搭建学生参与平台改进数学复习方式<br/>——以一节中考数学复习课为例

搭建学生参与平台改进数学复习方式
——以一节中考数学复习课为例

2017-11-15沈秀专

中国数学教育（初中版） 2017年11期

关键词：直角三角形四边形结论

沈秀专

（浙江锦绣育才教育科技集团）

搭建学生参与平台改进数学复习方式
——以一节中考数学复习课为例

沈秀专

（浙江锦绣育才教育科技集团）

针对传统中考数学复习课存在的问题，以“三角形和四边形（复习课）”为例，探索中考数学复习课的有效教学方式，印证“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学设计，有利于激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考.

中考复习；激发兴趣；学生先行

一、复习课的引出

中考数学复习课怎样上效果好，是每一位九年级教师都在思考或实践的问题.

在当前的中考数学复习教学中，有些教师会有意或无意地采用“再现一遍知识，再配上例题、练习”的复习方式.这种课堂复习，虽然能呈现知识网络，看上去一目了然，但学生仅仅是单纯地、机械地重复所学的知识，并没有在头脑中构建属于自己的知识网络，不仅会使学生感到枯燥、疲劳，而且还会造成学生对知识的理解仍然停在接受层面.虽然能使学生接触一些典型问题，解决一些数学练习题，但学生只是根据例题模仿、参照，思维被动地解题，不仅可能陷入题海，而且获得的只是解题套路，并没有真正地提升分析和解决问题的能力，掌握解决问题的方法.因此，中考数学复习课还需要不断地改进.

二、复习课的依据

笔者认为，数学复习课必须要有明确的教学目标.要达成的目标至少要有：（1）重视对数学知识结构的梳理，巩固知识，强化联系，突出应用；（2）学生的数学思维能得到有效地训练，有探究、发现的经历或体验，在解决问题的探究过程中能得到反思、提炼；等等.

前苏联数学教育家奥加涅曾说，数学教学的成就，很大程度上取决于学生对数学课的兴趣是否能保持和发展.由此引申出，在复习课中，激发学生的求知欲望，保持学生的学习兴趣是教师必须要考虑的问题.

因此，九年级数学复习课需要有明确的复习目标，也需要激发学生的学习兴趣，促成学生主动复习.

基于以上，笔者设计一节中考研究课“三角形和四边形（复习课）”，本节课用于中考第一轮复习，是三角形与四边形综合复习的第一节课.学生使用的教材是浙教版《义务教育教科书·数学》，复习教学采用“学生先行，交流呈现，教师断后”的方式.

三、复习课的概况

教学目标：（1）通过尝试解决问题1、问题2，使学生体会发散思维的作用，了解逻辑思维和直觉思维的价值，并整理出三角形和四边形基础知识，建构知识间的联系.

（2）通过解决问题3，认识数学探究的基本方法.

（3）通过解决问题4、问题5，经历自主调用数学方法，运用数学思维分析探究的过程，获取对数学知识方法及探究途径的新理解.

教学重点：梳理基础知识，认知数学思维方式，经历数学探究过程.

教学难点：（1）使学生把发现的基础知识整理成网络.

（2）引导学生发现更多解决问题的方法.

问题1：如图1，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，E是AC的中点，四边形BCDE是平行四边形，尽可能多地写出条件可以导出的结论.

图1

【设计意图】引入接近学生基础的开放性问题，激活学生的直觉思维或逻辑思维，基础强或弱一些的学生都容易写出一些结论，只是在写出的量或质上会有区别.这为之后的相互学习、取长补短提供可能，也为教师概括、归纳和整理基础知识提供预热，搭建平台.

学生先行：问题提出后，给2分钟时间，让学生先独立思考，获得结论.

交流呈现：请学生把不同的发现都写在黑板上，时间到了以后，其他学生观看黑板，若还有其他不同的发现，可以补充.

对于问题1，学生的发现主要有以下几点.

（2）DE∥BC，BE∥CD；

（3）AB2+BC2=AC2；

（4）∠EBC=∠EDC=∠ECB=∠DEC，

（5）△BCE≌△DEC；

（6）∠A+∠D=90°；

（7）S△AEB=S△BCE=S△DEC，S△ABC=2S△DEC；

（8）DE垂直平分AB；等等.

在学生独立思考，交流后，教师进行概括、归纳，引导学生回归复习目标，并帮助学生克服学习难点.

教师断后：（1）黑板上这么多结论是怎样得到的？在学生回答的基础上指出，某学生是用了直觉思维得到某个结论的，这是因为他（她）真正地理解了直角三角形和平行四边形的定义与性质，从而能借助问题，产生数学直觉；某学生是用了逻辑推理得到某个结论的，这是因为他（她）面对问题，能以直角三角形和平行四边形的定义与性质为依据进行推理.

（2）由于结论较多且杂，如何使之有条理？引导学生分类，从而概括出分类的方法主要有两种：①线段的数量关系和位置关系，角的数量关系，三角形之间的关系等；②按结论所涉及的知识的属性，如直角三角形得到的结论和平行四边形得到的结论等.

（3）把用到的知识，边讲边板书在黑板上，使之有条理，形成知识网络.

此时，学生经过梳理得到了直角三角形和平行四边形的有关概念和性质，解决问题的思维方式等.在此基础上，给出问题变式如下.

问题2：如图2，在问题1的基本图形（图1）中连接BD，交AC于点O，你会有什么新的发现呢？

图2

【设计意图】让学生通过独立思考，调用已知，运用方法，体验数学直觉或逻辑思维推理，促成巩固、理解.

问题3：如图3，在图2中连接AD，你又发现了什么？

图3

【设计意图】新发现结论的依据可以补充完整黑板上的知识清单.发现结论过程中会有真命题也会有假命题，由此可以借助交流或断后，让学生真正地感受到数学直觉可能会出错，因此需要有“大胆发现，小心求证”的数学方法.

问题4：如图4，在图3中自主添线，获得新结论，并做出判断.

图4

【设计意图】趁热打铁，给学生一个习得的机会.

实施中发现：在前面问题解决的基础上，学生在解决本问题时，兴趣激发出来了，思路打开了.学生延长AD交BC的延长线于点Q，将不规则的四边形转化为了规则的直角三角形，并发现了下列重要结论：（1）ED是△ACQ的中位线；（2）∠ECB=∠DCQ；（3）△CBD～△CQA；等等.可谓，给学生一个参与的机会，学生就会还你一份精彩.

在研究问题5中关于AB与BC的数量关系时，许多学生采用了这个办法.

问题5：如图5，在问题3中添加条件“BD平分∠ABC”，试写出你能发现的结论，并做出判断.

图5

【设计意图】在之前铺垫的基础上，提升问题的复杂度，让学生清楚新结论的产生与新添加的条件密切相关.同时，再次给学生提供自主调用已知，独立思维，尝试用多种方法解决问题的机会，既巩固已知，理解方法，促成技能，又能通过交流，相互学习，理解所知，查漏补缺.

学生先行：首先注意到△ABD是等腰三角形，然后又发现此时线段AB与BC有一定的数量关系，即AB=3BC.

在学生先行，交流呈现后，黑板上有以下几种正确的证明方法.

生1：如图6，延长AD交BC的延长线于点Q，事实上与图4相同，易证△ABQ是等腰直角三角形，所以AB=BQ.因为在问题4中已证得ED是△ACQ的中位线，所以CQ=2ED.所以AB=BQ=3BC.

图6

图7

生2：如图7，延长DE交AB于点F，由问题1的结论“（8）DE垂直平分AB”，得EF是△ABC的中位线，即而由△AFD为等腰直角三角形，BC=DE，得所以AB=3BC.

针对地震作用下边坡稳定性分析，目前常用的方法主要包括Newmark滑块计算方法、拟静力法、模型试验方法和数值分析方法。

生3：如图8，过点O分别作OG⊥BC于点G，OH⊥AB于点H，过点B作BF⊥AC于点F.因为BD平分∠ABC，所以又因为OC，所以AB∶BC=OA∶OC.因为OA∶OC=3∶1，所以AB=3BC.

图8

图9

生4：如图9，过点O作OG⊥BC于点G，易证△BOG是等腰直角三角形，所以BG=OG.利用△ABC～△OGC，因为OC∶AC=1∶4，所以OG∶AB=CG∶BC=1∶4.设CG=a，则BC=4a.所以BG=OG=3a.所以AB=12a.所以AB=3BC.

生5：如图10，过点C作CQ⊥BC交BD于点Q，下面类似生4的方法.

图10

教师断后：这五名学生能得到这些方法，均是用了由条件向结论的顺推或由结论向条件的倒寻.学生能顺推或倒寻，都是由于他们发现了“推”或“寻”的依据，即熟练掌握了平行四边形、等腰直角三角形、角平分线及相似三角形等相关知识.反之，如果对三角形、四边形的某些知识，理解未到位，运用不熟练，则在“推”或“寻”中必定会受阻，或得到的某些结论将会是错误的，这也是本节课会产生学习难点的原因之一.因此，要在解题后反思自己，认知某种解法没有出现，或发现的结论是错误的原因在哪里？从而通过类似的解题活动，查漏补缺，真正地理解与掌握基础知识与基本方法.

可见，学生的精彩表现告诉我们，只要激发起学生的兴趣，搭好台阶，不仅能发挥出个体存在的潜能，产生一个“学习场”，而且会形成反思个体、继续探索的驱动.