双重优化的宽带聚焦波束形成算法研究

毕杨, 王英民, 王奇

(1.西安航空学院 电子工程学院, 陕西 西安 710077; 2.西北工业大学 航海学院，陕西 西安 710072)

双重优化的宽带聚焦波束形成算法研究

毕杨1,2, 王英民2, 王奇2

(1.西安航空学院 电子工程学院, 陕西 西安 710077; 2.西北工业大学 航海学院，陕西 西安 710072)

在相干信号子空间法中确定聚焦矩阵时，对初始方向估计的偏差和聚焦频率选择的偏差都会影响最终的聚焦效果，甚至会使算法失效。针对这个缺陷，提出了一种双重优化的宽带聚焦波束形成算法。该算法利用稳健Capon波束形成算法对聚焦矩阵进行修正，使宽带信号通过修正的聚焦矩阵全部聚焦在最佳聚焦频率上，再对窄带数据利用2阶锥方法实现波束形成。计算机仿真以及湖试实验结果表明，该算法在保证波束恒定的前提下，在各个频率点都具有更低的旁瓣级。

声学； 最佳聚焦矩阵； 最佳聚焦频率； RCB算法； 2阶锥规划； 宽带波束形成

0 引言

波束形成可以使阵列信号形成基阵接收系统的方向性，提高信噪比；通过空域滤波，抑制空间干扰；进行多目标分辨，实现目标方位估计；在目标定位、距离、深度估计方面有很大的作用；还为目标识别提供信息[1]。窄带信号中包含的关于目标信息有限，因此选用宽带信号进行参量估计、目标检测和特征提取。宽带信号的波束形成算法研究非常有意义。对于宽带信号的波束形成处理，通常有两种方法：非相干信号子空间法(ISM)，和相干信号子空间法(CSM)。在CSM中，通过聚焦矩阵使宽带信号划分的不同频率的窄带信号都映射到同一个参考频率上，再利用窄带波束形成算法实现宽带聚集波束形成[2-3]。与ISM相比，CSM中的聚焦操作充分地综合了宽带信息，使聚焦后的信号协方差矩阵保持满秩，因此，宽带波束形成的问题得到有效解决。该算法运算量小、估计精度高，能够有效地克服信号抵消、扩展检测及分辨门限，能够处理多途环境问题等[4-6]。聚焦矩阵的构造是CSM的核心，聚焦矩阵的构造方法对CSM的估计性能起着决定性作用。确定聚焦矩阵时，有两个因素决定最终的聚焦效果。一个是对初始方向的估计，另一个是选择的聚焦频率。对初始方向估计的偏差和聚焦频率选择的偏差都会影响最终的聚焦效果，甚至会使算法失效。对于这个缺陷，文献[7]中利用稳健Capon波束形成(RCB)算法对聚焦矩阵进行校正，改善了预估计偏差对聚焦效果的影响，但尚未考虑聚焦频率对聚焦效果的影响[7-9]。文献[10]中利用2阶锥规划方法来补偿聚焦矩阵的误差，而在该算法中也没有考虑到最佳聚焦频率的确定问题。本文考虑到了最佳聚焦频率的确定问题，将RCB算法的优点和2阶锥规划方法的优点结合在一起，提出了一种双重优化的宽带聚焦波束形成算法。该算法与文献[7，10]相比，其波束形成效果更优。

1 信号模型

设s(t)为入射信号，第m个阵元接收到的宽带信号为

xm(t)=s(t-τm)+nm(t),
m=1,2,…,M,

(1)

式中：τm为第m个阵元处接收的信号相对于s(t)的时延；nm(t)为第m个阵元叠加的加性噪声。把每个阵元的输出分成K个不重叠的数据块，每块含有L个采样点。然后对每块数据进行L点的快速傅里叶变换，就可以得到L个频率子带上的数据，每个频率子带上含有K个数据快拍。第l个频率子带上的频域数据用矩阵形式表示为

Xk(fl)=Al(φ,θ)s(fl)+nk(fl),
k=1,…,K,l=1,…,L,

(2)

式中：fl表示第l个频率子带；Al(φ,θ)表示信号第l个频率子带上对应方向(φ,θ)的导向矢量，φ是俯仰角，θ是方位角。二维空间的波束形成是三维空间波束形成的特例，具有代表性，本文仅在二维平面内进行宽带聚焦波束形成，相应的Al(φ,θ)简写为A(fl,θ).

2 宽带聚焦波束形成算法

聚焦变换过程中聚焦矩阵应使(3)式[10]成立：

T(fj)A(fj,θ)=A(f0,θ),j=1,2,…，J,

(3)

式中：fj为宽带范围内任意窄带频率；f0为聚焦频率；A(fj,θ)为第j个频率子带上的导向矢量；T(fj)为聚焦矩阵。

本文中聚焦矩阵T(fj)选择文献[11]中提到的旋转信号子空间(RSS)法。

最佳聚焦矩阵可按(4)式[10]确定：

(4)

2.1 最佳聚焦频率的确定

由(4)式可知，由(5)式可确定拟合误差[11]为

(5)

对于任意阵列，其方向矩阵A(fj,θ)满足：

(6)

式中：i指信号的个数，i=1,2,…,P. 将(6)式代入(5)式，可得

(7)

(8)

当F取最大值时，聚焦拟合误差可取最小值。对于各种阵列的方向矩阵，只要信号的个数P小于阵元个数M，(9)式均成立：

(9)

令

(10)

则

(11)

通过(11)式可确定最佳聚焦频率f0，其算法的时间复杂度为O(n3)。

2.2 双重优化的宽带聚焦波束形成算法原理

频域样本值估计出的相关矩阵为

(12)

式中：K指每个频率子带上含有的数据快拍个数。根据给定的宽带信号的频率范围，按照2.1节中最佳聚焦频率的确定方法确定出最佳的聚焦频率f0，基于RCB算法的波束形成就变成

(13)

(14)

式中:κ由牛顿迭代法确定[12-13]；R为协方差矩阵。同理可以得到其他参考频率fl上的校正导向矢量l. 用矫正过的0和l可以确定矫正的聚焦矩阵为

l(φ,θ)=(fl)H(fl).

(15)

通过聚焦矩阵预处理后各子带的数据都聚焦在最佳聚焦频率f0上。

第l个频率子带上的聚焦数据[14]为

(16)

稳健的低旁瓣窄带波束形成可以保证波束对观察方向的响应为1的条件下，使得旁瓣级最小,同时考虑波束形成的稳健性，对波束形成的加权向量进行约束。即

(17)

式中：θ0为观察方向；Δ的取值是在波束主瓣的左右两侧与最高旁瓣相等的两角度宽度的二分之一；p(θ)为波束对观察方向的响应；W为波束形成的加权向量；σ为权向量范数的约束上限。引入非负实变量y1，令θs(s=1,2,…,S)表示旁瓣部分离散化的S个方向，(17)式可写成

(18)

给定Δ值，通过上式可求出y，即非负实变量y1的最小值，得到优化波束加权向量W.

各个子带的加权向量Wl都满足：

Wl=W0，

(19)

则f0和fl频率上的基阵输出波束图p0(φ,θ)与pl(φ,θ)分别为

(20)

(21)

使得p0(φ,θ)=pl(φ,θ)，即

(22)

可以实现各窄带波束形成的波束宽度都恒定。

3 仿真实验与性能分析

假定入射信号是频率范围为[750 Hz，1 500 Hz]的宽带信号，该宽带信号带宽为750 Hz，中心频率为1 125 Hz. 仿真阵列由24个各向同性阵元组成的均匀分布圆形阵，其半径为0.5 m，对阵元接收的宽带信号利用宽带聚焦的波束形成算法，在0°方向实现宽带信号波束形成。

3.1 仿真1：最佳聚焦频率有效性的验证

为了能够体现最佳聚焦频率在宽带聚焦波束形成中的有效性，在这里进行了5组仿真实验，将宽带信号划分为21个窄带信号，通过RSS算法使21个子带信号分别聚焦在750 Hz、850 Hz、1 350 Hz、1 500 Hz以及最佳聚焦频率879 Hz上，再利用常规波束形成算法。得到了在不同聚焦频率上的波束图，分别如图1～图5所示。图1(a)是879 Hz的窄带信号的常规波束形成图，图1(b)是频率范围[750 Hz，1 500 Hz]的宽带信号通过RSS算法聚焦在最佳聚焦频率879 Hz的宽带聚焦波束叠加图。图2～图5分别是聚焦频率为750 Hz、850 Hz、1 350 Hz和1 500 Hz的仿真实验结果。

图1 最佳聚焦频率879 Hz上的仿真实验对比图Fig.1 Experimental comparison of the optimal focusing frequencies at 879 Hz

图2 聚焦频率在750 Hz上的仿真实验对比图Fig.2 Experimental comparison of focusing frequencies at 750 Hz

图3 聚焦频率在850 Hz上的仿真实验对比图Fig.3 Experimental comparison of focusing frequencies at 850 Hz

图4 聚焦频率在1 350 Hz上的仿真实验对比图Fig.4 Experimental comparison of focusing frequencies at 1 350 Hz

图5 聚焦频率在1 500 Hz上的仿真实验对比图Fig.5 Experimental comparison of focusing frequencies at 1 500 Hz

从波束图的主瓣宽度、旁瓣级的角度对5种聚焦频率下宽带波束形成的效果进行了对比分析。从以上的对比结果及表1、表2、表3的数据分析可以看出，在最佳聚焦频率聚焦的宽带波束与其对应的窄带波束的一致性较好，图1(b)中各个频率上的主瓣宽度与其对应的窄带波束相差5.73°，旁瓣级接近图1(a)中的窄带信号旁瓣级，只相差0.75 dB. 在确定聚焦频率点时，当选择的聚焦频率小于879 Hz的仿真结果如图2和图3所示，聚焦前后的宽带波束与窄带波束的一致性较差，宽带聚焦波束的主瓣宽度可以保持较好的一致性，主瓣宽度变化较小，但是旁瓣级变化较大，达到了3.83 dB. 当选择的聚焦频率大于879 Hz的仿真结果如图4和图5所示，聚焦前后的宽带波束与窄带波束的一致性较差，宽带聚焦波束的主瓣宽度也可以保持较好的一致性，但是主瓣宽度变化较大，达到了19.72°，旁瓣级变化也较大。因此，通过聚焦变换在最佳聚焦频率上的宽带聚焦波束图的效果是最优的。从而证明了最佳聚焦频率的有效性。

表1 窄带信号波束形成参数对比

表2 宽带信号波束形成参数对比

表3 窄带信号与宽带信号波束形成参数变化对比

3.2 仿真2：基于RCB优化的宽带聚焦波束形成算法

为了验证RCB算法对聚焦矩阵的修正作用，使21个窄带信号利用RCB算法校正的最佳聚焦矩阵(fj)聚焦在最佳聚焦频率f0=879 Hz上，将宽带问题转换为窄带问题后，利用常规波束形成算法完成宽带聚焦波束形成。该算法的时间复杂度为O(n3)。

由图6可以看出，该算法得到的宽带聚焦波束其主瓣为76.43°，旁瓣级为7.4 dB，与图1(b)中未通过RCB校正的宽带聚焦波束对比，可以看出其波束形成效果优于校正前的波束图，其宽带波束与其对应的窄带波束保持了较好的一致性，主瓣宽度减小了0.71°，旁瓣级下降了0.15 dB. 从而证明了RCB算法在宽带聚焦波束形成中有效地修正了聚焦矩阵。

图6 RCB校正后聚焦在879 Hz宽带波束图Fig.6 Broadband beam pattern at 879 Hz after RCB correction

3.3 仿真3：基于最佳聚焦频率的2阶锥宽带聚焦波束形成算法

将宽带信号划分为21个窄带信号，设每个窄带的中心频率为fj，j=1,2，…,21. 利用最佳聚焦频率的确定方法确定出该宽带信号的最佳聚焦频率为f0=879 Hz；利用RSS聚焦算法使j个窄带信号全部聚焦在最佳聚焦频率f0=879 Hz上；最后利用2阶锥规划方法完成窄带波束形成。该算法的时间复杂度为O(n2)。

由图7可以看出，该算法得到的波束叠加图，其主瓣宽度为26.6°，旁瓣级可以达到23.3 dB，与常规波束形成算法相比较有更好的波束形成效果。

图7 基于最佳聚焦频率的2阶锥宽带聚焦波束图Fig.7 Two-order cone broadband focusing beam pattern based on optimal focusing frequency

3.4 仿真4：双重优化的宽带聚焦波束形成算法

图8 双重优化的宽带聚焦波束图Fig.8 Dual optimized broadband focusing beam pattern

宽带信号通过双重优化的宽带聚焦波束形成，其宽带波束主瓣保持恒定，主瓣宽度为22.8°，旁瓣级可以达到28.5 dB. 与之前的波束图对比，通过双重优化的宽带聚焦波束形成，其波束形成的效果是最优的。为了进一步验证算法的有效性，对该算法进行了湖试实验验证。

4 湖试实验

本文中的算法在某水库进行了湖试实验验证。实验水域深为8.5 m，水面较为开阔，采用24元圆环形基阵，半径为0.5 m. 发射信号由美国HP/Agilent公司产HP33120A函数/任意波形发生器产生，频率范围[750 Hz，1 500 Hz]，为矩形调制的正弦脉冲信号，选用其中8个频率点，分别为750 Hz、857 Hz、964 Hz、1 071 Hz、1 178 Hz、1 285 Hz、1 392 Hz、1 500 Hz.发射信号通过增益为50 dB功放放大后送到镶拼圆环发射换能器作为声源。发射过程中滤波放大器的输入、输出增益保持不变，但滤波的中心频率和信号频率保持一致。数据采集系统的采样频率为50 kHz，数据存储长度设为5 s，平均输入信噪比约为37 dB.

先利用RCB算法对实测的8组阵列流形进行校正，由校正的阵列流形确定出修正的聚焦矩阵，在[750 Hz，1 500 Hz]的频率范围内，由最佳聚焦频率的确定方法确定出最佳聚焦频率f0=879 Hz，权值是通过24阵元的理想圆阵的阵列流形设计得到的，是基于最佳聚焦频率的2阶锥的宽带聚焦波束形成算法的权值，得到如图9所示，并与基于最佳聚焦频率的常规宽带聚焦波束形成算法，以及2阶锥宽带波束形成算法进行对比，如图10所示。

图9 实测流型的8频率点波束叠加图Fig.9 Beam superposition of measured array manifolds at 8 frequency points

由图9、图10及表4可以看出：宽带信号在8个频率点的主瓣宽度都可以保持较好的一致性，其宽度差不超过2.5°；在8个频率点中，最高的旁瓣级为21.0 dB，最低的旁瓣级为33.0 dB. 通过图10中本文算法分别与常规波束形成算法和2阶锥宽带波束形成算法的对比，可以看出本文提出的双重优化算法在保证波束恒定的前提下，在各个频率点都具有更低的旁瓣级，从而证明了该算法的有效性。

表4 宽带信号8频率点的波束参数

5 结论

本文研究了利用CSM算法解决宽带聚焦波束形成问题，提出了双重优化的宽带聚焦波束形成算法。该算法利用RCB算法修正聚焦矩阵，使宽带信号聚焦在此频带范围的最佳聚焦频率上，再利用基于2阶锥的最低旁瓣波束形成算法。这不仅弥补了在确定聚焦矩阵时，对初始方向估计的偏差对聚焦效果的影响，还考虑到聚焦频率选择的偏差对聚焦效果的影响。通过仿真实验和湖试实验的验证，证明了最佳聚焦频率的有效性，以及RCB算法在宽带聚焦波束形成中对聚焦矩阵的修正作用，从而进一步表明双重优化的宽带聚焦波束形成算法在保证波束恒定的前提下，在不同的频率点处的旁瓣级更低，波束形成效果更优，从而验证了该算法的有效性。

References)

[1] 陈辉, 赵拥军, 刘成城,等.基于二次型约束的稳健宽带恒定束宽波束形成[J].数据采集与处理, 2016, 31(4):815-822. CHEN Hui, ZHAO Yong-jun, LIU Cheng-cheng, et al.Robust wideband constant beamwidth beamforming algorithm based on quadratic constraint[J].Journal of Data Acquisition and Processing, 2016, 31(4):815-822.(in Chinese)

[2] Hung H S,Mao C Y.Robust coherent signal-subspace processing for direction of arrival estimation of wideband sources[J]. IEEE Proceedings of Radar,Sonar and Navigation, 1994, 141(5): 256-262.

图10 实测流型的8频率点波束图Fig.10 Beam patterns of measured array manifolds at 8 frequency points

[3] 张进, 叶中付, 汪彦龙.基于一致聚焦的宽带信号DOA估计方法[J].电路与系统学报, 2011, 16(1):131-136. ZHANG Jin, YE Zhong-fu, WANG Yan-long. Direction-of-arrival estimation algorithm for wideband sources based on consistent focusing[J]. Journal of Circuits and Systems, 2011, 16(1): 131-136.(in Chinese)

[4] Wang H, Kaveh M. Coherent signal-subspace processing for the detection and estimation of angles of arrival of multiple wide-band sources[J]. IEEE Transactions on Acoustics Speech & Signal Processing, 1985, 33(4): 823-831.

[5] Hung H, Kavel M. Focusing matrices for coherent signal-subspace processing[J]. IEEE Transactions on Acoustics Speech & Signal Processing, 1988, 36(8): 1272-1281.

[6] 王志朝, 张天骐, 万义龙, 等. 基于宽带聚焦矩阵和高阶累积量的OFDM信号的来波方向估计[J]. 计算机应用, 2013, 33(7):1828-1832. WANG Zhi-chao, ZHANG Tian-qi, WAN Yi-long, et al. Direction of arrival estimation of orthogonal frequency division multiplexing signal based on wideband focused matrix and higher-order cumulant[J]. Journal of Computer Applications, 2013, 33(7):1828-1832.(in Chinese)

[7] 王娟, 冯青, 吴仁彪, 等. 一种用于声学成像的稳健宽带恒定束宽波束形成方法[J].西安电子科技大学学报:自然科学版, 2007,34(1):154-158. WANG Juan, FENG Qing, WU Ren-biao, et al.A robust wideband constant-beam width beamforming method for acoustic imaging [J]. Journal of Xidian University: Natural Science, 2007, 34(1)：154-158.(in Chinese)

[8] 朱维杰. 宽带水声阵列信号处理的原理方法及应用[D].西安:西北工业大学, 2003. ZHU Wei-jie. Study on principle and method of broadband underwater acoustic array signal processing[D]. Xi’an: Northwestern Polytechnical University, 2003.(in Chinese)

[9] Claudio E D, Parisi R. Waves: weighted averages of signal subspaces for robust wideband direction finding[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2001, 49(10): 2179-2191.

[10] 甘甜, 王英民.一种稳健的恒定束宽波束形成方法[J].声学学报, 2012,37(1):18-24. GAN Tian, WANG Ying-min. A robust broadband beamforming method of constant beam width[J]. Acta Acustica, 2012, 37(1):18-24.(in Chinese)

[11] 毕杨, 王英民.一种稳健的宽带聚焦波束形成算法[J].计算机工程与应用, 2015, 51(4):218-221. BI Yang, WANG Ying-min. Robust broadband focused beam-forming algorithm[J]. Computer Engineering and Applications, 2015, 51(4):218-221.(in Chinese)

[12] 周琳, 黄春琳, 粟毅. 基于鲁棒Capon波束形成的探地雷达成像算法[J]. 电子与信息学报, 2012,34(5):1024-1029. ZHOU Lin,HUANG Chun-lin,SU Yi. A ground penetrating radar imaging algorithm based on robust Capon beamforming[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2012,34(5):1024-1029.(in Chinese)

[13] Stoica P, Wang Z S,L J. Robust Capon beamforming[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2003, 10(6):172-175.

[14] 马远良, 刘孟庵, 张忠兵, 等. 浅海声场中拖曳线列阵常规波束形成器对本舰噪声的接收响应[J]. 声学学报,2002, 27(6): 481-486. MA Yuan-liang, LIU Meng-an, ZHANG Zhong-bing, et al. Response of the towed line array to the noise of the tow ship in shallow water[J]. Acta Acustica,2002, 27(6): 481-486.(in Chinese)

[15] Ma Y L, Liu M A, Zhang Z B, et al. Receiving response of towed line array to the noise of the tow ship in shallow water[J]. Chinese Journal of Acoustics, 2003, 22(1): 1-10.

[16] 夏麾军,马远良,汪勇,等. 高增益对角减载波束形成方法研究[J]. 声学学报,2016,41(4):449-455. XIA Hui-jun, MA Yuan-liang, WANG Yong, et al. Study on diagonal reduced load beamforming[J]. Acta Acustica, 2016,41(4):449-455.(in Chinese)

Research on Dual Optimized Broadband Beamforming Algorithm

BI Yang1,2， WANG Ying-min2，WANG Qi2

(1.School of Electronic Engineering, Xi’an Aeronautical University, Xi’an 710077, Shaanxi，China; 2.College of Marine, Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，Shaanxi, China)

When the focusing matrix is identified in the coherent signal-subspace method, the deviation of the initial direction and the deviation of focusing frequency selection have an effect on the final focusing effect, even making the algorithm fail. A dual optimized broadband beamforming algorithm is presented. The algorithm is to use the robust Capon beamforming algorithm to correct the focusing matrix, the broadband signals are focused on the best focusing frequency by the corrected focusing matrix, and the narrowband signals are beamformed by the second-order cone programming algorithm. The computer simulation results and lake experiments show that the proposed algorithm can make the beam constant, and lower the sidelobe level at each frequency point.

acoustics; focusing matrix; focusing frequency; robust Capon beamforming algorithm; second-order cone programming; broadband beamforming

2016-11-15

毕杨(1981—)，女，讲师，博士。E-mail:biyangg@163.com

TN929.3

A

1000-1093(2017)08-1563-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.08.014