镜像问题新的教学方法研究

谢宝昌

(上海交通大学 电子信息与电气工程学院， 上海 200240)

镜像问题新的教学方法研究

谢宝昌

(上海交通大学 电子信息与电气工程学院， 上海 200240)

本文利用静态场基本特性提出镜像问题新的教学方法:空间场量利用场源积分获得，未知场源根据交界面衔接条件确定，避免了镜像场源位置的假设和矢量场唯一性定理的验证，教学过程突出了场量的物理特性，更加直观，便于学生理解。

静态场; 镜像; 场源; 边界条件

0 引言

镜像问题是“电磁场”课程的重要教学内容之一，它是利用矢量场唯一性定理在求解区域外部设置镜像场源[1,2]，根据交界面衔接条件确定镜像场源分布，学生往往对“假设场源具有镜像分布特征”难以理解。

本文针对静态场镜像问题提出新的教学方法，通过分析空间场源分布和场量的特性，直接对场源空间积分求解场量，并利用交界面衔接条件确定交界面上的场源分布，从而确定空间场分布的积分表达式。

1 静电场平面导体镜像问题

设接地导体位于z=0平面，上半空间z>0有电荷，电荷体密度为ρ，如图1(a)所示。

(a) (b) (c)图1 典型平面镜像问题

先分析上半空间分布电荷密度ρ产生的电场强度

(1)

其中，r=axx+ayy+azz和s=axx0+ayy0+azz0(z0>0)分别为场点和源点空间矢径，dV为场源体元。

式(1)表明上半空间电荷密度ρ产生的电场充满整个空间。由于平面导体接地，导体静电屏蔽使得下半空间合成电场强度为零。于是，平面导体表面感应电荷在下半空间产生的电场E2n为

(2)

再分析导体表面感应电荷产生的电场强度，设感应电荷面密度为ρs，则产生的空间电场强度为

(3)

其中，si为导体感应电荷源空间矢径，dS为其面元。

考虑关于平面对称的两个点：r=axx+ayy±azz，由式(3)可知，平面分布电荷产生的电场强度具有空间对称特性，即两个对称点处，垂直平面的z分量大小相同但方向相反，平行平面的分量大小和方向相同。

根据对称性，由式(2)得到平面感应电荷在上半空间产生的电场强度E2p用符号函数sgn(·)表示为

(4)

其中，矢量R=r-s+(az·s)[1+sgn(z)]az。

式(4)表明平面感应电荷在上半空间产生的电场相当于位于对称位置密度相同但极性相反分布的镜像电荷产生的电场。将式(2)和(4)合并得到平面感应电荷产生的空间电场强度分布

(5)

最后，空间电场强度由式(1)和式(5)叠加而成。

(6)

由式(6)不难发现，下半空间z<0的电场强度为零，上半空间z>0的电场强度除了电荷密度ρ外，相当于下半空间镜像位置有相反的电荷密度-ρ的贡献。

比较式(3)和式(5)得到感应电荷面密度分布为

(7)

式(7)也可由电位移矢量的交界面条件确定。

2 静电场平面介质镜像问题

如图1(b)所示，z=0分界面两侧电介质的介电常数分别为ε1和ε2，上半空间z>0自由电荷分布体密度为ρ，空间电场强度是由电荷产生的，电介质中存在自由电荷与极化电荷，上半空间总的体电荷密度ρt为

ρt(r)=ε0▽·E=ε0ρ(r)/ε1

(8)

下半空间极化体电荷密度为零，在交界面上存在极化电荷，设极化电荷面密度为ρbs，则整个空间的电场强度分布用电荷密度空间体积分表示：

(9)

式(9)表明在交界面两侧电场强度的切向分量连续，体积分项的电场强度法向分量连续，面积分项电场强度法向分量对称，即±azρbs/2ε0。根据交界面衔接条件，电位移矢量D=εE的法向分量也必须连续，由此确定交界面上r处的极化电荷面密度ρbs，即

(10)

将式(8)和式(10)代入式(9)得到整个空间的电场强度分布为

(11)

其中，k=(ε1-ε2)/(ε1+ε2)，si为平面极化源矢径。

因az·s=az·(s-si)，式(11)面积分项可简化为

(12)

不难发现，在上半空间的电场强度，相当于整个空间介质参数为ε1，除了上半空间电荷体密度ρ外，还需要在下半空间镜像位置填充自由电荷体密度为k对上半空间电场强度的贡献。在下半空间的电场强度，相当于整个空间填充介质参数为ε2，并在原来体电荷分布空间填充自由电荷体密度为(1+k)ρε2/ε1。

3 静磁场平面介质镜像问题

如图1(c)所示，z=0分界面两侧磁导率分别为μ1和μ2，上半空间z>0传导电流分布体密度为J，空间磁感应强度是由电流产生的，磁介质中存在传导电流与磁化电流，上半空间总的体电流密度Jt为

Jt(r)=▽×B/μ0=μ1J(r)/μ0

(13)

下半空间体电流密度为零，在交界面上存在磁化面电流，且只有切向分量，设磁化电流面密度为Jms，则空间磁感应强度分布为

(14)

式(14)表明在交界面两侧磁感应强度的法向分量连续，磁感应强度体积分项切向分量连续，面积分项切向分量反对称，即±μ0Jms×az/2。根据交界面衔接条件，磁场强度H=B/μ的切向分量也必须连续，由此确定交界面上r处的磁化电流面密度Jms，即

(15)

其中，km=(μ1-μ2)/(μ1+μ2)。

将式(13)和式(15)代入式(14)得到整个空间的磁感应强度分布

(16)

类似式(12)，式(16)面积分项可简化为

(17)

式(17)中Jz和Jp分别为垂直和平行于交界面的传导电流密度J的两个分量。不难发现，在上半空间的磁感应强度相当于整个空间介质参数为μ1，除了上半空间电流体密度J外，还需要在下半空间镜像位置填充传导电流体密度为km(Jz-Jp)对上半空间磁感应强度的贡献，这里根据上、下半空间磁导率大小不同，其中一个电流密度分量镜像后需要改变方向。在下半空间的磁感应强度，相当于整个空间填充介质参数为μ2，并在原来传导电流分布空间填充传导电流体密度为(1-km)Jμ1/μ2。

当电流密度J没有垂直交界面的z分量时，式(15)磁化电流面密度Jms简化为

(18)

由此可见，静态电磁场平面镜像问题有相似之处。

4 静电场圆球面镜像问题

静电场是无旋场，可以采用电位的负梯度计算电场强度，利用反演变换可以将静电场圆球面镜像问题转换为平面镜像问题[3,4]。如图2(a)所示，导体圆球面电位为U0，球面外体电荷密度为ρ，球面上面电荷密度为ρs。由于反演变换只有零电位面保持为零电位面，其他等位面经过反演变换后将不再是等位面，因此需要重新选择电位参考点，使得圆球面电位为零，如图2(b)所示。这时需要考虑无穷远处的电荷经反演变换后出现在变换中心O点处，如图2(c)所示。

(a) (b) (c)图2 圆球面镜像问题

设导体圆球面半径为b，反演变换半径为a，且a>2b，反演变换后圆球面变换为平面且离O点的距离d=a2/2b，点电荷为q0=-4πεaU0，空间体电荷密度为ρi，面电荷密度为ρsi，以O点为原点的圆球坐标系中变换关系为

ri=a2r/r2

(19a)

ρi(r)=(a/r)5ρ(a2r/r2)

(19b)

ρsi(r)=(a/r)3ρs(a2r/r2)

(19c)

变换后的空间电位分布

(20)

其中，面电荷分布ρsi由已知场源q0和ρi以及前面讨论的静电场导体平面镜像问题的方法确定。

于是，图2(b)空间的电位分布由反演变换得到

φo(r)=(a/r)φi(a2r/r2)

(21)

图2(a)空间电位分布只要在式(21)右边增加常数项U0即可。

5 结语

本文提出了静态场镜像问题新的教学方法，整个空间场量利用场源空间积分获得，交界面上的未知场源分布利用交界面衔接条件确定，交界面上场源产生的场量相当于镜像位置场源的贡献，避免了镜像场源位置的假设和矢量场唯一性定理的验证。教学过程突出了场量的物理特性，更加直观也便于学生理解。

[1] 周希朗. 电磁场[M]. 北京：电子工业出版社，2008年

[2] 谢处方，饶克谨. 电磁场与电磁波[M]. 北京：高等教育出版社，第4版，2006年

[3] 谢宝昌. 静电场导体球面与平面镜像关系研究[J]. 南京：电气电子教学学报，第37卷第6期，2015年

[4] 谢宝昌. 电磁能量[M]. 北京：机械工业出版社，2016年

Research on Novel Teaching Method of Mirror Image Problems

XIE Bao-chang

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240,China)

A novel teaching method is proposed by using characteristics of the static field in this paper. Field vector is obtained by integral of spatial sources while the unknown source on the interface is determined by boundary conditions. Therefore, postulation of mirror image source position and theoretical verification of uniqueness of vector field are avoided. The teaching process is more intuitive and outstanding the field characteristics which are helpful to make students understand.

static electromagnetic field; mirror image; field source; boundary condition

2016-06-27;

2017-01- 04

谢宝昌(1965-)，男，博士，副教授，主要从事电机与电器的教学与研究工作，E-mail：bcxie@sjtu.edu.cn

TM153

A

1008-0686(2017)03-0040-04