学会“构造”，领略数学之美
2017-10-20陈晓霞
陈晓霞
(江苏省海门市城北初中，江苏 南通 226100)
学会“构造”，领略数学之美
陈晓霞
(江苏省海门市城北初中，江苏 南通 226100)
本文通过构造图形、代数式和函数三个方面介绍了构造思想.构造法中渗透着猜想、转化和概括等数学方法，是一种富有创造性的解题思维.学习构造法可以培养学生的多元化思想和发散性思维，让学生感受到解题的乐趣，欣赏数学之美.
构造法；数形结合；发散思维
数学之美，体现在各种数学思想中，而构造思想对数学之美起到了锦上添花的作用.构造法是数学创造性思维的体现，但是构造是建立在扎实的基础知识上的，需要对所学的知识融会贯通，是一种富有创造性的解题方法.本文从三个角度论述了构造法在初中数学中的应用，希望能让学生对构造法产生深入的认识.
一、数形结合，事半功倍
对于一些难题，条件和结论之间的联系比较隐蔽，直接解答非常有难度.一般可以通过构造图形来使二者之间的联系变得直观化，然后再解决问题.可以先找到题目中代数式的基本特征，再运用“数形结合”的思想，联想到代数式与几何图形之间的关系，然后再构造出满足这种关系的图形.
例1x、y、z是大于0且小于1的正数.求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
解析根据题中的条件可知x、y、z均是大于0且小于1的正数，可以认为x、y、z是无差别的三个变量，而所要证明的式子中出现了x(1-y)、y(1-z)、z(1-x) 这三个关于x、y、z的代数式，直接证明显然是不可行的.但是通过构造的思想，运用发散性思维，就可以很好地解决问题.不妨构造如图所示的正方形，此正方形边长为1，阴影部分的三个矩形面积分别为x(1-y)、y(1-z)、z(1-x).从图中可以直观的看出阴影部分的面积之和小于正方形的面积，显然所要证明的结论成立.
点拨本题中的条件与结论之间的联系就比较隐蔽，对于学生来说具有一定难度，可以采用构造图形的方法来解答此题.当然本题还有其它的证明方法，但是都不如构造图形来的方便实用.构造图形使问题变得更加直观，使得解题过程事半功倍.
二、仔细观察，构造代数式
在初中数学的学习过程中，会遇到某些求值之类的问题通过直接运算会非常繁琐，但是如果能认真观察算式，发现算式的内在规律，探索构造出简单的代数式，比如“倒数式、对称式、有理化因式子”等，则可以让解题过程明朗化，避免陷入劳而无功的境地.
点拨本题通过构造法巧妙地解决了问题，避免了冗长的计算，收到了事半功倍的效果.在此有一个要点需要说明：对于一元二次方程，如果它们的根是非对称式的值，应当先构造出“配对对偶式”，那么它们的和与差就是关于方程根的对称式，接着根据根与系数的关系，可以求出原非对称式的值.
三、构造函数，发散思维
对于某些数学问题，根据已知的条件，构造出一个新的函数，可以将原来比较复杂的问题转化为简单的函数.构造函数是一种发散性思维方式，具有极大的技巧性和灵活性.在运用构造函数的过程中应当根据实际情况随机应变，灵活运用.
例3 若a 解析分析题目中的条件，对于二次方程实根分布的问题，可以构造二次函数来解决问题.可构造f(x)=(x-a)(x-c)+(x-b)2，有f(a)=(a-a)(a-c)+(a-b)2=(a-b)2，f(b)=(b-a)(b-c)+(b-b)2=(b-a)(b-c)，f(c)=(c-a)(c-c)+(c-b)2= (c-b)2.根据a 点拨本题中根据题设条件，构造出新的辅助函数，使得问题在新的观点下实现转化.辅助函数只是解题过程的一个工具，为题设中的条件找到一个新的载体，在这个载体下可以更好地解决问题.如果能够选好辅助函数，对我们的解题将会大有裨益. 综上所述，通过构造法解题的思路非常巧妙，能起到意想不到的效果.构造法的难点在于“构造”，只有通过细心的观察和分析，发现内在规律，才能用好构造法.以上关于构造法的应用只是冰山一隅，在数学中“构造”的应用非常广泛.因此，这就需要老师从多方面去激励和引导学生，以培养学生的多元化思想和发散性思维，让学生感受到解题的乐趣，欣赏数学之美. [1]潘瑞.基于数学命题教学下的勾股定理教学设计研究[D].四川师范大学,2014. [2]王春山.用圆研究一元二次方程实根的分布[J].文理导航,2015(05). G632 A 1008-0333(2017)23-0040-02 2017-07-01 陈晓霞(1978.08-)，女，江苏海门人，中学一级教师，大学本科 ，初中数学教学思想的研究 [责任编辑李克柏]
