称名反应模型项目参数的打折似然估计方法

曲 爽， 顾希媛， 张轶男

(1.长春师范大学 数学学院， 长春 130000； 2.牡丹江市第三高级中学， 黑龙江 牡丹江 157000；3.长春财经学院， 长春 130000)

称名反应模型项目参数的打折似然估计方法

曲 爽1*， 顾希媛2， 张轶男3

(1.长春师范大学 数学学院， 长春 130000； 2.牡丹江市第三高级中学， 黑龙江 牡丹江 157000；3.长春财经学院， 长春 130000)

项目反应理论(Item response theory， IRT)是教育心理测量理论中发展较快的理论之一，称名反应模型是IRT中一个基本的项目反应模型. 该文借助2015年de la Torre提出的一种参数估计方法—打折似然方法，将它与拟牛顿法中的BFGS方法结合对称名反应模型的参数进行估计. 模拟研究表明：新的估计方法可有效地减少计算量.

称名反应模型； 打折似然估计； 拟牛顿法； BFGS方法

项目反应理论(Item Response Theory， IRT)是近年来发展较快的教育测量理论方法之一，受到众多教育专家和研究者的关注[1]. IRT中的一些基本的模型(如两参数模型、三参数模型等)的参数估计均可通过极大似然估计、EM算法实现. IRT中的多元两参数项目反应模型——称名反应模型(Nominal Response Model， NRM)，因其特殊的性质和重要的作用，也越来越受到研究者们的重视，称名反应模型的参数估计也是关注的问题之一. 由于传统的极大似然估计过程中对参数的一阶导数和二阶导数的计算，大大增加了计算难度及计算时间，因此要找寻其他更简便的估计方法．

本文给出NRM打折似然估计方法， 并利用计算机软件Matlab进行编程实现与模拟比较研究．

1 称名反应模型

不同被试对项目的反应是不同的，我们根据被试的能力θj可得到每个项目反应选项特征曲线. 能力为θj的被试选择项目选项ν的概率Pν(θj)具有如下形式:

2 参数估计

2.1 打折似然估计

Jimmy de la Torre (2015)提出了一种新的打折似然方法(Discounted Likelihood Method，DLM)，该方法的基本思想是：在所有项目的完全似然的基础上进行项目分离，找到项目i的打折似然实现单个项目参数的估计运算，然后重复进行得到所有项目的参数估计. DLM执行的是拟牛顿最优化运算——Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法，它忽略了对数似然的形式，不需要二阶导数，直接通过函数对参数进行处理，进一步迭代得到精确结果，这与传统的极大似然相比大大减少了计算量；同时在利用BFGS方法进行估计的过程中，能够从完全项目参数协方差矩阵中直接得到标准误差，从BFGS算法中的泛对角矩阵的标准误差找到参数估计值， 并得到较为精确的结果．

2.2 打折似然估计的基本步骤

步骤1：给出所有项目的初始值并找到完全似然函数；

步骤2：分解完全似然函数，找到项目i的打折似然；

步骤3：对打折似然函数进行参数估计，得到估计值；

步骤4：更新完全似然函数，重复步骤2和3；

步骤5：重复步骤2～4，直至项目参数估计收敛，且前后两次迭代差值满足设定的收敛条件．

转化为对参数

的估计问题．

接下来利用打折似然的估计方法对称名反应模型的参数进行估计．

2.2.1 完全似然函数 完全似然函数具有如下形式：

在完全似然函数中包括了N个项目，Q个正交节点和J个被试的相关信息.一共有2×N个项目参数需要估计．

2.2.2 打折似然 因为N个项目之间是独立的，根据DLM将项目参数分成N组，每次只估计两个参数，即每次仅估计一个项目的难度参数及项目区分度参数.完全似然函数确定后，可进行项目参数的估计[2].将所有被试j对项目i的反应概率分离：

则对数似然可写为：

上式即为项目i的打折似然形式.

2.2.3 估计方法 利用BFGS方法对项目i的项目参数进行估计，为了形式简便，我们仅对单一项目的参数估计进行计算.如对项目i进行估计，即估计

根据上式得到打折似然函数的梯度

以m=3为例，

l(x(t)+atdt)≤l(x(t))+δat(l(x(t)))Tdt，
l(x(t)+atdt)Tdt≥σ(l(x(t)))Tdt，

当步长和搜索方向均确定后，得到近似解x(t+1)=x(t)+atdt，并求出BFGS矩阵[6]：

其中yt=l(x(t+1))-l(x(t))，st=x(t+1)-x(t)．

以上步骤可以得到项目i的项目参数估计值，之后更新打折似然函数，对其他项目分别进行估计，直到所有项目参数估计完成，得到项目参数矩阵

3 模拟比较

设被试总数为7 000人， 项目数为10，且每个项目有3个选项，使用Matlab软件编程进行模拟研究[3].采用均方误差(MSE)及偏(Bias)两个指标来评价估计结果的准确性及偏度.初值选取如下：被试的能力服从均匀分布θ～U(-3.5，3.5)；项目参数ζi1～U(-1.5，1.5)，ζi2～U(-1.5，1.5)，ζi3=-ζi1-ζi2，λi1～U(-1.5，1.5)，λi2～U(-1.5，1.5)，λi3=-λi1-λi2. 将被试分为7组，每组1 000人，在给定能力值的情况下每组的能力用中点值代替，再进行项目参数的估计.模拟进行1 000次，得到最大似然估计与打折似然估计的实验结果见表1[8].

表1 称名反应模型的项目参数估计精度Tab.1 The precision of estimating item parameters

续表

4 结论

模拟研究表明，DLM的Bias值在[-5×10-3，5×10-3]内进行波动，估计结果均在精度允许的范围内. 若要提高精度， 需进一步研究其相关的影响因素；此外，使用BFGS方法进行参数估计时，对步长的计算求解也可以更加优化，这些将在以后的研究中不断改进，预期可以得到更加理想的实验结果. 总的来看，打折似然估计方法在估计称名反应模型的参数时，相对极大似然估计而言既降低了计算强度，也使得参数估计更易实现．

[1] BAKER F B， KIM S H. Item Response Theory: Parameter Estimation Techniques[M] . New York: Marcel Dekker， 2004．

[2] DARRELL B R. Estimating item parameters and latent ability when responses are scored in two or more nominal categories[J]. Psychometrika， 1972，37(1)：29-51．

[3] 陈根永. 数值计算方法与MATLAB应用[M]. 郑州：郑州大学出版社，2010.

[4] 张 恒， 何 伟. 基于新拟牛顿方程的改进BFGS方法[J].淮海工学院学报(自然科学版)，2007，16(3): 10-12．

[5] HAN J Y， LIU G H. Global convergence analysis of a new nonmonotone BFGS algorithm on convex objective functions[J]. Computational Optimization and Applications， 1997，7(2): 277-289．

[6] 周伟军. 拟牛顿法及其收敛性[D].湖南：湖南大学数学与计量经济学院，2006．

[7] CHENG W Y， LI D H. Spectral scaling BFGS method[J]. Journal of Optimization Theory and Applications， 2010，146(2)， 305-319．

[8] 顾希媛. 称名反应模型的参数估计方法[M].长春：东北师范大学出版社， 2016．

Discountedlikelihoodestimationmethodforitemparameterinnominalresponsemodel

QU Shuang1， GU Xiyuan2， ZHANG Yinan3

(1.Faculty of Mathematics， Changchun Normal University， Changchun 130000;2.The No. Three Senior High School of Mudanjiang， Mudanjiang Heilongjiang 157000;3.Changchun University of Finance and Economics， Changchun 130000)

Item response theory (IRT) has been widely used in educational and psychological measurement. Nominal response model (NRM) is one of the IRT models. In this paper， we propose a new parameter estimation method——discounted likelihood method (DLM)， in which a type of quasi-Newton methods， BFGS method， is used to estimate item parameters. Simulation results indicate that the DLM is a less computationally demanding method and can fit the NRM well．

nominal response model; discounted likelihood estimate; quasi-Newton method; BFGS method

O212

A

2017-06-14.

数学天元青年基金项目(11626044)；长春师范大学自然科学基金项目(长春师范大学自科合字[2014]第002号)．

*E-mail: qus687@nenu.edu.cn.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.05.002

1000-1190(2017)05-0574-04