初中数学数形结合思想探讨

彭海勇

摘 要：数形结合的思想在解答初中数学题目上有着非常重要的地位，初中数学中有些知识点的概念是非常抽象的，光靠传统的思维方式很难让学生很好的进行理解，因此，在初中数学的教学过程中，有必要将数形结合的思想教给学生。本文将通过几个例题对数形结合的思想进行探讨。

关键词：初中数学；数形结合；举例

数形结合思想在中学数学教学与学习中的应用非常广泛，在函数、不等式、几何等题目中运用数学结合思想方法可以节省大量计算时间，初一、初二通过数轴给学生以感性认识，了解数形结合的一些思想和方法，初三年级通过直角坐标系的建立让学生初步掌握数形结合的思想方法.数形结合思想在中考数学中有着举足轻重的作用。下面我就数形结合思想在教学中的应用谈谈看法。

一﹑由数想形

（一）借助数轴引导学生合理理解数学概念法则。

数轴是重要的数学学习工具，借助其可直观表示较多数学问题，令数形有机结合，因此在初中数学教学中我们应合理应用数轴帮助学生整理绝对值的几何意义，掌握数轴上任意两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值.

理解：|x-1|，|x+2|分别表示数轴上表示x与1、x与-2之间的距离，则本题就可借助数轴找x到1和-2的距离和等于3的点在-2和1之间，所以答案为-2≤x≤1.

由上题可知，x到1和-2的距离差等于3，因此本题要找的是x到1和-2的距离差等于3，借助数轴发现x只能在-2的左边，或1的右边，所以答案为x≤-2或x≥1.

（二）借助数轴引导学生分析不等式中部分解求范围问题.

解不等式得：x≤m.通过画数轴可知正整数解为1、2、3，m的大致范围在3和4之间，再讨论m=3和m=4的情况，当m=3时符合题意，当m=4时，不等式有4个正整数解为1、2、3、4.所以本题的答案为3≤m<4.

（三）借助抛物线图像给定自变量取值范围求因变量范围.

分析：由自变量范围可知二次函数有意义图像在ACB这段曲线上，经过图像的最高点，所以函数在自变量范围内有最大值.当x=-2时，函数最小值为-4；当x=1时，函数最大值为5，所以y的取值范围为-4

（四）由数结构想到構造直角三角形利用勾股定理求最值.

例4：已知：a，b均为正数，a+b=2，求+的最小值.

解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，BE=b，过A作AC⊥AB且AC=2，过B作BD⊥AB且AB=1，则由勾股定理得+，即CE+DE.本题就转化为在AB上找一点使CE+DE最小，作C，G关于AB对称，连接DG交AB于E，此时G，D，E三点共线.过G作GF⊥DB交DB延长线于F，最小值即为DG.

DG===.

所以+的最小值为.

从上文已经知道，以形助数是根据代数问题所蕴含的几何意义，将代数问题转化成几何问题并加以解决，使得代数问题变几何化，借助于几何图形直观地得到问题的结论，使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、由形知数

（一）初中数学教学中应利用数形结合，引导学生用代数方式有效解决识图问题.

例5：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：cm）与点P移动的时间分析：在教学时让学生结合图像和图形分析出点P在线段AB上运动时S的面积在不断增大，对应自变量0≤t≤2在函数图像上，当自变量t=2时点P恰好与B点重合，此时线段AB=2cm，S的面积为3cm，过B作BE⊥AD可求得BE=cm，AE=1cm，AD=6cm，点P在线段BC上运动时面积不变，对应自变量2≤t≤4根据函数图像可得BC=2，点P在CD上运动时面积不断减小对应函数图像剩下的部分.则要求点P从开始移动到停止移动一共用了多少秒，只需求出CD得长.转化为梯形中已知三边求第四边问题，过C作CF⊥AD可得矩形CFEB，CF=BE=cm，CD=2cm，从而求出路程为（2+4）cm，时间为（2+4）s.

（二）用代数的方法有效地解决几何图形中的翻折问题.

例6：如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=.点T在线段AO上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中阴影部分）的面积为S.

（1）求∠OAB的度数；

（2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

（4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.

（1）过点B作BE⊥OA，垂足为E，可得AE=OA-OE=1，tanA=，

∴∠OAB=60°.

（2）当点A′在线段AB上时，

∵∠OAB=60°，TA=TA′，

∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥AB，TA=5-t，

∴S=S=·（5-t）=（5-t）（3≤t<5）.

（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，因△A′TA是等边三角形，所以2（4）S存在最大值.

①当3≤t<5时，S=（5-t）（3≤t<5），在对称轴t=5的左边，S的值随t的增大而减小，当t=3时，S的最大值是；

②当1≤t<3时，重叠部分的面积S=（5-t）-（3-t）=-（t-1）+

当t=1时，S的最大值为；

③当0

∵四边形ETAB是等腰梯形，∴EF=ET=AB=2，S=×2×=.

综上所述，S有最大值为，此时0

通过几何图形的变化，用函数表达求最值是考试中常见的问题.因此在教学中应该引导学生画图，结合图形用函数描述几何图形的变化.数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路非常清晰，步骤非常明了.另外，还可以激发学生学习数学的兴趣.

在初中数学教学中应渗透数形结合思想方法，培养学生数学思维能力，使其养成良好的数学思维习惯.数形结合思想贯穿初中数学教学的始终，“以形助数”“以数辅形”，有利于发展学生思维能力，培养学生的数形结合意识，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]马秀琴，初中数学数形结合思想的研究和应用[J]，科学大众，2009年7期.

[2]曾铁梅，初中数学数形结合思想的探讨[J]，科学咨询，2015年15期.