对2126问题的推广

安徽省南陵县华林中学(241304) 张正义

对2126问题的推广

安徽省南陵县华林中学(241304) 张正义

《数学通报》2013年第6期给出了如下问题:

问题2126已知四边形ABCD是圆I的外切四边形,则下列恒等式成立:

图1

众所周知,圆是椭圆的一种特殊情形,而椭圆是将圆通过伸缩变换而得到的,圆有这个性质,那么椭圆是否也有与这个性质类似的结论呢?如果有,那么又在什么条件下成立呢?经过探究,得到如下推广.

推广 如图1,已知四边形A1A2A3A4是椭圆的外切四边形,切点为Ti(acosθi,bsinθi),i=1,2,3,4,切线AiAj的斜率为Kij,i,j=1,2,3,4,

i/=j.若 0≤ θ1＜ θ2＜ θ3＜ θ4＜ 2π ,且＜ θ2− θ1＜则下列恒等式成立:

证明 如图2,因为切点为Ti(acosθi,bsinθi),所以椭圆的切线方程为解方程组

图2

同理可得

为了书写的方便,不妨设

i = 1,2,3,4,规 定 θ5= θ1,于 是 A1(am1,bn1),A2(am2,bn2),A3(am3,bn3),A4(am4,bn4),则K12=

令 ∠T4OT1= α1,∠T1OT2= α2,∠T2OT3= α3,∠T3OT4=α4,其中 α1+ α2+ α3+ α4=2π ,则 θ3− θ2= α3,θ4−θ1= α2+α3+α4=2π−α1,θ2−θ1= α2,θ4−θ3= α4,θ3− θ1= α1+α2,θ4−θ2= α3+α4,从而上式分子为

而分母为

所以

同理可得

故

当椭圆的外切四边形A1A2A3A4为矩形时,如图2,易知切线 A4A1、A2A3的斜率不存在,即 λ41= λ23=1,|A4A1|=|A2A3|=2b,则 λ41|A4A1|= λ23|A2A3|=2b;切线A1A2、A3A4的斜率为0,即 λ12= λ34=,|A1A2|=|A3A4|=2a,则 λ12|A1A2|= λ34|A3A4|=2b;线段 OA1,OA2的斜率分别为即 λ= λ=01022b2,所以

故

当椭圆变换为圆时,如图3,易知a=b=r,λ12=λ23=λ34= λ41=1,λ01= λ02= λ03= λ04,则

即是2126问题,所以圆是椭圆的特殊情形.

图3

命题人给出了一种平面几何证法,由此可知,也可以用解析几何证明,希有兴趣的读者,可参照上述方法证明,限于篇幅,证明略去.