为数学知识设计自然的理解——以“三角形的中位线”为例

山丽娜

（辽宁省实验学校）

为数学知识设计自然的理解
——以“三角形的中位线”为例

山丽娜

（辽宁省实验学校）

教学设计是实现数学课程目标，实施数学教学的主要手段.我们所从事的数学教育是数学与教育的交集，教学内容要依靠教师的“再设计”，以一种适合学生理解的方式点燃学生的学习激情，发展学生的核心素养.文章以“三角形的中位线”一课为例来谈谈如何为我们的数学设计自然的理解，为我们的理念找到实践的归宿.

数学设计；自然理解；实践

著名的数学教育家弗赖登塔尔曾指出，没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来.一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽.数学教育意味着那些看起来冰冷的美丽数学要依靠我们的“再设计”，以一种适合教育的形态或样式呈现给具有个性差异的不同的学生个体，最终实现课堂教学各要素间的和谐共生，构建“尊重”理念下的具备“双主结构”的数学课堂教学生态.下面结合笔者设计的“三角形的中位线”一课，谈谈如何有效备好一节数学课.具体教学过程如下.

一、概念引入与定理探索

教师活动1：开门见山，直接给出三角形中位线的定义，举例说明并明确指出中位线的本质属性.

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

举例：如图1，点D和点E分别为AB和AC的中点，连接DE，DE就是△ABC的一条中位线.

图1

本质属性：中位线是三角形内部的线段.

教师活动2：问题引领，引导学生探索三角形中位线定理.

探究问题1：你能猜想出三角形的中位线与其第三边有怎样的关系吗？并证明你的猜想.

多媒体出示关键问题，其中“关系”二字媒体中以红色显示.

学生活动1：观察图形，提出猜想.三角形的中位线等于第三边的一半；三角形的中位线平行于第三边.

教师点拨1：“三角形的中位线等于第三边的一半”是“数量关系”；“三角形的中位线平行于第三边”是“位置关系”.

探究问题2：你能用所学过的知识证明你们提出的猜想吗？先研读教材证法，再思考你是否还有其他办法证明它.

学生活动2：研读教材证法；思考其他多样证法.

教师点拨2：教材解法利用全等，实则是利用图形旋转变换构造全等三角形，进而利用平行四边形性质证明定理.

学以致用，利用相似的知识可以更快捷地证明定理.

学生证法：因为D为AB的中点，E为AC的中点，

又因为∠DAE=∠BAC，

所以△ADE∽△ABC.

所以DE∥BC.

探究问题3：从“提出猜想”到“严格证明”，我们的“猜想”就走到了“定理”.我们把握一个定理，不仅仅要研究定理的文字语言叙述（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），还要把握定理的符号语言和图形语言.试将定理的文字语言转化成符号语言.

学生活动3：尝试将定理的“文字语言”转化成“符号语言”（动笔书写）.

定理的符号语言：因为DE为△ABC的中位线，所以DE∥BC，

教师点拨3：定理的条件部分还可以写成：因为D为AB中点，E为AC中点（回归三角形的中位线定义）.

【设计意图】本节课教学是对教材进行整体把握后的“再设计”，其主要变化体现在如下几个方面.

删除教材创设的问题情境，开门见山介绍“三角形的中位线”概念，并提出思考问题，引入“三角形中位线定理”的猜想和证明.

本班学生已经进行过“三角形面积四等分”的探究性学习.

从学生的“最近发展区”出发.学生基本上已经能够较好地应用教材的方法证明类似问题，因此，根据学情，将此处教材证法“淡化”处理，而是让学生尝试利用其他方法进行证明，鼓励证法的多样性，激发学生的探索兴趣，激活学生的数学思考.学生能够利用相似三角形的有关知识解决问题，是学生在已有知识的基础上，在最近发展区内的自然的思考和发展.

把握定理的三个维度，体验数学思想.数学在本质上研究抽象的东西，数学发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象.因此，从文字语言、符号语言、图形语言三个维度把握定理，渗透“抽象”“数形结合”“化归”等数学思想就具有极其重要的意义.

二、定理应用与问题探究

教师活动3：组织引导学生应用定理解决简单的实际问题.

探究问题4：你能用三角形中位线定理证明△ABC内部的四个小三角形全等吗？如图2，若拖拽点A使△ABC变成一个一般的三角形，结论仍成立吗？

图2

学生活动4：独立思考证明思路，记录证明主要过程（动笔书写）；组内交流证明思路，共享思考成果（动口表达）；代表发言，汇报成果.

教师点拨4：证明思路可沿着借助三角形中位线定理证明△DEF与△EDA，△FBD，△CFE中的一个全等，同理可证其他两个三角形与△DEF也全等的思路，按照一定的顺序给予清晰的证明.

教师活动4：组织引导学生应用定理进行核心问题的探究.

探究问题5：任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？试证明你的结论.

媒体呈现探究问题的图形构造过程，如图3所示.

图3

学生活动5：独立思考证明思路，尝试应用定理解决新问题；小组合作，分享思考成果和证明思路（动口表达）；代表发言，汇报成果.

学生证法1：如图4，连接AC，BD（教师利用多媒体连接AC，BD，注意辅助线为虚线）.

因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

图4

所以四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

学生证法2：如图4，连接AC，BD，

因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC.

所以EH∥FG，EF∥HG.

所以四边形EFGH为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.

学生证法3：如图5，连接BD，

因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

图5

所以EH=FG，EH∥FG.

所以四边形EFGH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

教师活动5：学生给出每种证明方法时，教师需追问：你判断的依据是什么？

教师点拨5：问题证明的关键是运用三角形中位线定理，借助原四边形的对角线来揭示新构造四边形的对边之间的特殊的位置关系和数量关系.

经历上述的证明过程，我们猜想的命题再一次被认定为真命题；经过上述的学习活动，我们能够更加深刻地认识三角形中位线定理.定理的结构是：一个题设，两个结论，并且在这两个结论中，一条是关于两条线段之间的位置关系的（三角形的中位线平行于第三边），另一条是关于两条线段之间的数量关系的（三角形的中位线等于第三边的一半）.我们学习的数学本身就是研究空间形式和数量关系的科学，而三角形中位线定理恰恰能够将两者融为一体，可谓是数学中的一种和谐美.

此外在经历了上述3种方法证明的过程后，学生也能更加深刻地认识到这一点：在具体的应用三角形中位线定理解题的过程中，若需要位置关系的结论则只写平行，若需要数量关系的结论则只写倍分，若两者都需要则都写，视具体情况，按需选用，追求简洁.

探究问题6：既然一般的四边形具有这样的性质，那么特殊的四边形也应该具有同样的性质.依此，我们就能得到一系列的命题.以命题1为例，顺次连接平行四边形各边的中点所构成的四边形是平行四边形吗（教师拖拽图形）？如果是，给出证明.在这个变化的过程中是否有不变的东西呢？

媒体使用说明：学生每提出一个猜想（命题），教师可相应的拖拽图形改变图形形状以辅助探究.几何画板软件在此处发挥其媒体优势，即为学生探索“变化”中的“不变”提供探究环境，教师通过设定自动吸附网格，便可将原四边形的点通过拖拽变化成为想要研究的特殊的四边形，而在此过程中，对角线随之变化，新构造的四边形的形状也随之变化.

命题1：顺次连接平行四边形的各边中点所构造的四边形是平行四边形.

命题2：顺次连接矩形的各边中点所构造的四边形是平行四边形.

命题3：顺次连接菱形的各边中点所构造的四边形是平行四边形.

命题4：顺次连接正方形的各边中点所构造的四边形是平行四边形.

命题5：顺次连接矩形的各边中点所构造的四边形是菱形.

命题6：顺次连接菱形的各边中点所构造的四边形是矩形.

命题7：顺次连接正方形的各边中点所构造的四边形是正方形.

学生活动6：观察图形变化，独立思考，提出猜想，给出证明；小组合作，交流思路，探究问题；代表发言，汇报成果.

教师活动6：学生给出每个命题的证明时，教师需追问：你判断的依据是什么？

教师点拨6：探究问题的关键是在变化的过程中把握问题本质.通过“观察图形—提出猜想—给出证明”我们明确了此问题的核心是：原四边形的对角线的位置关系和数量关系决定了所构造的新四边形的邻边的位置关系（互相垂直与否）和数量关系（相等与否）.

【设计意图】根据课堂教学需要“以学定教”地使用媒体.通过几何画板软件，改变使用传统媒体时对课堂程序的严格限制，实现依据课堂上学生学习的具体情况进行灵活的调整，真正意义上的实现“以学定教”，促进学生的数学思考.

凸显“特殊性与一般性”的辩证关系.教师为设计学生探究活动，使学生经历从“特殊”到“一般”，从“一般”到“特殊”的学习过程，让学生在运用三角形中位线定理解决问题的过程中体悟“一般性与特殊性”的辩证关系.

按照“合情推理（猜想）—演绎推理（证明）”的研究线路，凸显“一般性与特殊性”“变与不变（动与静）”等辩证思考在数学问题研究中的重要作用，重新设计探究问题的教学活动，拓展问题研究的时空（课上与课下），紧密探究问题与本章知识体系之间的联系，探寻问题本质，发展理性精神，培养科学态度，提升探究问题的育人价值.

三、反思与时空拓展

教师活动7：主导性点拨反思与总结提升.

探究问题7：原四边形的对角线的位置关系和数量关系决定了所得到的新四边形的邻边相等或互相垂直与否，但对角线相等或互相垂直或既垂直又相等的四边形不一定是特殊的四边形——矩形、等腰梯形、菱形或正方形，期待学生课下继续研究，从而更加全面、深刻地把握原四边形对角线与新构造四边形形状之间的具体关系.

学生活动7：认真聆听与简要记录.

教师点拨7：让我们一起来回顾一下我们的学习过程——认识三角形的中位线.

经历“观察—猜想—证明”的过程，学习三角形中位线定理；

从三个维度——文字语言、符号语言、图形语言把握三角形中位线定理；

在应用定理解决问题的过程中，明晰定理的结构，感受数学的和谐美和简洁美；

通过问题探究，明确问题的本质规律是：原四边形的对角线的位置关系和数量关系决定了所构造的新四边形的邻边的位置关系（互相垂直与否）和数量关系（相等与否）.

教师点拨8：我们的研究主要经历了怎样的思维过程？

从定理探索到问题探究，我们均经历了“观察图形—合情推理（猜想）—演绎推理（证明）”的研究过程.

问题探究中，我们经历了从“特殊”到“一般”，从“一般”到“特殊”的研究过程，认识了“一般性与特殊性”的辩证关系.

学生活动8：认真聆听与回顾反思.

【设计意图】带着问题走进课堂，带着思考走出课堂.问题是数学发展的源泉，也是数学创新的基础，研究数学与学习数学在这一点上没有本质的差异，只是深度和难度上的差异.问题可以把思考引向深入，问题可以发现新的思路.基于此，教学设计从问题入手，以问题结束，让问题的进一步探究成为学生课下研究的主题，这样对于激发学生探究的兴趣、拓展教学时空具有积极意义.

构建“主导—主体”相结合的数学课堂.课堂教学结构的“主导—主体”结构体现明显：前面的活动中教师设问引导学生探索研究问题，关键信息都需要来自学生的表达，尤其是教师的重复追问：你判断的依据是什么？更是让学生能够说清定理，进而实现推理有据，严谨简洁.在经历探索过程后，此处教师点拨学生，则充分发挥教师有意义的讲授，学生有意义的接受的模式，因为这时的学生是经历过探索过程的学生，他们具有有意义学习的心向和有意义学习的基础，因此这时的接受学习是有意义的接受学习.教师的点拨引导学生对定理的认识从局限走向深刻，能使数学观在实际教学中得以渗透和生长.

培养学生反思总结的学习习惯.学会反思是学会学习的关键所在.在教学中有意识的引导学生进行学习反思，有利于养成善于反思的学习习惯，有利于提升学生的元认知水平.

上面以“三角形的中位线”一课为例，从具体的实践层面配以具体的教学活动的设计意图介绍，谈了笔者对于如何有效处理好一节课的一些思考.我们知道，在数学教学活动中为了实现既定的教育教学目标，作为数学教师的我们就必须对课堂教学的过程与行动进行系统的规划，就必须对数学教学中学和教的双边活动进行设计，也必须使教学设计在根植于核心思想和目标的同时，将其建设成为以新技术为支撑的、发展人核心素养的手段.

综上所述，教学永远是一段通往理想国度但又永存遗憾的美妙旅程，而这遗憾恰恰是我们前进的不竭动力，更是职业带给我们的教育教学生活的不一样的美.让我们改变过往教学设计中的两种单向运动，从有效双向备课开始，在理论与实践、理想与现实的中间地带架构“双向桥梁”，为我们的数学设计自然的理解，为我们的理念找到实践的归宿，我们期待着那些冰冷美丽的数学在我们的共同努力下呈现更加精彩的火热思考和动人的诱人魅力！

［1］褚宏启.核心素养的概念与本质［J］.华东师范大学学报（教育科学版），2016（1）：1-3.

［2］惠波.课堂教学改革让我们的课堂绽放美丽［J］.华人时刊（校长），2014（1/2）：96.

2017—07—08

山丽娜（1970—），女，中学高级教师，主要从事课堂教学改革、数学教学研究.