地下圆形衬砌动载等效简易模型及内力极值解

2017-11-04孙文波张晓新岳焕闯马思远

振动与冲击 2017年20期

郭璇，孙文波，张晓新，岳焕闯，马思远

(1. 北京交通大学城市地下工程教育部重点实验室，北京 100044； 2. 北京交通大学土木建筑工程学院，北京 100044；3. 中国中建设计集团有限公司专业设计一院，北京 100037)

郭璇1,2，孙文波2，张晓新3，岳焕闯2，马思远2

基于能量守恒讨论动荷载的不同等效静力形式，给出地下圆形衬砌动载作用下的拟静力等效简易力学模型，基于自由变形法推导给出瞬间动载的模型内力极值理论解。对比既有地下结构衬砌顶爆及侧爆冲载的试验结果、初步考察建议模型的适用性及参数效应。对比发现，各种爆冲荷载的等效形式中，三角形荷载的等效选型结果对模型试验结果的适应性较好，初步满足解析解与数值模拟值的对比验证。模型参数效应明确，内力极值解方便工程应用。

地下圆形衬砌；动载；等效简易模型；内力极值解

近年来，人流密集的地铁或深部隧道等地下空间在动载(如爆破拆除、循环气动、活塞风等)作用下衬砌结构破裂损坏的案例增多，严重的情况直接影响运营、导致巨大的经济损失，甚至危及人员伤亡。地铁空间狭小且人流密集，是公共安全维护的焦点所在，而主要的安全隐患和危险因素即来源于动载，其对隧道衬砌产生的内力响应评价是非常重要的理论难题，并对结构设计及安全运营直接产生深远影响。地表建筑物爆破拆除、恐怖主义化学武器爆炸、浅层含气地层气压突出释放等情况均可能导致衬砌结构承受动载，并导致公众安全事故，2005年“7.7”伦敦地铁爆炸事件，伦敦6个地铁站发生连续剧烈爆炸，导致13条地铁线全部停运，56人死亡，700多人受伤。因此，衬砌结构的冲载稳定性是地铁长期安全运营的基础保障，其理论研究具有重要的理论意义和实用价值。

目前，动载对封闭空间地下圆形衬砌的内力响应尚属理论难题，因力学响应分析及稳定性求解复杂且受边界条件的影响显著[1-6]，其在衬砌结构安全评价中的作用日益重要。冲击释放、卸载导致衬砌承受瞬间巨大动载，模拟方法也趋于多样化[7-8]；动载下衬砌的稳定性研究多集中于爆破荷载或瓦斯突出，广义动载作用考虑能量的瞬间时效作用，如根据炸药量和爆压确定爆破动载或根据释放气压力大小确定气压动载；爆破地震波衰减可等效瓦斯突出对衬砌的动载影响等。提出方便工程应用的等效简易分析模型非常重要和必要。

本文以地下结构自由变形法为理论基础，推导给出地下圆形衬砌动载的等效拟静载简易模型及抗冲击瞬时最大内力。通过理论分析、试验研究、数值模拟对比验证爆炸动载下隧道结构应力应变的动力响应及破坏机制。

1 动载地下圆形衬砌内力式推导

基于能量守恒原理寻找结构拟静载等效应力以平衡动载最大应力，考察参数效应。地中结构服从广义Hook定律的前提下，考虑地下衬砌结构上方覆土对动载及波动的显著衰减作用，认为动载的主要衰减在地层传播中已完成，忽略半空间应力波传播产生的多次过程附加应力，假定衬砌在地表强动载下承受瞬间单一动载。应用动载所致瞬间最大内力的静载等效原则，通过确定衬砌上作用的动载，如选择对静载乘以一个动荷载因数逼近衬砌结构产生应力和变形以估算动载，继而等效得到衬砌响应的瞬时最大内力。基于以上思想，应用自由变形法给出地下圆形衬砌动载的等效简易拟静力模型及内力推导。

1.1 动载等效简易模型

首先讨论动载的不同等效形式。文献[9]给出既有地下圆形洞室左侧出现爆破荷载，衬砌受力模型与围岩动应力集中系数分布图，既有地下圆形洞室上侧出现爆破荷载时，衬砌围岩土体最大加速度分布见图1。

当既有地下圆形洞室衬砌某侧出现动载，为计算方便，假定衬砌瞬间受力符合下述规律：选定动载出现一侧的最大荷载为此侧0°角位置；越往两侧分布的衬砌荷载越小，最大受力区集中分布在动载两侧±15°角的范围内；远离动载的一侧，衬砌两端的受力明显高于衬砌中间的受力。侧爆和上爆两种模式得到的动应力集中系数和最大加速度分布均在动载作用侧呈现较典型的蝴蝶拟对称分布形态。

推导动载作用在中心任意角度衬砌最大附加内力计算式。首先考虑动载作用在上侧的特例，任意角度动载可通过旋转角表示，动载作用下衬砌附加受力分为三部分：①动载等效荷载，即动载对衬砌的施加荷载；②动载等效反力，为平衡动载影响，衬砌-地层提供的反力，其大小与动载等效荷载等效；③两侧地层抗力，在动载等效荷载与反力作用下，由地下圆形洞室衬砌在地层中的变形引起的地层抗力，设为三角形抗力分布。

考虑动载衬砌受力的两个主要影响因素：荷载形式与荷载大小，图2(a)给出上部动载情况下地下圆形洞室衬砌的受力模型图，图2(b)为爆破动载附加荷载的力学模型图。

(a) 上侧爆破动载模型图

(b) 上侧爆破动载附加荷载力学模型图q为地层均布荷载；q0为等效分布动载的最大值，θ为其分布半角； R是圆形洞室衬砌计算半径； e1，e2分别是侧向水平均布和三角形分布的主动地层压力； K为地基反力； K0为由动载产生的地基反力最大值；PK0为侧向地基反力最大值，α为其分布半角图2 荷载模型图Fig.2 Load model

模拟爆破对岩体作用动载的通常加载方式：一按炸药爆轰理论计算爆炸产生的小孔压力将爆炸荷载直接作用于孔壁上；二使用经验公式计算动荷载峰值，如按三角形脉冲波形式施加于开挖边界。前者需引入炸药爆轰状态方程和岩体状态方程，常见于单孔爆破或集中装药爆破；多孔爆破动载因爆源分布区域较大，按当量炸药量模拟加载。

讨论动载的不同等效形式，将气体突出、地震波与爆破衰减等对衬砌产生的爆冲作用形式等效，假定冲载导致等效附加荷载包括三部分：上部荷载、两侧反力和下部反力，讨论三部分荷载不同的分布形式对衬砌内力产生的影响。荷载假定形式分布如图3所示。

图3 荷载形式Fig.3 Load form

假设动载产生总等效值F相同，图3(ⅰ)中四种上部荷载形式的集中程度为ⓐ<ⓑ<ⓒ<ⓓ，图ⓓ为极限集中荷载形式，动载作用于一点。衬砌中部应力集中最为显著。图3(ⅲ)中下部荷载在动载总等效值F相同条件下荷载集中程度为①<②。

1.2 动载附加荷载下衬砌内力公式推导

推导各形式等效荷载衬砌内力的计算式，推导等效力F为动载的总荷载值。各荷载内力计算式的推导思想相同，以曲线荷载为例给出详细的推导过程，其余情况仅列出推导结果。

上部动载等效荷载正弦分布，最大值为q0，ξ角处正弦荷载值为q0cosξ，取-θ～θ范围内的荷载作为计算等效荷载。

当0≤φ≤θ时，荷载图如图4， dξ处对φ的弯矩值为q0cosξRcosξdξ(Rsinφ-Rsinξ)，其中q0cosξ为dξ处的荷载大小，Rcosξdξ为作用范围， (Rsinφ-Rsinξ)为作用距离。

图4 曲线荷载图Fig.4 Load diagram of curve

当0<φ≤θ时

(1)

当θ<φ≤π时，荷载图如图4，其中

(2)

得到Mf的计算式后即可计算Δ1P,Δ2P

(3)

(4)

可得：

(5)

(6)

将x1和x2的值代入Mqφ=x1-x2Rcosφ+Mq可得：

当0≤φ≤θ时，

(7)

当θ<φ≤π时，

(8)

q0与爆破等效动载F的关系：

F=(θ+sinθcosθ)q0R

轴力计算式为：当0≤φ≤θ时，

(9)

当θ<φ≤π时，

(10)

将x1和x2的值代入Nqφ=x2cosφ+Nq可得

当0≤φ≤θ时，

(11)

当θ<φ≤π时，

(12)

剪力计算式：当0≤φ≤θ时，

(13)

当θ<φ≤π时，

(14)

将x1和x2代入Qqφ=x2sinφ+Qq可得

当0≤φ≤θ时，

(15)

当θ<φ≤π时，

(16)

将爆破荷载瞬间值Fmax代入以上各式即可得到瞬时衬砌最大内力。

爆破荷载等效值的最大爆炸压力表达式(Brown,1956)

Pb=0.45ρV2/(1.0+0.000 8ρ)

(17)

1971年Sassa给出表达式

Pb=0.42ρV2(1-0.543ρ+0.193ρ2)

(18)

岩体中传播爆轰波与岩体接触界面上产生的最大压力Pmax与岩体特性相关，岩体最大压力与最大爆炸压力的关系可近似表达成

(19)

式中：ρ为岩石密度；Cp为岩石中传播的纵波波速；V为炸药爆速；ρ0为炸药密度。

取最大等效作用荷载为

(20)

爆破荷载峰值大小与距离的衰减关系可表示为

(21)

式中：Pmax为爆破荷载峰值；r为计算点离爆孔的距离；D为接触面直径，m。

使用Statfield有关时程的动压力：

(22)

其中B=163.38 kPa是荷载常量，每1 kg装药量的动压力。

由式(17)～式(22)可得，作用在衬砌上等效荷载值的总大小随时间的函数关系为

(23)

式中：Fmax是作用在接触面上爆破荷载最大值。

以上基于自由变形法推导给出瞬间动载模型的内力极值理论解，得到的各种等效荷载内力形式汇总见附录图。

2 模型及试验验证

为验证地下圆形衬砌动载拟静力等效力学模型及内力极值解的正确性，进行实验和模拟对比。

2.1 爆破模型试验对比

与地下圆形洞室顶部微振离心模型试验结果计算对比考察动载作用下地下圆形洞室衬砌瞬时最大内力理论计算式的适用性。

顶部微振模型试验的示意图如图5所示。

衬砌上部施加动载模型试验的参数如表1所示[10]。试验结果对比如下。

表1 试验参数Tab.1 Test parameters

图5 微振试验示意图Fig.5 Diagram of micro vibration test

换算模型试验(cm)微应变结果得到动载结构承受弯矩大小，模型试验显示砂-石膏材料配合比为石膏∶砂∶水=1∶0.8∶0.5，弹性模量E=2.8 GPa，为原型C20混凝土折减后的弹性模量，对比7.5 mm和12.5 mm两种厚度，铝合金模型弹性模量Em=70 Gpa，厚度为3.8 mm。

离心试验模型的弯曲变形相似准则：

(24)

(25)

式中：n为离心加速度数；μm为模型波松比；μp为原型波松比;Em为模型杨氏模量;Ep为原型杨氏模量；hm为模型衬砌厚度；hp为原型衬砌厚度。

由式(24)、式(25)可得：

(26)

表2 测点弯矩换算值Tab.2 Moment conversion value of measuring point

以第三组试验为例进行等效爆破荷载值的计算，试验参数如表3。计算模型试验衬砌最大内力理论解。

表3 试验参数Tab.3 Test parameters

Pb=0.45ρV2/(1.0+0.000 8ρ)=140.5 Mpa

(27)

(28)

(29)

(30)

即第三组试验作用在衬砌上等效爆破荷载合力778 kN，考虑模型试验的尺寸效应导致误差，计算荷载选择范围在600 kN～800 kN。

进行如图3荷载组合条件下地下圆形洞室衬砌瞬间最大动载的内力计算，对比上部动载的等效形式分别取均布荷载、曲线荷载、三角形荷载和集中荷载，集中荷载代表动载未经过地层衰减直接作用在衬砌的极端最值情况，对比不同荷载形式，讨论结构内力响应产生的影响。

分别选择图3顶部与下部不同荷载形式组合计算，对比结果如表4～表9所示，取θ=15°,α=45°，散点图对比如图6所示。

表4 第3组计算对比Tab.4 Calculation comparison of group 3

表5 第4组计算对比Tab.5 Calculation comparison of group 4

表6 第5组计算对比Tab.6 Calculation comparison of group 5

表7 第6组计算对比Tab.7 Calculation comparison of group6

表8 第31组计算对比Tab.8 Calculation comparison of group 31

表9 第34组计算对比Tab.9 Calculation comparison of group 34

图6 试验值及模型解的散点对比图Fig.6 Comparison of the experimental results and the model solution

对比a①、b①、c①、d①可知：

(1) 上部荷载形式对测点1(上端)的弯矩影响明显，离散范围为50%～100%；因此荷载分布形式的对比非常必要。

(2) 各组结果特点表现出趋同性，测点1弯矩值a①

(3) 对比各组a①、b①组合各测点数据可知，当上部荷载形式由均布荷载转换到曲线荷载形式时，各测点处的弯矩值均发生了很大变化，其规律是测点1、测点3(衬砌上下测点)弯矩值加大而测点2、测点4(衬砌两侧测点)弯矩值减小。

(4) 对比各组b①、c①、d①组合的测点2、测点3、测点4的数据可知，当上部荷载集中到一定程度之后，集中程度继续加大对衬砌两侧和下部测点的影响很微弱(在1%以内)。

对比b①、b②可知：(1)下部荷载形式对测点1(下端)的弯矩影响很明显，其差异为50%～90%；(2)对测点1、测点2、测点4，b①、b②差距均较大(10%～50%)，这说明下部地反力集中程度继续加大只会明显影响其作用范围内的弯矩值，而对结构范围外的其他点弯矩值影响较小。

在四组计算对比数据中，b②组合即上部三角形荷载下部外三角反力模型与试验值既有较好符合度，又有一定安全储备，比较而言此荷载组合下的模型最合理。将各组试验中上部三角形荷载下部外三角反力模型的内力计算结果(弯矩、剪力、轴力)的对比见图7。

图7 弯矩、剪力、轴力结果对比示意图Fig.7 Comparison of the results of bending moment, shear force and axial force

初步验证第三组试验中衬砌安全性的理论计算结果，选取三角形等效荷载的计算结果进行验证，计算弯矩最大值为367.2 kN·m，位置为S1测点，此处轴力为247.8 kN。

根据偏心受压构件最大压应力

(31)

将试验参数与计算结果代入可得

(32)

未超过混凝土弹性极限压应变0.002，可认为衬砌结构处于安全状态。

试验结果压应变为

ε=(0.000 706+0.000 05)×1.4=0.001 06<0.002，认为结构处于安全状态。

2.2 气压动载的模型试验对比

考虑气压动载的模拟，试验模型箱设计如图8(a)所示[11]，气管位于模型的左、下、右三个方向，将气压等效成三角形荷载，则气压和其导致的附加荷载如图8(b)所示。上部均布荷载是为平衡下部气压地层所提供的反力。

(a) 试验模型

(b) 气压等效荷载图8 气压荷载图Fig.8 Pressure load diagram

试验气压释放与回聚情况下气压荷载单独作用导致结构附加弯矩与理论计算结果对比，如表10所示。

对比承受动载气压作用下地下圆形洞室衬砌附加弯矩的试验值与计算值发现两者符合度较高，精度在15%以内的点有四个，符合度最高的点精度达到95%。

对比结果发现动载下衬砌弯矩理论计算结果能较好符合试验值，方法可为动载作用下的地下结构弯矩计算提供理论参考。

表10 气压动载结构的弯矩结果对比Tab.10 Bending moment comparison underthe impact load kN·m

2.3 微振试验的数值模拟对比

使用MIDAS GTS对微振模型试验的参数进行模拟验证，计算出模型特征后进一步使用时程分析进行爆破荷载衬砌结构的响应模拟。

地层参数考虑爆冲荷载下结构响应的一般影响：地层密度直接影响动载在地层中的传递和衰减，密度越低土层越柔软，动载衰减越显著；爆冲位置距离衬砌结构的距离影响与土层密度类似，距离越远冲载衰减速率越快。给出材料参数如表11和表12。

表11 黏性地层参数Tab.11 Parameters of cohesive soil layer

表12 炸药参数Tab.12 Parameters of explosive

手动输入爆破荷载函数进行MIDAS GTS动载的数值模拟。1.25 g炸药的动压力时程函数结果如图9所示，2.5 g炸药的取值翻倍。爆破荷载以面压力形式施加在作用面上。

图9 动压力函数Fig.9 Dynamic pressure function

表13显示爆破荷载下地下圆形洞室衬砌最大微应变模拟值与试验值符合度很好，大部分测点差距在30%以内。数值模拟不仅对试验结果做出验证，同时为理论计算结果的正确性提供部分对比依据。动载地下圆形洞室衬砌的瞬间最大内力理论式计算结果与数值模拟结果具有较好适用性。

表13 测点弯曲微应变值对比Tab.13 Bending micro strain comparison ofthe measured point %

用地弹簧约束衬砌进行GTS等效静载模拟验证。理论式，模拟及试验结果的对比如表14所示。三者对比发现符合度较好，大部分点差距在20%以内。进一步验证了理论式计算结果的适用性。

表14 弯矩结果对比Tab.14 Comparison of bending moment kN·m

3 结论

本文给出不同动载的等效荷载形式，以经典地下结构自由变形法为理论基础，推导得到地下圆形衬砌动载等效简易模型及内力极值解，给出一种地下圆形洞室衬砌结构承受动载的内力计算方法。通过多组模型试验结果与数值模拟对比对衬砌结构动载下的最大内力及参数效应进行初步考察，得出如下结论：

(1) 动载的等效形式对计算结果影响较为显著，可直接体现在其作用范围内衬砌结构各点内力形态的分布特征上；对比曲线形和三角形两种等效动载分布的作用形式可知，以模型试验结果的符合度为标准，简化三角形分布荷载形式更简便可行，方便工程和设计应用。

(2) 动载导致地层附加荷载主要考虑地层反力和侧向变形抗力两部分，对比外三角形分布和均布两种地层反力的等效作用方式发现：单侧冲载情况外三角形分布方式从地层动应力集中度及与试验结果的符合程度上都明显高于均布荷载分布形式；侧向变形抗力部分可参照日本三角形抗力法计算得到。

(3) 地下圆形衬砌动载等效简易模型可给出各动载等效荷载的内力响应关系。同一非线性地层传播条件下，冲载大小及地层参数直接影响衬砌内力响应，与实测结果的对比部分反证了模拟参数的正确性。

从理论公式推导、动载数值模拟及与微振试验结果的三者对比发现，大部分应力测点的离散程度在20%以内，最大微应变模拟值与试验值的离散度在30%以内；对比气压动载模型试验结果与理论式发现，最接近测点的误差可控制在2.3%。模型理论式、试验数据及数值模拟可初步相互验证。

综上，对地下圆形衬砌动载等效简易模型及内力极值解的应用效果进行了初步对比和考察。

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附录A

Apseudo-staticequivalentmodelofimpactdynamicloadofundergroundcircularlininganditsinternalforceextremevaluesolution

GUO Xuan1,2, SUN Wenbo2, ZHANG Xiaoxin3, YUE Huanchuang2, MA Siyuan2

(1. Key Laboratory of Urban Underground Engineering of Ministry of Education, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China； 2. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China;3. China Construction Engineering Design Group Corporation Limited, Beijing 100037, China)

The theoretical formula of a pseudo-static equivalent model for impact dynamic load of underground circular lining and its internal force extreme value solution was given based on the conservation of energy in this paper. The equivalent load forms of different impact were discussed. The theoretical solution of the extreme value of the internal force of the model under transient impact load was derived based on the free deformation method. The internal force calculation formula under different equivalent forms of impact loads was obtained and calculation results were compared with results of the existing top blasting model test of circular tunnels. Preliminary validation of internal force and parameter efforts for circular lining under the blasting impact at the top of existing underground structure lining was compared with the model test results. It was found that the equivalent model of triangular load is the nearest style with the model test in the equivalent form of all kinds of blasting load. The conclusion is that the theoretical results agree with experimental values very well and the equivalent impact loads form of triangular is the most realistic in all equivalent forms. The proposed equivalent model of load and the extreme value of internal force formula are easy to be applied in engineering and design.

underground circular lining; impact dynamic load; pseudo-static equivalent method; maximum solution of internal force analysis

国家自然科学基金(51378051；51678038)；北京交通大学基本科研业务费(2017JBM083)；霍英东教育基金会(122009)；中国国家留学基金(201707095041)

2016-09-23 修改稿收到日期： 2017-01-11

郭璇女，博士，副教授，博士生导师

E-mail: xguo@bjtu.edu.cn

TV554；U231

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.015