利用好圆与x轴相切的性质.课堂上集中学习的时间有限，这个问题就做为本节课的悬疑，留给你们课后去思考、探究.

总结收获：利用相似工具，可以确定点的坐标；解决问题时，考虑知识间的转化和迁移.

5.总结感悟

通过学生回顾，梳理归纳.知识层面上：相似三角形的判定条件和性质.技能层面上：把握好基本图形，寻找、构造，并进行实践应用.思想层面上：从特殊到一般思想、数形结合思想、方程思想.

三、总评

本节复习课的教学从相似三角形的概念出发，采用让学生观察思考的方式，总结了“K”字型相似基本图形的特点，后面的“斜K”字型相似基本图形也用了同样的方式总结其特点，其目的在于让学生进一步加深对基本图形的认识，顺利解决随后的两道例题.最后的例3是知识应用的综合与提升，具有一定的典型性，其目的在于让学生体会到在解决问题时“K”字型相似基本图形还会有多种存在的可能.在本节课的教学过程中，有以下几个方面值得反思和感悟.

1.数学知识真正生长

本节课的教学从一个相似的基本结构出发，起点低、着眼点小，但是在教学的推进过程中知识的生长点却很多.例如，通过“K”字形基本图形，复习回顾相似三角形的判定条件；在例1中，巩固相似三角形的性质，并从中体会到相似的工具性作用；在变式“斜K”字型基本图形的过程中，体会到从特殊到一般的数学思想；在例2中，进一步理解认识模型思想及其价值.围绕“K”字型基本图形的教学主线形成知识链、问题串，将相似三角形的主要知识内容串联起来，实现了相似三角形知识在“K”字型基本图形的教学主线的延伸过程中真正生长起来.

2.数学结论自然生成从本节复习课的内容来看仅有2个相似基本图形问题、3道例题，而教学过程中特别关注学生对知识内容的理解与感悟.在每个问题、每道例题解决之后，都让学生反思感悟，力求有所收获.例如，在验证“K”字型相似基本图形之后，让学生观察总结其特点是有三个直角、两边共线；在例1解决之后，点明可以利用相似工具求得线段的长度、线段间的函数关系，以及线段长度范围等.诸如此类的收获感悟，都是让学生在观察、思考、实践之后感悟得出的，而教师仅仅起到引导、点拨、组织的作用，实现了数学知识结论在课堂上的自然生成.

3.问题本质灵动呈现

在本节课教学的引入部分，通过一个线段在三角形中不断的平移变化，逐渐产生了“A”字型、“8”字型、“剪刀”型等相似基本图形，生动而且直观，学生观察后立即就明白其形状特点和变化规律.例3是一道对学生的思维要求比较高的一个问题，利用几何画板软件的演示呈现出了以线段BC为直径的圆与x轴的位置关系：当圆与x轴相交的时候，就会存在两个点P；当转动直线AB时，圆与x轴的位置就会发生变化，相切就是一种特殊的位置，此时直线AB也是一个特殊的位置，因此一次函数y=kx+1的k值就会确定存在.借助信息技术手段呈现出来的动态的效果能够使学生更加集中注意力观察，使学生对几何图形的动态变化的理解更加形象、直观，从而将数学问题的本质特征灵动地呈现出来.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］吴增生.数学思想方法及其教学策略初探［J］.数学教育学报，2014（3）：11-15.

［3］程华.中学数学思想方法教学问题的思考［J］.数学通报，2012（11）：28-31，34.

2017—08—13

苏兴震（1977—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.

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