综合运用正向、逆向思维解决问题——由2017年安徽省中考数学试题第23题说起

吕莲花

（安徽省宣城市第十二中学）

综合运用正向、逆向思维解决问题
——由2017年安徽省中考数学试题第23题说起

吕莲花

（安徽省宣城市第十二中学）

数学思维方法中的正向思考读透条件、逆向思考倒推可以用来解决较难的几何题，可以化解辅助线作法的难点，尤其解决已知条件较少的问题.

正向思维；逆向思维；读透条件；猜想倒推

历年来安徽省中考数学试题的第23题，一直是安徽省中考数学试题中最难的.通过近几年的试题观察，第23题通常都有多种解法，且需要适当添加辅助线.本文就2017年安徽省中考数学试题中的第23题进行正向思维的读透条件，再通过逆向思维的倒推分析，巧解题目，且使用多种方法来解决，观点和方法和大家共同讨论，供大家参考.

一、题目再现

题目已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.

（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.

①求证：BE=CF；

②求证：BE2=BC·CE；

（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值.

图1

图2

二、第（1）小题解题分析

1.先用正向思维读透条件，并进行联想

题目中的已知条件有：正方形ABCD，AM=BM，∠ACB=90°.运用正向思维联想，如图3所示.

（1）在Rt△AGB中，由∠AGB=90°，AM=BM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AM=GM=BM.于是∠1=∠6=∠7，∠3=∠9=∠8.

图3

（2）在Rt△ABE中，BG⊥AE，可得这是个双垂直图形，那么图中有如下相似三角形，即△ABG∽△BEG，且△BEG∽△AEB，其中也有很多成比例线段（省略），以及相等的角，如∠1=∠2，∠3=∠4，直角相等.

（3）在Rt△BCF中，EG⊥BF，可得△BEG∽△BFC.可得∠4=∠5.直角相等，成比例线段（省略）等.

（4）由对顶角相等可得∠FGE=90°.

综合上面四条联想可得∠1=∠2=∠6=∠7，∠3=∠4=∠5=∠9=∠8，于是CF=CG（最终证明时可以只取需要的角和边）.

2.再用逆向思维倒推，合二为一

（1）试题中需求证BE=CF，则只需要求证△ABE≌△BCF即可.又已知条件：正方形ABCD中AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，可发现只缺少一个条件即可证明三角形全等，由上面的正向思维联想可得∠1=∠2，于是求证可得.

（2）求证BE2=BC·CE，即比例线段的证明，要么使用相似三角形的对应线段成比例，要么利用三角函数值相等，得对应线段相等.由正向思维联想和第①问证明得出BE=CF，AB=BC等，于是BE2=BC·CE中可以进行线段的互换，使得新换的四条线段或者和相似三角形有联系，或者和三角函数有联系.

方法1：可将BE2=BC·CE变形为如图4，连接EF，也就是求证tan∠1=tan∠EFC.又因为∠1=∠6=∠7，也就是求证∠EFC=∠7，而∠ECF=∠EGF=90°，所以E，C，F，G四点在以EF为直径的圆上.根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠EFC=∠7，于是求证可得.

方法2：由正向思维联想得到CF=CG=BE，也就是只需证明即证明△CEG∽△CGB，由图3中的公共角∠ECG=∠GCB和∠2=∠7，即可求证.

3.证明过程

证明：（1）在正方形ABCD中，

AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°.

又因为∠AGB=90°，

所以∠1+∠3=∠2+∠3=90°.

所以∠1=∠2.

所以△ABE≌△BCF.

所以BE=CF.

（2）（方法1）如图4，连接EF.

在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°.

又因为∠AGB=90°，

所以∠EGF=∠AGB=∠ECF=90°.

所以E，C，F，G四点在以EF为直径的圆上.

图4

所以∠EFC=∠7.

又因为在Rt△AGB中，∠AGB=90°，M为边AB的中点，

所以AM=GM=BM.

所以∠1=∠6=∠7=∠EFC.

所以tan∠1=tan∠EFC.

即BE·CF=AB·CE，

即BE2=BC·CE.

（方法2）如图3，在Rt△AGB中，∠AGB=90°，点M为边AB的中点，

所以AM=GM=BM.

所以∠1=∠6=∠7=∠2，∠3=∠9=∠8=∠5.

所以CF=CG=BE.

又因为∠ECG=∠GCB，

所以△CEG∽△CGB.

即CG2=BC·CE，即BE2=BC·CE.

三、第（2）小题解题分析

1.先用正向思维读透条件，并进行联想

条件：正方形ABCD，AM=BM，BE2=BC·CE.

正向思维联想，如图5所示.

（1）由BE2=BC·CE，可得点E是线段BC的黄金分割点，即

图5

2.逆向思维推理得出辅助线

首先第（2）小题的已知条件和第（1）小题的结论是互逆的关系，那么由BE2=BC·CE，可以推导出BE=CF.如果成立，那么这是猜想，逆向思维的过程可以朝这个方向尝试.

方法1：如图6，延长AE，DC，相交于点N，于是由相似可得又已知可得BE=CN.那么要证明BE=CF，只需要证明CF=CN即可.此时AM=BM还没使用，很容易发现那么CF=CN，即BE=CF.也就可以得出tan∠CBF=

图6

3.证明过程

证明：（方法1）如图6，延长AE，DC相交于点N.

在正方形ABCD中，由AB∥CD，

得△CFG∽△MBG，△CNG∽△MAG，△CEN∽△BEA.

又因为点M为边AB的中点，即AM=BM，

所以FC=CN.

又因为BE2=BC·CE，

（方法2）如图7，过点M作BC的平行线，交AE于点N，

图7

四、教学思考

全国各地的中考试题中均有几何类型解答题，都是较难的题型，且大多都需要添加辅助线，对于学生来说最难的地方就是如何添加辅助线，为什么要这样添加辅助线.

在日常的教学和做题中，大部分题目条件较多，教师在教学中通常只需要带领学生正向思维，读透条件，再加上适当的联想就可以解决问题.但是遇到较难的习题时，很多学生不知道从哪入手，而教师有时是知道怎么做，也可以和学生解释清楚，可是听完以后，学生能听懂教师的解题思路，但是下次遇到类似的难题时，还是不知道从什么地方突破，也想不到辅助线的作法.教师之所以能够做出来是因为对题型、题量的训练量较大，于是可以很快地得出解决方法，而学生还没有这么多的题量训练，那么怎么让学生见到难题就能入手，这时就需要逆向思维的训练和引导，教会学生使用逆向思维来解决问题，并养成使用逆向思维来解决难题的习惯.

而且一般几何解答题的小题中均有一定的联系，可能是类推的，也有可能是互逆的，这时还需要加一点猜想进去，可能会更好的解题，当然猜想需要逻辑推理来证明.这时运用从正向思维去读透条件，逆向思维由结论倒推来思考和解决问题，难题就会轻松许多.正如走迷宫一样，首尾双向突破，更容易在中间找到“相遇点”，迷宫和难题就迎刃而解.数学学习中不断变化知识点来考试，却使用不变的思想方法来解决问题.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］陈荣春.“三学”课堂：以“让学引思”为内核的深度学习变革［J］.江苏教育研究，2017（1）：37-41.

2017—07—28

吕莲花（1981—），女，中学一级教师，主要从事中学数学解题方法研究.