从一道课本例题“证明+<2”说起

丁胜锋

广东省云浮市邓发纪念中学 (527300)

丁胜锋

广东省云浮市邓发纪念中学 (527300)

这是一道比较简单的不等式的证明，教材的意图是想通过这道题目来说明直接证明不容易，根据不等式的特点，寻求成立的充分条件，从而让学生掌握分析法证明的基本思想和操作方法.我们很多老师在实际教学中也就是按照课本上的方式处理问题，然而，学生或多或少会产生疑问，这道题除了分析方法外，难道就没有其它的方法？笔者从函数的观点来证明不等式问题.

图1

我们取x1=3,x2=7，也得到不等式的证明.

例若a,b∈R,且e

根据上述结论，我们可得到如下结论：

上述结论都是通过构造函数来解决不等式的问题，但如何恰当的构造函数，这需要根据题目本身的结构来构造，有时候我只需根据题目的原型结构来构造，有时候需要适当的变形，但具体选择那种方式来构造，这需要根据题目本身来决定.下面我们通过一个例子来多角度的说明怎样构造函数.

(1)求a,b值；(2)证明：f(x)>1.

试题分析：试题(1)问不难，主要是考察导数的几何意义，函数在一点处的切线方程，只要学生对切线概念充分理解并能准确求导，即可解决第(1)问.但第(2)问中函数不等式对大多数学生设置了门槛，这个门槛主要是导函数f′(x)的零点不好求，因此需要对函数不等式做适当的变形后再构造函数来处理.

e-lnx≥e(-lnx)③,当且仅当-lnx=1时等号成立.

(1)若g(x)与f(x)在同一点处有相同的极值，求实数a的值;

(2)若对一切x∈(0,+∞)，有不等式f(x)≥2xg(x)-x2+5x-3恒成立，求实数a的取值范围；

因此关于不等式还是函数不等式的证明，我们可以通过题目本身的结构特点来构造函数，通过研究函数性质来加以证明.为我们提供了解决不等式的一个有力工具.但我们在构造函数时，又会出现构造的函数“好”“坏”直接影响解题成败，一般来说，应尽可能的构造较为简捷且很容易求出导函数零点的函数，要做到这一点，需要我们熟悉初等函数之间的组合.

[1]吴振奎.中学数学证明方法[M].辽宁人民出版社，1985.

[2]华中师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2010.

[3]王健.一道课本例题的多视角探究.中学数学教学参考，2016，8.