洞察试题结构构造基本图形

沈岳夫

（浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学）

洞察试题结构构造基本图形

沈岳夫

（浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学）

解数学题的关键是寻找思路，从熟悉的数学基本图形入手是寻找思路的一种方法.教师要注意归纳、总结出一些数学模型．文章以笔者所在学校九年级中考模拟试卷的一道选择题为例，根据题目的本质特征，挖掘题设中所隐含的内在条件，恰当地构造基本图形，往往可化隐为显、化难为易、化繁为简，很快找到解题思路，为解题提供新的途径.

解题教学；基本图形；类比探究

数学教育家波利亚曾说过，假如你想从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指引的作用.由此，现以笔者所在学校九年级中考模拟试卷中的一道选择题为例，谈谈如何通过洞察试题结构，构造“一线三等角”基本图形来破解一类中考综合题，敬请同行指正.

一、问题呈现

题目如图1，已知反比例函数的图象经过点E(3,4)，现在反比例函数的图象上找一点P，使∠POE=45°，则点P的坐标为______.

图1

此题综合考查反比例函数、一次函数、三角形全等、方程等核心知识，其独特的设计，增加了问题的解决的难度.此类综合题，如何解？有何规律？笔者愿以此文与各位同行探讨.

二、解法分析

注意到∠POE=45°，由此自然想到构造等腰直角三角形，再通过点E作垂线，可构造出常见的“一线三等角”模型，这样问题就迎刃而解.

过点E作EF⊥OE交OP于点F，再构造出如图2所示的矩形OABC.显然△OCE≌△EBF，易得点F的坐标为F(7,1).进而求得直线OP的解析式为然后与反比例函数联合，求得点P的坐标为

图2

三、方法提炼

如图3，四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点M在BC边上运动，直角边分别与射线BA、射线CD交于点E，F，在运动过程中，哪些关系保持不变？

图3

这是初中相似中的一道基本图形题，我们很容易证明在点M的运动过程中，始终有△BEM∽△CMF，从而得出边、角之间的关系.

基本图形：事实上，我们再将以上图形简化，如图4所示，得到以下基本结论.

图4

若∠1=∠2=∠3=∠α，则可得以下两点.

（1）△ABC∽△CDE；

（2）若AB=CD，则△ABC≌△CDE.

在∠1=∠2=∠3=∠α中，α角可以是直角，也可能是其他特殊角，如45°，60°，90°等，我们把图4称之为“一线三等角”的基本图形，用它可以解决相关的直角三角形和矩形问题.

四、应用举例

1.坐标系下的几何图形探求

例1如图5，点A(2,4)，∠B=90°，且OB=AB，求点B的坐标.

图5

图6

分析：根据题意，可经过点A，B分别作水平线、铅垂线，与坐标轴围成矩形（如图6），构造出“一线三等角”模型，这样借助三角形全等可求得点B的坐标为B(3,1)

.具体解答过程，留给读者思考.

例2如图7，在平面直角坐标系xOy中，A(4,0)，B(0,3).若点C在第一象限内，且△ABC是等边三角形，求点C的坐标.

分析：根据题意知，等边三角形ABC的图形是唯一确定的，并且注意到∠BOA=90°，所以过点A作BA⊥AD交BC的延长线于点D，然后过点D分别作水平线、铅垂线，与坐标轴围成矩形DEOF（如图8）.

【说明】例1、例2这两道例题，属坐标系下的几何图形题，具有一定的综合性，一旦我们找到了解题的切口，构造“一线三等角”的基本图形，利用所构造图形中的线段隐含关系即可轻松化解坐标问题.

2.架构在函数上的图形的动点探求

例3（2016年江苏·徐州卷）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0)，其对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为____；

图9

（3）M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N四点为顶点的四边形为菱形，则这样的点N的个数为______；

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围.

解：（1）二次函数的表达式为顶点坐标为

（3）①点N共有5个；

②要使∠AMB不小于60°，可运用极端思想，抓住临界角60°进行转化，建构模型.由于AB长是固定的，又点M在对称轴上，所以借助60°角的三角板确定点M的位置，这样△ABM的形状也就确定.

如图10，当点M在x轴上方时，连接BM，过点B作BE⊥BM交MA的延长线于点E，再构造矩形MHGF.

图10

根据对称性，可知满足条件t的取值范围是

【说明】此例中的第（3）小题第②问具有一定的难度，其解答的关键是先判断点M的位置，再确定Rt△BME，然后框出矩形（如图10）.其思路为把△AMB中的60°角放到△EMB中去，通过补形得到了“一线三等角”的基本图形，然后借助角及隐含的边的关系，运用两次相似三角形边的对应关系解决问题.因此，在运动中不能被“动”所迷惑，而应在“动”中求“静”，以静制动，抓住要害，各个击破，将动态问题转化为静态问题来解决，找出动态过程中的不变量.可见，有效构图，能使条件整合，能给予解题明确导向.

例4（2016年江苏·盐城卷）如图11，已知一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A，B两点，且与x轴交于另一点C.

（1）求b，c的值；

（2）如图11，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图12所示，P为△ACG内一点，连接PA，PC，PG，分别以AP，AG为边在它们的左侧作等边三角形APR，等边三角形AGQ，连接QR.

①求证：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.

图11

图12

解：（1）b=-2，c=3.

（2）点M的坐标为

（3）①证明略.

②由①知PG=RQ.

又PA=PR，

所以想要PA+PC+PG取得最小值，就是PR+PC+QR取得最小值，只要Q，R，P，C四点共线即可.

由题意知，点Q的坐标为

因为∠APQ=60°，

所以构造出如图13所示的矩形DEFH.

进而求得点P的坐标为PA+PC+PG的最小值为

图13

【说明】此例中的第（3）小题如果直接计算，一是无从下手，二是计算繁杂.注意到∠APQ=60°，所以构造出此角的对顶角∠CPE，再构造出“一线三等角”的基本图形，则能把分散的条件集中到一起，利用△PHC∽△CDE和△APH∽△AED的两次相似，找到解题突破口.可以看出，通过“一线三等角”的中介作用，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，为寻求解题途径指明了方向.辨认和重新配置题目中的条件，回忆原有知识和经验，充实辅助因素，是产生顿悟、灵感的基础，是预见解题思路、方向的指南针.

通过上述几个例子的分析，我们不难看出，解综合题时若具备一些特殊角，如45°，60°等，恰当、灵活地构造“一线三等角”基本图形，则能使题目分散的条件集中化，隐含的条件（特别是边的隐含关系）显性化，然后用相似形做支撑，最终使难点得以突破.因此，在解题教学中，我们一定要积极引导学生观察题目的表象、探求解题方法、整理解题思路、总结解题规律、归纳解题思想，着眼于学生思维的发展.解题教学不是让学生为了解题而解题，而是通过解题把数学方法和数学思想浓缩，只有这样，才能真正实现“明一理”到“通一类”的飞跃，为学生的能力提升铺路搭桥.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］叶纪元.解决一类中考题的利器：旋转、轴对称［J］.中学数学教学参考（中旬），2013（6）：54-56.

［4］沈岳夫.巧用45°特殊角妙解综合试题［J］.中国数学教育（初中版），2011（7/8）：60-64.

［5］沈岳夫.点动图变细分类构圆探求助突破：2016年绍兴市中考压轴题最后一问的思路突破与解后反思［J］.中学数学（初中版），2016（10）：64-66.

［6］马先龙.与角平分线有关的一个结论的证明及其运用［J］.中学数学杂志（初中版），2016（10）：34-35.

2017—07—29

沈岳夫（1963—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学和解题研究.