例谈高中数学解题中导数的易错点

2017-11-02陈涣之

环渤海经济瞭望 2017年9期

◆陈涣之

例谈高中数学解题中导数的易错点

◆陈涣之

高中数学知识不管是深度还是广度，同初中数学知识点相比有了很大的提高，同时高中数学知识点之间的联系较紧密，学生只有加强对相关知识点的理解才能为后续的学习打下良好的基础。导数是高中数学学习当中的知识难点，所以本文对高中数学导数学习以及解题过程中容易出现的易错点进行了具体的分析，以此提高学生的学习成绩。

高中数学；导数解题；易错点

一、未能对定义域引起高度的重视

在对最值进行求解的过程中，未能对函数变量的定义域引起高度的重视，导致了在解题的过程中出现了概念性的错误，为了能够将措施的原因充分体现出来，下面进行相应的举例说明。

有这样一道例题：求出函数f（x）=ln（1+x）-x的单调性。

错误分析：根据已知条件以及定义进行分析可以得知原函数函数f（x）=ln（1+x）-x的定义域是，在解题的过程当中忽视了原函数的变量，所以也就忽视了定义域的变化。在这样的情况之下，就造成解题思路以及解题的结果出现了错误。所以，原题正确的结果应该是“函数f（x）=ln（1+x）-x在(−1,0)上单调递增”。

二、极大值和极小值的坐标点不明确

在进行函数极大值和极小值求解的时候，认为当原函数的导数等于0的时候，就是原函数的极值点。对导数相关知识点的理解不深刻不全面是存在这种错误思维的主要原因，认为当导数等于0的时候就可以求原函数的极值。

有这样一道题：函数f（x）=x3-6x2+cx在x=t的时候有最小值g（t），求出g（t）的定义域以及值域。

错误的解法：首先对函数f（x）=x3-6x2+cx进行求导，就可以得出f′(x)=3x2−1212x+c，然后推导出：(x−2)2+c−1212，然后令f′(t)=0，那么就可以得出c=−3t2+12t。因为f（x）能够在满足条件的情况下取得极小值，所以f（x）=0有解，因此c＜12，c=−3t2+12t＜12，就可以得出t≠2，所以就可以求出g（t）的值域为：g（t）=f（t）=-2t3+6t2,其中 t≠ 2。

错误分析：在解答这道题的时候，我犯的错误是将f′(x)=0当做了f（t）的充要条件，在这道题当中，f′(x)=0应该是f（t）的必要条件。

正确的解法：c≥12的时候，f′(x)≥0，那么在这个时候f（x）没有极值；c＜12的时候，f′(x)=0两个不同的实数根x1，x2，假如x1＜x2，那么就可以得出x1＜2＜x2。进一步推导：当x＜x1的时候，f′(x)>0，那么就可以得出f′(x)在（－∞，x1）内是增函数。当x1＜x＜x2的时候，f′(x)＜0，f′(x)在（x1，x2）内是减函数。当x1>x2的时候，f′(x)>0，f′(x)在（x2，+∞）内是增函数。

所以就可以得出一下的结果：当f（x）在x1=x2的时候，导函数f′(x)在x1=x2的时候存在着极小值，而且只有一个。所以当t=x2且t>2的时候，就可以得出g（t）的定义域是（2，+∞），根据f（t）=3t2-12t+c=0，可以得出c=-3t2+12t，最终就可以推出 g（t）=f（t）=t3-6t2+ct=-2t3-6t2。