数学建模在数值分析教学中的实践探索

冯男++张铁

【摘要】数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法，数学模型是对某一实际问题或实际系统发生的现象的数学描述。本文是作者近年来在数值分析教学中引入数学建模教学实践的一点心得体会和探索总结。

【关键词】数值分析 ； 数学建模 ； 教学改革

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）36-0006-01

一、数值分析与数学建模课程的有机联系

数值分析是信息与计算科学和数学与应用数学专业的主干课程，同时也是很多工科专业的基础课。它是研究用计算机求解各种数学问题的计算方法的一门学科，是现代数学在计算机上应用的重要基础工具，也是继续学习和掌握其它常用算法的基础课程。数学模型是用数学符号对某一实际问题或实际系统发生的现象的（近似） 描述的一门学科。随着科技的发展，两个学科的相互渗透和有机联系越来越紧密。它们都特别强调理论与实践相结合，注重将数学理论与计算机和实际问题有机结合。我们知道，用计算机的手段去解决实际问题，首先要建立起适当的数学模型，就是將实际问题转化为相应的数学问题，然后对数学问题建立相应的数值方法。工程实际或其他学科中的许多问题，如飞机船舶的外形设计、电子电路的设计、投入产出模型、天气预报等等，都可以用数学模型来描述。在数学建模过程中，经常会用到数值分析课程介绍的算法，如解方程组的迭代法、函数插值方法、最小二乘拟合方法等。由此可见，数学建模与数值分析关系密切，数值分析为数学建模提供解决方案，数学建模反过来极大地推动数值分析的发展。

二、数值分析课程特点及教学现状

1.知识面跨度大

数值分析广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及高等数学、线性代数、微分方程甚至泛函分析等众多数学理论。学生在学习本门课程之前，虽然都学过高等数学和线性代数，有一定的数学基础，但更多是把数学当作一门应用工具，对数学知识的学习源动力明显不足，面对复杂的定理公式容易产生畏难情绪。数值分析毕竟属于数学类课程，不可避免的会出现大量抽象的定理公式，而且该课程的定理证明多繁琐，计算公式多冗长， 因此学生上课时更容易产生晦涩难懂之感觉。

2.既有可靠的理论分析，又注重理论与应用相结合。

与其他纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，还特别注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法， 根据计算机特点提供实际可行的有效算法。 它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。因此公式推导和算法比较多，计算量比较大。从数值分析的教材上可以看出，从理论上来说，这门课就是在讲算法，课堂上大部分时间都是在讲解繁琐的理论推导。构建数学模型时，为了能够很好地说明解决实际问题中数值计算方法的功劳所在， 经常存在的大量靠手工计算难以完成的计算任务。

3.教学现状

由于学时较少，有些算法不可能详细地讲解，只能介绍一些基本思想。所以如果学生数学基础不太扎实，听课的效果就会很差，更谈不上创新意识和应用能力的培养。如果想在有限的课时内尽量让学生掌握足够的知识并培养学生的创新精神和科研能力，必须加强数值分析各学科之间的联系，优化教学内容，同时也必须对教学方法进行改革。但传统的教学模式只注重讲授数值方法的原理，算法的理论推导占据了整个教学过程的大部分时间，实践环节的教学缺乏，使得学生不能很好地运用所学的理论去解决实际问题。现在许多教师已经意识到这个问题，在实际授课中开始关注实践环节。但是目前的实验教学，无论从内容上或是形式上都附属于理论教学，先讲理论，然后让学生编程验证，很难从根本上提高学生的动手能力和创新能力。

三、数学建模与数值分析教学实践结合的探索

1.教学内容中融入数学建模思想

数值分析课程的教材内容主要包括数值代数、数值逼近、微分方程数值解法三部分。 我们在传统教学内容的基础上，增加了数学软件Matlab应用基础部分，就是为了让同学们在以后的建模，计算过程中少走弯路。可以说，数值分析的每个章节都能与实际问题建立联系，每个实际问题都能在数学建模中得到应用。因此，我们在教学中，注重在传统教学内容中穿插数值实验，而实验题目我们就直接选择实际问题让同学们建模求解。近年来，随着大学生更加热衷参与各种数学建模竞赛，使得学生们学习数值分析课程的热情也明显提高，尤其我们增加了一些数学建模的相关内容，选择的实验题目也多为全国大学生数学建模竞赛或者美国大学生数学建模竞赛中的经典题目。

2.在教学方法上加入数学建模手段

我们不仅将数学建模思想融入数值分析教学内容中， 还将借助于丰富的教学手段应用到教学过程之中。在教学中我们将传统的黑板教学模式与多媒体课件教学结合使用，使学生更易于理解和掌握所学知识并激发学生的学习主观能动性。我们选用的课件是我们几位教学经验丰富的老师在多年的教学过程中反复修改制作，并获得过校级多媒体课件大赛三等奖的作品。数学软件的大量应用是我们数值分析教学过程中的又一亮点，随着科学技术的发展，各种数学软件尤其是Mathematica、 Matlab等大量地应用在科学计算的各个领域。我们通过解决问题时数学软件的介绍及应用，让同学们掌握更多更有效地解决实际问题的手段，提高他们的科研能力和创新能力。

3.在考试方式上增加建模题目考查

我们知道，好的考试方式能够推进素质教育，而差的考试方式必然导致学生成为应试考试的。我们将考试由传统的期末一张卷变革为以下几个部分的综合考查：（1）平时作业；（2）专题论文；（3）上机实验报告；（4）期末测试。四种考查方式贯穿教学过程，按适当权重计入最终成绩。

四、结语

近年来，我们在数值分析教学中大量渗透数学建模思想，积极进行数学建模实践。通过数值分析算法的训练和数学建模经典题目的研究，探索数值方法实际应用的源泉，体现数值方法的现实价值和实际意义。我们的学生在近几年的全国大学生数学建模竞赛以及美国大学生数学建模竞赛中屡创佳绩，既激发了学生对数学的学习欲望，同时也促进了数学课程教学质量的显著提高。

参考文献

[1]张铁，阎家斌.数值分析.北京：冶金工业出版社，2006.

[2]冯男，史大涛.工科研究生数值分析课程教学改革的探索与实践，中国校外教育，2012.endprint