用“怎样解题表”解题的思维分析与策略——以2015年湖北省十堰市一道中考试题为例

李永明

（甘肃省张掖市第三中学）

用“怎样解题表”解题的思维分析与策略
——以2015年湖北省十堰市一道中考试题为例

李永明

（甘肃省张掖市第三中学）

以2015年湖北省十堰市中考试卷第25题为例，从弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾四个方面入手，认真反馈解题的思维过程，分析解题过程中的逻辑关系，使“怎样解题表”由理论转化为实践，在实践中教会学生如何思考，帮助学生解决题目中的问题，培养学生未来能够独立解决问题、探索创新和分析解题过程的能力，为学生积极的思维活动提供了一个合理的框架．

解题表；思维分析；解题策略

“怎样解题表”是波利亚凝聚成的一套集解题思想、解题过程、解题思路、解题方法等于一身的一个完整的解题教学系统，为学生提出问题、解决问题指明了方向.

所谓的“怎样解题表”就是怎样解题，教师应教学生做些什么等问题，把解题中典型、有用的智力活动，按照学生解决问题时思维的自然过程分四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾，描绘出解题理论的一个总体轮廓.按照“怎样解题表”指引，笔者结合2015年湖北省十堰市中考试卷第25题从这四个方面入手，认真反馈解题的思维过程，分析解题过程中的逻辑关系，使“怎样解题表”由理论转化为实践，让每位学生学会解题过程分析，提高解题能力.现拙文呈现其四阶段的思维过程，以期抛砖引玉，与同行交流.

一、思维分析

1.精心审题，弄清问题

题目已知抛物线经过点A(-1,0)和B(3,0).

（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；

（2）如图1，把抛物线C1沿直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长.

图1

图2

认真阅读题目，你能发现这是一个什么问题？

此题是一道由抛物线和直角三角形结合的综合问题，考查用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等.

针对以上问题，学生如何才能从审题中捕捉有用的信息，正确解答出所要求的条件呢？从学生的最近发展区入手，通过读题、审题、看图，捕捉有关信息，依据“怎样解题表”第一步——弄清问题，学生要有以下两点思考.

思考1：分析此题的未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知量，条件是否充分？或者它不够充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

已知条件有以下三个：（1）抛物线C1:y=ax2+的解析式；（2）抛物线C1经过点A(-1,0)；（3）抛物线C1经过点B(3,0).

未知量有如下三道小题.第（1）小题：求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标.第（2）小题：求点F的坐标.第（3）小题：①tan∠ENM的值如何变化？②写出点P经过的路线长.

很显然，求第（1）小题的条件是充分的，第（2）（3）小题还要在第（1）小题的基础上进一步分析.

思考2：画张图，引入适当的符号，把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

了解了已知条件和需求目标，依据上面的两个思考问题画出了已知条件与第（1）小题的层次关系图（如图3），这是一个逐渐递近的求解顺序关系图.从这个关系图上我们可以清楚地知道，它们之间是由浅入深、逐渐递进的关系，其求解关系也是逐渐递进的.

图3

2.有效提取，拟定计划

写出题目的已知条件并画出了图形后，学生必须进行有效的提取，科学的拟定解题计划，即先做什么，后做什么，再做什么，需要分几步走完.依据“怎样解题表”第二步——拟定计划，学生要依次从以下几点思考.

思考1：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题和一条可能用得上的定理？看着未知量，试想出一个具有相同未知量或者相似未知量的熟悉的问题.这里有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题，你能利用它的结果和方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

针对以上问题，学生首先要努力追忆在教材、教辅资料中出现过的类似题目，从大脑中提取出与题目有关的定义、公式、定理、类型题和基本模式等解题依据，把想到的与题目有关的公式、定理、相似题型等解题依据都罗列出来，供下一步使用.

（1）模式：求抛物线的解析式.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中，点(x1,0)，(x2,0)为抛物线与x轴的两个交点；顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中，点(h,k)是顶点坐标.

（2）方法：待定系数法.

（3）题型：求函数解析式的题型；交点问题的题型；平移问题的题型.

（4）定义：正切的定义.

（5）性质：相似三角形的性质；矩形的性质；等腰直角三角形的性质；平移的性质.

（6）定理：勾股定理.

这些信息的选择与提取，是与上一步精心审题分不开的.

思考2：你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

（2）第（2）小题由顶点C和点A两点完全可以确定抛物线C1的解析式，题目中的“把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2”可重新叙述为“把线段AC沿着直线AC方向平移到某处”，这样就去除了抛物线C2平移的干扰条件.

思考3：如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，你能否想出一个更容易着手的、普遍的、特殊的和类似的问题？

（1）第（1）小题是常见题型，很容易解决.

方法1（普遍性）：用待定系数法求出抛物线C1的解析式，然后用配方法或顶点坐标公式求出点C的坐标.

方法2（特殊性）：用交点式求出抛物线C1的解析式，用对称轴公式求顶点C的横坐标，代入解析式求出其纵坐标.

（2）第（2）小题根据题意画出图形（如图4），由点A，C的坐标求出线段AC的长和直线AC的解析式.因为△DEF是等腰直角三角形，DE等于AC，利用三角函数求出EF长，由图形分析EF与y轴平行，E，F两点的横坐标相同，设出两点的横坐标，由点E在直线AC上，点F在抛物线C1上，得到两点的纵坐标，再由两点间的距离公式，列出方程，解方程既可求出点F的坐标.

图4

（3）第（3）小题考虑tan∠ENM的值的变化情况，从已知分析∠ENM是Rt△ENM的一个锐角，由正切的定义，它的值是线段EM与线段EN的比值.由题意可知，线段EM，EN都是变化的，tan∠ENM的值有可能是增大、减小、不变等情况，为了弄清这个问题，考虑点M与点B，C重合的两个特殊位置，很容易发现tan∠ENM的值固定不变.与见过的题型对比，这一问可以与相似三角形的对应边成比例相联系，如果找到了等价的条件，问题就转化成了相似三角形的问题.

（4）第（3）小题第②问点P的运动路线长可以从两个特殊的点B，C入手，通过作图、观察发现点P经过的路线是线段，并且是△BEN的中位线.

思考4：你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知量能确定到什么程度？它会怎样变化？

（1）如果第（2）小题不能解决，可先作出等腰直角三角形CAF（△DEF的初始位置，如图5），然后沿着直线AC或者是沿着过点F平行于直线AC的直线向下平移这个等腰直角三角形，使点F经过抛物线C1，平移抛物线C1的问题就转化成了平移三角形的问题，求点F的坐标问题就转化成了直线与抛物线的交点问题.

图5

（2）第（3）小题首先要确定点E的坐标，点E是由点C平移得到的，点E坐标计算的准确性直接决定第（3）小题的正确与否.

（3）计算出点E的坐标，如何求tan∠ENM的值，其关键是如何作辅助线构造相似三角形？首先证得四边形DFBC是矩形，然后根据△EGN∽△EMC（如图7），对应边成比例即可求得tan∠ENM的值；第②问计算点P经过的路线长，根据勾股定理和三角形相似求得EN的值，由三角形中位线定理即可求得点P经过的路线长.

思考5：你能不能从已知数据中导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知量的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知量或者已知数据，或者都改变，以使新未知量和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据和条件？你是否考虑了包含在问题中的必要概念？

（1）第（1）小题已知点A(-1,0)，C(1,2)的坐标（如图5），由勾股定理或两点间的距离公式求出AC的长；由待定系数法求出直线AC和抛物线C1的解析式；由△ACF是等腰直角三角形，易得图形初始状态时点F的坐标是F(1,-2)；由初始状态时点F的坐标，求出过点F平行于直线AC的直线的解析式是y=x-3.

（2）事实上，第（1）小题学生都见过，学生也可以用交点式，根据题意可以重设抛物线C1的解析式为y=a(x+1)(x-3).

（3）改变第（2）小题的平移方式，把平移抛物线C1改为平移△ACF，平移的方向不变，这样平移后的图形与原图形结果一致，其结果是画图的难度减小，运算的过程简化，图形的变化更直观、更简洁.

3.精确运算，实现计划

找到了解题方法，拟定了解题计划，并按拟定的计划去推理、运算和作图，得出题目的答案，实现求解计划，接下来，检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤的正确性？你能否证明这一步骤的正确性？

解：（1）抛物线C1的解析式为顶点C的坐标为C()1,2（过程略）；

（2）如图6，作CH⊥Ox于点H.

因为A(-1,0)，C(1,2)，

所以AH=CH=2.

所以∠CAB=∠ACH=45°.

所以直线AC的解析式为y=x+1.

因为△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，

所以∠DEF=45°.

所以∠DEF=∠ACH.

所以EF∥Oy.

所以EF=4.

则点E的坐标为E(m,m+1).

得m=3或m=-3.

由题意得，m=-3，

所以点F的坐标为F(-3,-6).

图6

图7

（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

理由如下：如图7，因为DF⊥AC，BC⊥AC，

所以DF∥BC.

因为DF=BC=AC，所以四边形DFBC是矩形.

作EG⊥AC，交BF于点G，

因为EN⊥EM，所以∠MEN=90°.

因为∠CEG=90°，所以∠CEM=∠NEG.

所以△EGN∽△EMC.所以

因为F(-3,-6)，EF=4，所以E()-3,-2.

又因为C(1,2)，所以

所以tan∠ENM的值为定值，不发生变化.

②点P经过的路径是线段P1P2，如图8所示.

当点M与点C重合时，因为四边形BCEG是矩形，GP2=CP2,

所以EP2=BP2.

当点M与点B重合时，P1为线段BN中点.

因为△EGN∽△ECB，

图8

因为P1P2是△BEN的中位线，

所以点P经过的路线长为

4.检验结论，回顾反思

解题后的检验是对解题过程的反思，是对解题过程中出现的错误进行及时的分析，既充分展示思维的严谨性，又深入剖析解题思维过程的正确性，还从中感悟、回顾、反思“思什么、怎么思”的问题.解题完成后，对试题进行检验、总结、归纳、反思，从中发现新的解题方法，提炼解题思想，形成对未来有指导作用的解题经验，进一步升华为学生搜索、捕获、分析、加工和运用信息的数学才能，从而提高学生的解题能力.

思考1：你能否检验这个论证？

（2）第（2）小题由计算可知，平移前，点F的坐标是F(1,-2)，平移后，点F的坐标是F(-3,-6)，平移的方向是向左平移4个单位，向下平移4个单位，同理，点A，C也向左平移4个单位，向下平移4个单位，即得点D的坐标是D(-5,-4)，点E的坐标是E(-3,-2)，问题就转化成了判断点D，E是否在直线y=x+1上，如果在，说明计算正确，反之错误.

思考2：你能否用其他方法导出这个结果？你能不能一眼看出来？

（1）第（1）小题除了用待定系数法，还可以用交点式求解（过程略）.

（2）第（2）小题既然是平移问题，可以先画出点F平移前的初始位置，知道平移的方向是过点F平行于AC的直线（如图5），很显然直线与抛物线有两个交点，x轴下方的交点是点F的位置，有了这个思想就可以列方程求出点F的坐标.由题意求出过点F的直线是y=x-3，与联立方程组，解得x=3或x=-3，x=3不符合题意，舍去，即求出点F的坐标是F(-3,-6).

思考3：你能不能将这一结果或方法，应用于其他问题？

（1）第（1）小题求抛物线解析式的解题方法是待定系数法，它适用于所有求函数解析式的题型.

（2）第（2）小题是一个平移问题.计算线段EC，EF的长，这其实用了两点间的距离公式，求EF的长是两点间的距离公式的简化公式.

平面直角坐标系内的任意两点间的距离公式：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点，则|

推导公式1：当x1=x2，y1＜y2时，则|AB|=y2-y1.

推导公式2：当y1=y2，x1＜x2时，则||AB=x2-x1.

推导公式1和推导公式2，直接把根号和绝对值去掉，减小了学生应用的难度.这三个公式在平面直角坐标系中计算线段的长是最常用到的，虽然在初中阶段没有学到，但学生可以通过勾股定理推导得出.

二、解题策略

“怎样解题表”是一种由常识上升为理论（普遍性）的自觉努力.经过解题思维分析，已经积累了大量的解题经验，为了能从理论运用到实践，节约探索时间，达到解题的最优化，教师还必须研究解题策略.

1.模式识别

模式识别是指将典型结构和重要类型等从记忆存贮中提取出来解决数学问题的一种常用解题策略.第（1）小题求抛物线的解析式，常用的方法有一般式、交点式、顶点式三种，它们是学生在求抛物线解析式运用最多的，有经验的学生会很快从记忆存贮中提取出这三种形式进行思考探索，并能准确地选择，求出抛物线的解析式.

2.动静转换

动静转化是指在数学解题中，可用动的观点来处理静的数量和形态，用一个字母代替无限的、变动的取值，用一个方程表示动点的轨迹等.这个解题策略是中考试题中最常用到的，也是最重要的一种解题策略.第（2）小题是一个动点问题，可以先静止移动的图形，画出△DEF，找到点F，确定点F运动的方向，使静态的点具有了运动的活力.第（3）小题点P经过的路线长是一个轨迹问题，我们可以追寻点P的起点和终点的特殊位置，化静为动，以动求静，让问题变得简单化.

3.数形结合

数形结合是用数的抽象来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数学的事实，既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索.题目通过平面直角坐标系与抛物线、等腰直角三角形、矩形等基本图形结合，使数值与图形得到了完善的结合，尤其是第（2）（3）小题从已知出发画出图形，又用列方程求出点F的坐标，计算点E的坐标和线段EC,EG的长度，构造相似三角形，求出tan∠ENM的值，这两道小题都使几何和代数统一为整体，充分发挥了数与形的双重优势，真正体现了数缺形时少直观，形少数时难入微.

4.有效增设

有效增设是在不改变题意的前提下，增加一点条件使得问题更容易解决.第（2）小题求点F的坐标，先计算出点F初始点的坐标F()1,-2，画出点F运动的方向，在直线y=x-3上，这样问题就转化成了直线与抛物线的交点坐标的问题.在这一小题中增加了一条直线，使问题变得简单化.第（3）小题求tan∠ENM的值，作辅助线构造相似三角形，由相似三角形的性质，对应边成比例，得出三角函数的值.

三、结束语

综上所述，波利亚解题思想的内在核心是分析解题过程，外在表现是好的方法与思想，具体实现是问题转换.而波利亚解题表是介于解题思想和解题方法之间的最高层次的解题方法，它能教会学生如何思考，帮助学生解决题目中的问题，培养学生未来能够独立解决问题、探索创新和分析解题过程的能力，并且不断提出问题，不断解决问题，为学生积极的思维活动提供了一个合理的框架.

实践证明，只要教师在解题过程中应用得当，并能向学生提出解题表中同样的问题与建议，并且不断提出问题，一定会帮助学生解决问题，提高解题能力，并能达到事半功倍的奇效.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

［4］李永明.捕捉、提取、组合、反馈四阶段解题的思维剖析与思考：以2014年张掖卷第28题为例［J］.中学数学（下），2015（7）：87-90.

2017—06—09

甘肃省教育科学“十二五”规划2013年度立项课题——基于“四基”理念高效课堂的案例研究（GS［2013］GHB0764）.

李永明（1975—），男，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究.