半导体中电子和空穴的共有化运动与霍尔电压

罗坚义 李宇东 张园园 林丽娜 黄景诚

(五邑大学应用物理与材料学院，广东 江门 529020)

半导体中电子和空穴的共有化运动与霍尔电压

罗坚义 李宇东 张园园 林丽娜 黄景诚

(五邑大学应用物理与材料学院，广东 江门 529020)

霍尔效应被应用于测定半导体的载流子种类(电子或空穴)时，空穴的移动在本质上往往被理解为束缚电子的移动，那么同样是电子的移动，却能产生相反的霍尔电压，引发学习者在理解上的困惑。本论文首先阐述了这个问题的由来，并介绍了利用电子有效质量是如何有效解决这个矛盾的观点；最后，笔者从量子力学的角度出发，运用半导体中电子和空穴共有化运动的思想，试图用更加通俗的方式来理解这个问题，以便于学习者能更加深刻、全面地理解霍尔效应和霍尔电压的由来。

霍尔电压；半导体载流子；有效质量；共有化运动

霍尔效应常被应用于测定半导体的载流子类型(电子或者空穴)，也可被应用于测量外加磁场的强度，并根据其原理，人们还开发出了相应的霍尔测试仪和霍尔效应传感器等设备与器件。在大学物理实验中也普遍面向理工科类学生开设一系列相关的霍尔效应实验。可见，让理工科的学生能正确理解霍尔效应的基本原理，对其后续的工程学习和实践能力培养都显得至关重要。在基础物理教材介绍到霍尔效应时，只是提到可用于判断半导体的载流子种类(是电子或者是空穴)，但载流子具体是如何在其中运动并产生霍尔电压的并没有详细的描述[1]。在半导体物理中，引入了空穴的概念后，但空穴在晶体中的移动，又往往被理解为束缚电子对周围空穴的填充过程，在本质上也是电子的移动[2,3]。那么，同样都是电子的移动，为什么自由电子导电(n型半导体)和空穴导电(p型半导体)会出现相反的霍尔电压？为了回答这个问题，不少学者或教育者从不同角度对这个问题进行了诠释[3-6]。撰写本论文的目的是希望阐述清楚这个问题的由来，梳理一下学者们对这个问题的理解，以及提出笔者自己的见解，使得学习者能更加深刻、全面地理解霍尔效应和霍尔电压的由来。本论文首先回顾霍尔电压的产生及其微观解释，然后应用电子和空穴运动的经典物理模型于霍尔效应中，引出同是电子的移动，却能产生相反霍尔电压的矛盾。针对这个矛盾，介绍了利用电子的有效质量如何有效解决这个矛盾的观点；最后，笔者从量子力学的角度出发，运用半导体中电子和空穴共有化运动的思想，试图用更加通俗的方式来理解这个问题。

图1 霍尔效应原理示意图

1 霍尔电压及其微观解释

霍尔效应实验如图1所示， 在半导体材料的左右两端(x轴方向上)加载一个电场E， 带电的载流子(电子图1(a)或者空穴图1(b))将在电场的作用下从右到左(电子)或者从左到右(空穴)运动，一旦载流子具有速度，将会受到磁场力f=-q×B或f=q×B(也就是洛伦兹力)的作用，如图1所示，无论是电子还是空穴受到的磁场力方向都具有往z轴的正方向分量，从而载流子都发生了向上偏转运动。可见，如果传导的载流子是带负电荷的电子，电子将会在材料的上表面聚集，从而在实验上测到的霍尔电压为负。反之，如果载流子为带正电荷的粒子，在实验上测到的霍尔电压将为正。这里有两点需要补充说明的是：(1)材料本身是电中性的，除了导电的载流子之外，还有固定在晶体中不能移动的杂质离子(n型半导体中的施主杂质离子，p型半导体中的受主杂质离子)，当材料的上端集聚了多余的载流子后，将会导致在另外一端的杂质离子没办法被中和，故使材料的下端表现为带相反的电荷；(2)在相同外加的电场和磁场作用下，无论载流子是正电荷或者是负电荷，受到的洛伦兹力都是同一个方向(如图所示为向上)，故载流子都会向上运动。因此，通过测量材料上下表面的霍尔电压就可以判定导电的载流子种类。

2 半导体中电子与空穴运动的经典物理模型

上述对霍尔电压的产生以及对正负载流子判定的解释似乎已经很完美了，但在解释霍尔效应中空穴的传导方向则出现了问题。在半导体物理中，空穴是一个假想的带电粒子。空穴又称为电洞，也就是电子的空位，当晶格中的束缚电子被激发变成了自由电子并游离于晶格间，在电子原来的位置上则出现电子的空位(空穴)，周围的束缚电子都可以填充这个空位，从而引起空位在晶体中的移动(类似于一个萝卜有一个坑，拔走一个萝卜后留下一个坑位，再把周围的萝卜拔起来填这个坑时，又在新的位置出现了萝卜坑，看起来像是萝卜坑在移动了，实际上是萝卜在移动)，这是经典粒子物理模型向我们展示的图像，直观而易懂。可见，空穴的移动，在本质上可以被看成是电子的移动。如果把这个模型应用到霍尔效应中，如图2所示，我们就会发现，在电场的作用下，空穴是从左向右移动的(x轴的正方向)，也就是电子应该是从右向左不断填充空穴的移动过程，这时移动中的电子将受到向上的磁场力作用，那么电子应该是向上偏转，从而形成负的霍尔电压。同样， 在n型半导体中自由电子(如图1(a))也是从右向左移动，其产生的霍尔电压也应该是负的。也就是说，按照这个经典物理图像的分析，将不可能出现霍尔电压为正的情况，但在实验上确实是观察到了有正的霍尔电压，那么问题出在哪里呢？

3 电子有效质量的概念及其对霍尔电压的解释

图2 霍尔效应中空穴运动的经典物理模型

为了解答上述的矛盾，有些学者[3-6]利用固体中电子有效质量的概念，认为在价带中的电子(束缚电子)具有的有效质量为负值(即me<0)。因此，在图2所示的模型中，电子虽然收到向上的磁场力f的作用，但根据牛顿第二定律 a= f/me,加速度的方向应该与作用力f方向相反，所以电子应该是向下偏转运动而不是向上运动，从而形成了正的霍尔电压，较好地解决了上述的矛盾。但是，在大学物理的教学中只是简单提到固体的能带结构，并不涉及到有效质量概念的介绍，特别是物体质量为负值的情况，在我们日常生活中几乎看不到这方面的实例，因此给初学者带来了理解上的困难。如何理解电子在固体中具有负的有效质量，可从固体中电子经典运动的两个基本方程式出发[7]：

(1)

(2)

其中v(k)为电子的速度，E(k)为电子具有的能量，均为波矢k的函数，(hk)具有动量量纲，动量对时间的求导为作用外力F。在外力的作用下，电子的速度将发生改变，因此电子的加速度a可表示为

(3)

(4)

则式(3)可改写为

(5)

可见，有效质量me不同于电子的惯性质量。在考虑了晶体势能场的作用后，有效质量的大小和正负号往往取决于电子所在的能量状态E(k)，是一个与电子能量状态E(k)对k求二阶导数相关的物理量。当E(k)曲线开口朝上，电子能量处于谷底时，有效质量取正值。当E(k)曲线开口朝下，电子能量处于峰顶时，有效质量取负值。对于空穴的传输来说，电子的填充运动主要是发生在价带顶部附近，其E(k)曲线的开口一般朝下，二阶导数为负值，因此电子的有效质量取负值。一旦电子的有效质量为负值，那么在电子受到磁场力作用后，将出现其加速度的方向与其受外力方向相反的情况。例如在图2中，移动中的电子将受到向上的磁场力，反而具有向下发生偏转的加速度，从而在上下极板间形成正的霍尔电压。可见，当电子的有效质量取负值时，霍尔电压为正；反之，霍尔电压则为负，从而似乎完美地解答了“同是电子导电却能产生相反霍尔电压”的问题。

4 半导体中载流子的共有化运动图像及其对霍尔电压的诠释

电子有效质量的引入，基本上解决了电子导电和空穴导电在本质上同是电子的移动却会出现相反方向霍尔电压的困惑，让经典物理仍然适于半导体物理，好处是直观易懂，弊端是又引入理解有效质量概念带来的困难。因为在经典牛顿力学图像中，很难想象出一个运动物体质量为负的情形会是怎样的，又不得不借助量子力学中波粒二象性的结论(如在式(1)、(2)中引入普朗克量子数h去描述粒子的动量)去解释有效质量的概念。笔者认为从一开始把空穴的移动想象成价电子的填充过程(即从本质上看成是电子的移动)，这种说法并不准确，甚至有可能是错误的。虽然大多数教科书上都做这样处理，目的是让初学者能更加容易而且直观地理解空穴导电的过程，但实际过程可能并非如此，两者并不等价。为了说明这个问题，让我们从载流子的共有化运动说起。

从半导体的能带理论出发，在固体中电子一旦脱离束缚它的晶格原子，进入导带成为自由电子，该自由电子将在晶格中做“自由自在”的不规则运动，不再归属于晶格中任何原子所独有，已成为所有原子共同拥有的“资产”。这时，自由电子正在做着共有化运动。同样，在电子脱离晶格原子束缚后，在原来的位置留下的空穴也跟自由电子一样开始做共有化运动，不再归属于某个原子所有或者停留在某个原子附近，快速漂浮于各个晶格原子间，成为有别于自由电子的另一种载流子，也就不存在周围束缚电子可以去填充空穴这个过程了，因为束缚电子已经无法找到空穴的具体位置了。关于空穴的移动，我们有一个更加形象的比喻：如果我们把束缚电子比喻为杯子中的水，空穴就是水中的气泡。晃动杯子时，气泡会随着杯中水的涌动而到处游走。气泡移动过程，并不是水分子去不断填充气泡，气泡从一个位置消失，又从另一个位置产生的过程，而是杯中水的集体运动带动了气泡的漂浮运动。可见，空穴的移动并不能简单地看成是由空穴附近束缚电子不断填充空穴的过程，而应该把它看成是价带上束缚电子集体运动所带来的效果。这一点可从教程书中讨论半导体的满带不导电和半满带导电模型中得到印证(见参考文献[2, 8])。在解释满带与半满带的导电问题时，我们往往需要考虑的是，在k空间中整个电子分布在外电场作用下移动一个偏移量后是否会引起部分电子电流无法被抵消从而产生宏观电流；在讨论价带中的空穴导电时，我们也往往需要分析价带上所有电子分布的整体移动而才能得出空穴的导电电流。可见，空穴虽然是一种假想的载流子，但其质量和导电机制都有别于电子，已可被看成是另一种实实在在且带正电荷的载流子，而不需要通过别的粒子来等价它或者代言它。

5 结论

本文首先介绍了霍尔效应和霍尔电压的微观解释，然后提出半导体中电子与空穴运动的经典物理模型在解释霍尔电压方面存在的矛盾，即空穴的导电本质上可以看成电子的移动，同是电子的移动，空穴导电和电子导电却能出现相反方向的霍尔电压。针对上述的矛盾，介绍了利用引入电子的有效质量如何有效解决这个矛盾的观点。最后，笔者提出了对这个问题的看法，认为空穴的移动并不能简单理解为电子的填充运动过程，并且从载流子的共有化运动角度出发，认为自由电子和空穴分别在导带和价带做共有化运动，已很难再判定自由电子或空穴在晶格的具体位置，从而不存在电子去填充空穴的过程。笔者用杯子中的水比喻价带中的束缚电子，水中的气泡比喻空穴，形象地说明了空穴的移动是由束缚电子集体运动引起的，而不是束缚电子不断填充空穴的物理过程。本文对霍尔效应和霍尔电压由来的总结和思考，将有利于大学教师和学生对霍尔效应及其相关问题的深入理解和研讨，也可作为大学物理、半导体物理和固体物理等课程教学中对半导体导电机制部分的补充和拓展。

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[2] 刘恩科.半导体物理[M].4版.北京：国防工业出版社，2002:18-20.

[3] 赵庆利， 马连喜.霍尔效应中的空穴[J].物理通报，2008(5):14-16.ZhaoQingli,MaLianxi.HolesinHalleffect[J].PhysicsBulletin, 2008, 2008(5): 14-16. (inChinese)

[4] 马连喜.再论空穴和霍尔效应[J].物理通报,2010(5):67-67.MaLianxi.FurtherdiscussiononholesandHalleffect[J].PhysicsBulletin, 2010, 2010(5): 67-67. (inChinese)

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[6] 刘凤艳，丁晓红，杨红卫，等.半导体的霍尔电压[J].物理与工程，2015,25(3):57-59.LiuFengyan,DingXiaohong,YangHongwei,et.Hallvoltageofsemiconductor[J].PhysicsandEngineering, 2015, 25(3): 57-59. (inChinese)

[7] 林鸿生.从经典物理角度看半导体中的电子和空穴[J].物理，1982，11(2):119-123.LinHongsheng.Aviewfromclassicalphysicstoresearcheletronandholepairsinsemiconductor[J].Physics, 1982,11(2): 119-123. (inChinese)

[8] 黄昆，韩汝琦.固体物理学[M].北京：高等教育出版社， 1988:250-255.

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COMMUNIZATION MOVEMENT OF ELECTRONS AND HOLES AND HALL VOLTAGE IN SEMICONDUCTOR

Luo Jianyi Li Yudong Zhang Yuanyuan Lin Lina Huang Jingcheng

(School of Applied Physics and Materials, Wuyi Uninversity, Jiangmen Guangdong 529020)

Hall Effect is usually applied to distinguish the kind of carriers in semiconductor (electrons and holes), and currently the hole movement could be understood as the boundary electron movement in essence. Spontaneously for learners, a question could arise that since hole movement inP-typed semiconductor is belonged to electron movement in essence, but it can induce opposite Hall voltage compared with the case of electron movement inN-typed semiconductor. The arising of this question is firstly introduced in detailed in this paper, and then the concepts of effective mass in solid physics is introduced and applied to solve the question. At last, authors try to answer this question in more comprehensible way by applying the communization movement of electrons and holes in semiconductor, according to the basic ideas of quantum mechanics. The results and discussions in this paper deepen the learners’ comprehension of the origins of Hall Effect and Hall voltage.

Hall voltage; carriers in semiconductor; effective mass; communization movement

2016-04-13

广东省自然科学杰出青年基金(2015A030306031)，国家自然科学基金(51402218)，广东高校创新团队建设项目(2015KCXTD025)，五邑大学青年基金项目(2013zk05, 2014td01), 五邑大学教研教改项目(YJS-JGXM-14-05，JG2013013)。

罗坚义，男，副教授，主要从事大学物理、半导体物理的理论教学和研究，光电材料与器件应用研究等工作，Luojiany@mail3.sysu.edu.cn。

罗坚义，李宇东，张园园，等. 半导体中电子和空穴的共有化运动与霍尔电压[J]. 物理与工程，2017，27(4)：53-56.