初中数学实验须建立整体认知

秦爱东

[摘 要] 在数学实验被提出之后，初中数学教师对其理解呈现出一定程度上的片面性，如认为数学实验应当侧重于“做”等，这凸显出数学实验整体认知建立的必要性. 从实验顺序与功能角度建立数学实验的基本理解，并在此基础上认识到数学实验应当是“思”与“做”相结合的产物，尤其是建立数学实验服务于学生数学知识建构的认识，是整体认知的基本含义.

[关键词] 初中数学；数学实验；整体认知

作为一种新的促进数学知识构建的方式，数学实验正成为当前初中数学课堂上的一道亮丽风景线. 既然称之为“实验”，那肯定是具有操作性的，既然是“数学实验”，那一定是具有数学特征的. 从当前实际教学来看，目前数学课堂上的实验更多的还是基于对自然学科实验的理解，強调在“做”的过程中让学生生成对数学知识的理解，这样的思路是对的，但实际在学生做的时候，往往由于教学理念的偏差，如试图通过数学实验来让课堂气氛活跃一些，或者让观摩听课者感受课堂所谓的“灵动性”，导致数学实验并没有发挥其应有的功能. 从最本质的角度讲，这说明数学实验的整体认知在教师的认知当中是模糊的. 也正是基于对这一问题的思考，笔者尝试从一个一线教师的角度来探究初中数学实验的整体认知. 考虑到一线教师对教学方式实用性的追求，笔者更倾向于从“操作性”角度切入对本问题的思考.

从实验顺序与功能的角度建构数学实验理解

在2011年版《义务教育数学课程标准》提出数学实验是学生数学学习的重要方式之一之后，对数学实验的理解与定义虽然形式有所不同，但实质基本是趋同的，这样的共识为数学实验的运用奠定了基础.

而从教学实际来看，简单的“做”尽管可以让学生增强兴趣，让课堂气氛热闹起来，但这样实验对学生建构数学知识的作用有时并不像教师期待的那样明显，甚至还会出现“劳而无功”的现象. 究其原因，正在于教师对数学实验的肤浅理解，造成了学生在实验的过程当中其实并无清晰的思维主线，这显然并非实验教学的初衷. 因此，必须从实验顺序与功能的角度建构起对数学实验的理解.

实验一定是有顺序的，这个顺序是思维的产物，在具体的实验过程中就变成了实验的步骤. 步骤是否顺当，反映了实验顺序是否合理，进而反映了学生的数学思维是否清晰，其直接决定了数学实验能否有效地催生数学知识的建构. 而教师以及学生对实验功能的理解与定位，则决定了实验在课堂上是作为目的而存在，还是作为手段而存在. 显然，我们是倾向于后者的，因为数学实验本身只是促进数学知识形成的一种手段.

数学实验的顺序大抵应当是这样的：首先，明确实验方向；其次，细化实验步骤，进行变量控制；第三，完成实验；第四，分析实验现象与结果，得出相关的数学结论；第五，评估实验. 下面以探究“圆周角与圆心角的关系”为例，来解释笔者所理解的实验步骤与相应的功能.

“明确实验方向”很重要，其最大功能就是保持学生在实验中注意力的集中，而这恰恰是实际教学中容易出现的问题——注意力分散或迁移，只有锁定了“探究一个圆中圆周角与圆心角的关系”这一目的，才能保证后续的实验是围绕这个目的而进行的. “细化实验步骤”是保证实验可“做”的关键. 在探究圆周角与圆心角关系的过程中，第一要让学生知道如何得到圆周角与对应的圆心角，第二要让学生知道如何比较两角的大小，第三要知道这种比较是要得到定量而定性的结果的. 于是学生最容易想到的就是利用一个纸剪出的圆，然后确定一个圆弧，进而就可以确定相应的圆周角与圆心角（用剪刀剪下来）. 能不能想到用“对折”来比较，基本上取决于学生在实验过程中的“顿悟”水平，只要有一个学生想到，通常就会有其他学生立即跟上，这是体现数学实验中“数学思维”含量的关键过程，通常需要花时间精心设计；“完成实验”不必赘述，就是思维驱动之下具体的“做”的过程，是将思维动作化的过程，教师需要重点关注的是学生操作的准确性，以判断学生数学思维的合理性. 如有学生用两个等大的圆分别剪出一个圆周角与一个圆心角，而有的学生则在同一个圆中得到了圆心角与圆周角，这就是数学思维过程的不同，教师要注意甄别与判断. “分析实验现象与结果”强调的是学生的实验结果与预期之间的吻合度，学生在准确剪出圆周角与圆心角并通过折叠的方式对比之后，就可以发现二倍关系，这是吻合的情况. 如果由于剪角不准确或比较方法不当，则无法发现二倍关系，这就是不吻合的情况. “评估实验”是数学实验中很重要的一步，这是在问题得到解决之后，学生回过头来将实验过程进一步清晰化、简洁化的过程，是学生思维前行的过程. 实际上就有基础较好的学生提出，“要证明圆心角是圆周角的二倍，完全可以不用实验而直接证明（其是指逻辑推理）”，教师自然是需要给予肯定的，但对于抽象思维能力不强的学生而言，实验仍是必要的.

在具体数学实验中生成数学实验的整体认知

经由上述分析，可以发现数学实验在教师的思维当中应当是清晰的，在学生具体“做”的过程中，思维也应当是清晰的，而这就意味着数学实验本身需要一个整体认知的存在，无论是对于教师还是对于学生而言——这里所说的整体认知不是指学术角度的数学实验的整体认知，而是师生对数学实验的认知. 说得再直接一点，就是师生必须知道：数学实验不仅仅是“做”出来的，而应当是“思”后“做”出来的. 数学思维要驱动数学实验的设计，没有数学思维的存在，那数学实验很有可能只是对照步骤的机械操作，那意味着学生很可能只是一个输入实验步骤指令的机器人，这显然不是数学实验作为学习方式的初衷. 笔者以为，这是对教学实践中师生认知的必要界定.

需要指出的是，数学实验的整体认知并不是一个固定的框架，说学生非要在这个框架内完成实验. 数学实验作为数学思维的产物，或许更需要现象学的理论来解释，那就是针对不同的数学问题，需要有不同的整体认知. 如上探究圆周角与圆心角的关系，遵循的是数学实验的一般步骤，而在另一些数学实验中，这个架构可能会有所不同.

如有教师在“二次函数与一元二次方程”的教学中进行了这样的设计：首先，利用数学实验来促进学生对二次函数图像与一元二次方程的解的关系的理解，即让学生任意列出一个一元二次方程，让他们通过自己的方法判定其根，然后讨论交流方程根的不同情况. 在此基础上，教师跟学生一起利用几何画板（基于问题解决的数学实验工具）生成二次函数的图像，以归纳二次函数与一元二次方程根的关系. 接着再进一步，让学生在自己的草稿纸上画图判断另一个一元二次方程根的可能情形，最后让学生不准画、只准想二次函数图像，以直接判断对应的一元二次方程根的情况. 在这样的过程中，存在于第二、三两步以函数图像为主要呈现形式的数学实验，起着促进学生构建二次函数图像与一元二次方程根的关系的作用，在这个作用发挥的过程中，教师准确地界定了数学实验在问题解决过程中的作用，并确定了发挥这种作用的环节. 由于四个层次步步递进，学生做到最后一步时，也显然意识到了函数图像所起的作用，一旦学生的思路清晰了，那学生的认知就提升了：二次函数图像与直角坐标系中x轴的交点，与对应的一元二次方程的根的情形存在着对应关系，这种关系可以将两个知识点很好地联系起来；而从学习方式上来看，从问题的提出，到其后的“看图像”“画图像”，再到最后的“想图像”，这就是一个超越了简单的“做”，将数学思维与数学实验操作联系在一起的整体认知.

数学实验的整体认知为教师提供宏观的认识

在探究的过程中，笔者深切地感觉到，对数学实验建立整体认知是极为重要的，其可以让教师超越简单模仿或机械操作的层面，从而将数学实验以有效的方式嵌入到学生的学习过程中，使之真正成为推动学生学习的动力. 这种力量的发挥，不仅是浅层的兴趣，更是直接面向数学知识构建过程的，因而是有效的.

而对于教师而言，有了对数学实验的整体认知，实际上就是让自己站在更高的高度审视数学实验的存在及其价值，笔者以为，这种宏观认识的形成，对于一线数学教师来说，是必需的. 这个时候我们再回头来看数学实验的定义：学习者为了构建某个数学知识、检验某个数学猜想、解决某个数学问题，在数学思维的作用之下，利用一定的物质手段进行的数学探究活动. 可以发现，我们对数学实验的理解已经超越了“做”，而是追求“思”后“做”的有效设计，这在笔者看来是整体认知建立之后对数学实验的进一步理解，同時也是数学实验能够发挥作用的关键.

最后再次强调，研究视角下的数学实验常具有现象学意义，未必要强行概括某个规律.