几何画板在高中数学习题课中的应用

董正武

【关键词】 数学教学；几何画板；应用

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004—0463（2017）14—0113—01

引例：设x，y满足约束条件x+y-2?0，

x-2y-2?0，

2x-y+2?0，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为？

变式1.求z=（x+3）2+（y-3）2的取值范围。

变式2.求在可行域内整点（横坐标、纵坐标均为整数的点）的个数。

一、几何画板课件的制作

（1）制作可行域。绘图?定义坐标系?绘制新函数?输入-x+2?边界x+y-2=0。分别输入x-1与2x+2，绘制边界x-2y-2=0与2x-y+2=0。

（2）依次两两选中边界，构造交点，度量坐标，依次选择三个交点，构造三角形内部。

（3）按照“文件?文档选项?增加页?复制”的流程，将第一页复制，得到课件的第二、三、四页。打开第二页，在x轴上构造点D，过D做x轴的垂线j，在j上构造点E， 隐藏j， 构造线段DE，度量E点纵坐标，将标签设置为a。同法构造线段FG及G的纵坐标z。在第二页中按照“绘制新函数?输入ax+z”的流程，得到y=ax+z的图象，构造y=ax+z与y轴的交点H。如图1所示。

二、几何画板的使用

1. 引例的解决（截距模型与斜率模型相结合）。z=y-ax中的z为直线y=ax+z的纵截距，a为斜率。在第二页课件中，上下拖动点E改变a，发现直线绕着H旋转。特别地，当a<0时，直线为一、三象限走向，从左往右呈上升趋势，当a<0时，直线为二、四象限走向，从左往右呈下降趋势，当a增大时，直线绕着H逆时针旋转。上下拖动点G改变z，发现直线在上下平行平移，特别地，当z增大时，直线向上平移，当z减小时，直线向下平移。

首先拖动点G，使直线平行平移经过B点，此时z达到了最大值，即点B为z取得最大值的最优解，此时最优解是唯一的。其次拖动点E，当a=-1或a=2时，直线y=ax+z分别与边界x+y-2=0或2x-y+2=0重合，z在线段AB或BC上的任意点处取得最大值，从而最优解为无数个，不唯一。

2. 变式1的解决（距离模型）。方程z=（x+3）2+（y-3）2表示以（-3，3）为圆心（-3，3），半径为的圆或点（-3，3）。打开课件的第三页，构造点I（-3，3），选中“圆工具”，以I为圆心构造圆，拖动控制圆大小的点J，发现当圆I与边界2x-y+2=0相切时，半径最小；当圆I经过点当圆A时，半径最大。于是分别利用点到线或点到点的距离公式，知（）min=，（）max=，所以?z?34。如图2所示。

3. 变式2的解决。打开课件的第四页，分别构造点（-2，0），（-1，0），（0，0），（1，0），（2，0），并过这些点构造x轴的垂线，再构造点（0，-1），（0，-2），（0，1），（0，2）并过这些点构造y轴的垂线，发现这些垂线之间形成了若干个交点（整点），发现共有9个整点在可行域中。如图3所示。

三、使用几何画板的利与弊

1. 节约时间的同时忽略了数学思维过程。教师使用几何画板进行教学，可将在黑板上画可行域的时间调整到课前，分散了教师的负担与工作量，有效节约了时间，提高了课堂效率。但如果用几何画板直接给学生呈现画好的可行域，会让学生忽略了构造可行域的数学过程，所以对于初学者，教师最好在利用几何画板時展现画可行域的过程，而对于高三备考的学生而言，可直接呈现最终画好的可行域。

2. 有助于提供思路但不能代替动手计算。在本节课的教学中，通过对参数的控制，达到了动态的视觉效果，使学生很容易地观察到“平移、旋转、扩大”与参数的关系，从而使学生很容易地得到诸如“距离最大、截距最大”等问题的条件。然而，最大（小）值是多少，这需要学生的计算能力，所以不能因为利用几何画板的辅助功能而忽略对数学能力的培养。

3. 几何画板的使用建立在对数学理解的基础上。首先，课件的制作需要较为深厚的数学基础。其次，几何画板将代数问题几何化，这就要求我们明确问题中量的几何意义。最后，“存在即合理”，要充分重视“数”与“形”的高度统一，要将观察的图形，能够进行严格的数学推理。

编辑：谢颖丽endprint