基于凸优化的共形阵波束优化方法研究

王晓庆，梁浩前，王大宇，陈卫东

(中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081)

0 引言

共形阵列在进行波束形成[1-5]时，如果不采用一定的波束旁瓣控制手段，其旁瓣影响往往都会很大。因此，低旁瓣波束形成设计是共形阵列抑制旁瓣干扰、提高目标信号检测概率的重要手段之一。 Taylor[6]等人提出了针对均匀线阵的旁瓣控制方法，Hyneman和Johnson[7]研究了波束函数零点移动的策略来控制波束旁瓣；Dolph[8-9]提出了针对均匀线阵的旁瓣控制权值；Stern[10]提出了水下阵列可以使用Taylor的结果。

1990年，Olen和Compton[11]研究了波束旁瓣控制的数值综合法，该方法通过优化迭代，给出了针对给定阵列及主瓣宽度和旁瓣级情况下的最佳权值，文献[12-13]都是在此基础上开展的研究，解决了存在阵列误差时的旁瓣控制方法。文献[14]研究了宽带模型下的波束旁瓣优化设计方法。文献[15]基于数值综合法提出了多线性约束的阵列天线方向图旁瓣抑制方法，有效解决了在有限快拍下常规波束形成器旁瓣过高的问题。

但是，Dolph提出的方法无法运用于共形阵列，在处理非均匀或非共线的阵列时性能恶化。数值综合法在迭代计算过程中容易发散，迭代步长过大会使算法性能稳定性变差。因此，仍需要研究适用于共形阵列且性能稳定的旁瓣控制方法。

随着科技的发展和进步，很多学者开始使用凸优化理论来实现对阵列的波束优化控制，其中运算简单、结果精确的二阶锥规划方法[16]得到了广泛应用。

本文基于凸优化技术，提出了2种波束旁瓣控制方法，可以解决水下共形阵的旁瓣级高的问题，一种是旁瓣最低主瓣最小加权CBF法，另一种是给定旁瓣级的高增益加权CBF法。这2种方法均对加权向量范数进行约束，使用内点法[16]迭代，从而抑制共形阵波束形成的高旁瓣。计算机仿真表明，针对水下共形阵列旁瓣控制问题，2种方法均具有良好的性能。该方法能够推广到对空间无线电阵列信号处理应用中，具有非常好的实用前景。

1 共形阵常规波束形成器

本文设计的共形阵列为空间阵列，假设空间共形布设的阵列，远场P点处有一水声信号，如图1所示。

图1 水下共形阵列接收远场信号示意Fig.1 Diagram of underwater conformal array receiving far field signal

其中，N为阵元个数，各水听器的位置三维坐标为ri=[xiyizi]T，(·)T表示转置；θ，φ为声源的方位角和俯仰角，则该方向的单位向量为：

u=[sinφcosθsinφsinθcosφ]T，

则基阵对从(θ，φ)方向入射到基阵的窄带信号的响应向量为：

式中，c为声速；f为水声信号频率；di(θ，φ)是第i个阵元对(θ，φ)方向的响应幅度大小。

则，对(θ，φ)方向，阵列的波束响应可以表示为：

p(θ，φ)=dH(θ，φ)w，

式中，(·)H为向量的共轭转置；w为阵列的加权向量。令φ=90°，本文仅讨论水平方向的波束形成。则基阵的阵列流形矩阵可以表示成(省略φ)：

D(Θ)=[d(θ1)d(θ2) …d(θM)]，θ1，θ2，…，θM∈Θ，

式中，θ1，θ2，…，θM为离散化的方位角，往往覆盖0°～360°。基阵的水平方位波束图表示为：

对于均匀线阵，其阵元可以认为是各向同性的，通过阵元位置可以很方便地解算其阵列流行。水下共形基阵阵元安装在一个球形支撑架上，支撑架对信号的遮挡和散射导致了各阵元对各方向信号的响应大小不同。如果不考虑支撑架的影响，其数学模型的建立是基于共形阵阵元完全相同，阵元相互间无影响的假设，阵元指向性为全向，这种模型称之为共形阵的透声模型，可以很方便地计算得到其阵列流形。

但实际上共形基阵的指向性受后障板的影响很大，共形阵支撑架对阵元的影响是不可忽视的。一个全向接收的水听器放在支撑面上后，受后障板影响出现了指向性[17]。障板模型下共形阵阵元指向性如图2所示。试验测得其指向性平均值。

图2 障板模型下共形阵阵元指向性Fig.2 Directivity map of conformal array elements with the baffleplate

则：

式中，φ为信号入射方向与阵元声接收主轴的夹角，如图1所示。

如果认为共形阵列上的阵元均具有上述指向性特点，并且一致性非常好。则可以提出一种全新的共形阵列接收模型——障板模型。对于障板模型，可以仿真得到其理想阵列流形。如果未加强调，本文所做的仿真均在障板模型下完成。

2 基于凸优化的波束旁瓣控制

本文使用Sturm公司开发的Matlab工具箱SeDuMi[18]来求解二阶锥规划和低旁瓣约束条件下的凸优化问题。其迭代运算量小、优化精确度高，并且可以自动判定求解的欠定方程是否有解。在SeDuMi中，标准的凸优化问题可以表示为：

maxbTysubject toc-ATy∈S，

式中，A为一个矩阵；y为期望向量；b，c为任意向量；S为一个对称锥集合。A，b，c的维数必须匹配，且都可以为复数。则q维二阶锥表示为：

实数域的三维(q=3)二阶锥几何意义示意如图3所示。

图3 二阶锥几何意义示意Fig.3 3D second order cone of real number field

由图3可以看出，在该锥内，二阶锥优化的几何意义是寻找满足目标函数最大化的最优点。

如果为等式方程，则意味着零锥，零锥定义如下：

{0}={x∈C|x=0}，

式中，C为复数集。假设约束问题可以表示为：maxbTysubject toc-ATy∈{0}q1×Qq2的形式，则Matlab工具箱SeDuMi可求出其数字解。上述约束包含q1个等式，并且q2个元素位于二阶锥内。

2.1 最低旁瓣级加权

最低旁瓣级加权CBF的约束准则为使波束扫描方向的幅度加权值为1，在对加权向量进行范数约束[19]的条件下，控制最大旁瓣值最小化。则上述公式可表示为：

式中，ξ为加权向量的范数最大；θs为波束扫描方向；Δ为波束主瓣宽度的一半。令θi，i=1，2，…，I，为旁瓣部分的离散化的I个方向(可以让这I个方位均分旁瓣方位)，并且增加一个非负实变量y1，则上式可以表示成：

令y=[y1wT]T，b=[-10T]T，使y1=-bTy。其中0是N×1的零向量，对于式中的约束可以写成：

AT=[A1A2…A1+IA2+I]T，

则低旁瓣波束形成可以表示为标准的二阶锥约束形式：

上述方程，可使用Matlab工具箱SeDuMi进行求解，得到所需的最低旁瓣级加权向量w。

2.2 给定旁瓣级的高增益加权

给定旁瓣级的高增益CBF加权的约束准则如下：

式中，Rn为噪声协方差矩阵。对Rn进行Cholesky分解，即：

Rn=UHU，

得到：

wHRnw=(Uw)H(Uw)=‖Uw‖2。

对权向量的范数进行约束条件下，给定旁瓣级的高增益CBF约束准则可再加入旁瓣级控制。令y1为非负实变量，上述约束修改为：

式中，形成波束的旁瓣级由δi决定，但旁瓣等级在不同方向上不一定相同。

令y=[y1wT]T，b=[-10T]T，使y1=-bTy。其中0是N×1的零向量，对于上式中的约束可以写成：

则旁瓣控制高增益波束形成可以表示为标准的二阶锥约束形式：

将d(θs)，d(θi)(i=1，2，…，I)代如上述各式中，则上述方程可使用Matlab工具箱SeDuMi进行求解，得到所需的最低旁瓣级加权向量。

3 共形阵常规波束仿真

依据文献[20]建立72元四排环带型共形阵，按20 kHz，阵间距37.5 mm布阵。外侧曲面为半球形[21-22]，四排曲线阵在球面上排列，每排曲线有18个阵元，阵元间距为37.5 mm，当水中声速为1 500 m/s，频率为20 kHz时，λ/2为37.5 mm。阵元间距等于半波长，满足空间采样定理。建立的72元四排环带型共形阵如图4所示。

图4 四排环带型共形阵布阵(三维)Fig.4 Diagram of four-row ring belt conformal array (3D)

为了研究上述四排环带型共形阵的常规波束特点，沿其水平方向进行常规波束形成。设水中声速为1 500 m/s，频率为20 kHz。为便于对比，选取0°，-30°，-60°共3个方向进行分析。阵元指向性使用文献[20]中的带障板的水听器模型。

四排环带型共形阵的顶视图和前视图如图5所示。

图5 四排环带型共形阵的顶视图及前视图Fig.5 Top and front views of four-row ring belt conformal array

四排环带型共形阵的水平波束如图6所示。

图6 四排环带型共形阵的水平波束Fig.6 Horizontal beam pattern of four-row ring belt conformal array

由图6可以看出，四排环带型共形阵的水平波束旁瓣级较高，尤其在偏离正横方向-60°的扫描扇面附近。在带障板的模型下，旁瓣级仍然达到了-15 dB。

4 共形阵波束优化仿真

假设信号频率为20 kHz，使用本文方法对建立的72元四排环带型共形阵常规波束进行优化设计。通过与常规波束以及其他波束优化方法的对比，验证了本文所提波束优化方法的有效性。

4.1 最低旁瓣级加权

仿真中使用本文提出的旁瓣最低主瓣最小波束优化方法(简称最低旁瓣级加权算法)同传统的Dolph算法进行对比。波束指向-60°，分别采用基于二阶锥规划的最低旁瓣优化算法和Dolph算法波束形成，得到旁瓣级为-25 dB的波束图，比较2种算法的权向量如图7所示。

图7 最低旁瓣级加权对比仿真Fig.7 Contrast simulation of minimized sidelobe level beamforming

由图7可以看出，应用于共形阵波束旁瓣控制问题时，Dolph加权算法性能恶化，而基于二阶锥规划的最低旁瓣级加权算法能有效地将旁瓣约束至-25 dB的等级。

不同主瓣宽度下最低旁瓣级加权仿真如图8所示。

图8 不同主瓣宽度下最低旁瓣级加权仿真Fig.8 Beamforming simulation with diffrent mainlobe widths

由图8可以看出，在主瓣宽度一定的情况下，基于二阶锥规划的最低旁瓣级加权算法始终可以得到最低的旁瓣等级。

4.2 给定旁瓣级的高增益加权

仿真中分别采用Dolph算法、文献[11]中使用的数值综合法以及本文提出的给定旁瓣级的高增益加权算法进行波束优化，并比较这几种算法的结果，波束指向为0°，期望优化的波束旁瓣级为-30 dB。比较上述3种方法和常规波束形成，给定旁瓣级的高增益加权对比仿真1如图9所示。

图9 给定旁瓣级的高增益加权对比仿真1Fig.9 Contrast simulation 1 of maximized array gain sidelobe control beamforming

由图9可以看出，Capon方法的旁瓣级仍然很高。数值综合算法和本文提出的给定旁瓣级的高增益加权算法都将旁瓣控制到了期望的水平。

给定旁瓣级的高增益加权对比仿真1(局部放大)，如图10所示。

图10 给定旁瓣级的高增益加权对比仿真1(局部放大)Fig.10 Contrast simulation 1 of maximized array gain sidelobe control beamforming (partial zoom-in)

通过图10的局部放大图发现，Dolph算法的第一旁瓣略高于期望的旁瓣等级，并且各个方向上的旁瓣水平高低不均匀。相比于数值综合算法，本文提出的给定旁瓣级的高增益加权算法具有更集中的主瓣宽度。

将波束指向调整为-30°，继续考察数值综合算法和本文提出方法的稳定性。给定旁瓣级的高增益加权对比仿真2，如图11所示。

图11 给定旁瓣级的高增益加权对比仿真2Fig.11 Contrast simulation 2 of maximized array gain sidelobe control beamforming

由图11可以看出，数值综合算法存在不收敛的问题，最终导致得到的波束图发生畸变，使得数值综合算法在稳定性上存在隐患。而本文提出的给定旁瓣级的高增益加权算法依然能够获得期望的旁瓣级控制，性能更加稳定。

将波束指向调整为60°，期望优化的波束旁瓣级为-40 dB，并且加入15%的阵元间距和各向同性误差，继续考察数值综合算法和本文提出方法的旁瓣控制效果。给定旁瓣级的高增益加权对比仿真3，如图12所示。

图12 给定旁瓣级的高增益加权对比仿真3Fig.12 Contrast simulation 3 of maximized array gain sidelobe control beamforming

由图12可以看出，数值综合算法在共形阵列阵元间距和各向同性存在误差的情况下主瓣指向出现偏差，旁瓣发生畸变，数值综合算法失效，而本文提出的给定旁瓣级的高增益加权算法依然有效。可见，本文算法针对阵元间距和各向同性误差具备一定的容错能力。

5 结束语

本文基于凸优化技术，致力于解决水下共形阵列波束形成时出现的旁瓣电平高的问题，提出了2种适用于水下共形阵列的旁瓣约束优化波束形成算法，一种是旁瓣最低主瓣最小加权CBF法，另一种是给定旁瓣级的高增益加权CBF法。2种方法均对加权向量范数进行约束，使用内点法迭代，从而抑制共形阵波束形成的高旁瓣。前一种方法使波束扫描方向的幅度加权值为1，从而控制最大旁瓣值最小化；后一种方法在给定旁瓣级的高增益约束基础上再加入旁瓣级控制。仿真结果表明，针对水下共形阵列旁瓣控制问题，2种方法均具有良好的性能。该方法适用于任意几何形状和阵元指向性的传感器阵列，应用前景广阔。