卡诺定理的正确认识

周旭波 何丽珠 王 进

(青岛大学物理科学学院，山东 青岛 266071)

卡诺定理的正确认识

周旭波 何丽珠 王 进

(青岛大学物理科学学院，山东 青岛 266071)

在普通物理热学教学中，对卡诺定理和可逆循环效率的认识十分重要，但对此经常容易产生误区。由教学中常见的具体问题出发，我们对卡诺定理的适用范围，可逆非卡诺循环的效率和热机效率的提高途径等问题进行讨论。强调：卡诺定理中的可逆热机是作卡诺循环的；可逆非卡诺循环效率一般与工质及循环曲线形状有关，但有类卡诺循环等特殊情形；提高热机效率的途径应为：使循环尽可能地接近卡诺循环和提高两热源的温度差。同时纠正了一些有关的模糊认识。本文对实际教学有一定的参考价值。

卡诺定理；循环；可逆循环；效率；热机

在普通物理热学教学中，卡诺定理和可逆循环效率是十分重要的内容。卡诺于1824年提出了卡诺定理[1]： (1)在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关；(2)在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机，其效率都小于可逆热机的效率。在教学中，经常遇到有关卡诺定理的几个问题，有必要进行讨论。

1 准确识别卡诺定理特征，避免误用

教学过程中，类似下面的题目，相当多的学生认识模糊或做错。

0.32kg氧气作图1所示的循环ABCDA,设V2=2V1,T1=300K,T2=200K，求该循环的效率[2]。

图1 循环ABCDA

用循环效率定义式求解如下：

循环中系统做的净功为

(1)

等温过程AB中ΔE=0，则QAB=WAB。等体升压过程DA中W=0，则QDA=ΔEDA，因此循环中系统吸热的总量为

(2)

所以，该循环的效率为

(3)

文献[4]指出，由于此斯特林循环的特殊设计，使其效率的计算不同于基本公式。罗伯特·斯特林为了提高两条等温线与两条等体线组成的循环的效率，想到了一个内置回热器的独特设计方法，即斯特林循环。在整个循环中，两个等体过程的吸、放热发生于系统内部的回热器之中，不对外界产生任何影响，只在两个等温过程中，工质才与外界交换热量。经计算得出结论：斯特林热机的效率与卡诺循环效率相同。笔者认为，虽然如此，作为一道习题，考察学生对有关知识的理解与运用，上面的解法尚为可取。可以认为，此循环内无回热器与工质交换热量。

2 正确理解类卡诺循环效率的结果

文献[5]指出：可逆非卡诺循环效率与卡诺循环效率完全不同，它与工质(如是单原子还是双原子理想气体)及循环曲线形状有关。可以做一点补充：对于类卡诺循环[6]，如埃里克森循环、上面的斯特林循环及奥托循环等，其效率与工质及循环曲线形状无关，只与两点的温度有关。如下面的题目：

一定量的理想气体，经历图2所示的循环。其中AB和CD为等压过程，BC和DA为绝热过程。设B点温度TB=T1，C点温度TC=T2。证明该热机的效率为η=1-T2/T1[2]。

图2 两个等压过程与两个绝热过程构成的循环

证明：AB过程吸热QAB=νCp,m(TB-TA)

(4)

(5)

所以，该循环的效率为

(6)

对AB、CD、BC、DA分别有：

(7)

(8)

(9)

(10)

联立求解以上各式，可得

(11)

该循环不是卡诺循环，但其效率表达式与卡诺循环相似，且其效率与工质(例如分子结构)及循环曲线形状无关。需要强调的是：式(11)中的T1、T2只是温度变化中两特定点的温度，而非两等温热源的恒定温度。

3 如何认识卡诺定理给出热机循环效率上限

卡诺定理的推论： 可逆非卡诺循环的效率，小于工作于其最高热源和最低热源之间的卡诺循环的效率[7-9]。采用T-S图可给出简捷的证明[7]：

对微小的可逆过程有：

dQ=TdS

(12)

若dS>0,则dQ>0(吸热)；若dS=0,则dQ=0(绝热)；若dS<0,则dQ<0(放热)。

对有限可逆过程有：

(13)

图3 T-S图中的循环

(14)

(15)

因为SD CEFDSambEFa

所以有：η>η′。

由此得出，可逆卡诺循环的效率为热机循环效率的上限。因此，提高热机效率的途径应为：使循环尽可能地接近卡诺循环；提高两热源的温度差。

4 结语

由以上讨论可见，卡诺定理不适用于可逆非卡诺循环；可逆非卡诺循环效率一般与工质(例如分子结构)及循环曲线形状有关，但有类卡诺循环等特殊情形；使循环尽可能地接近卡诺循环是提高热机效率的途径之一。

[1] 赵凯华，罗蔚茵. 新概念物理教程：热学[M]. 北京：高等教育出版社，1998：180.

[2] 马文蔚，解希顺，周雨青. 物理学下册[M].5版.北京：高等教育出版社，2006：258.

[3] 李椿，章立源，钱尚武. 热学[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2008：161.

[4] 周雨青. 理想斯特林热机循环原理及其效率的计算和实际工作效率的简单讨论[J]. 物理与工程，2015，25(1)：49-52. Zhou Yuqing. A discussion about the ideal Sterling cycle’s principle of operation and factors that influence the efficiency of a real sterling cycle[J]. Physics and Engineering, 2015，25(1)：49-52. (in Chinese)

[5] 秦允豪. 普通物理学教程：热学[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2004：204.

[6] 严子浚. “概括性卡诺循环与卡诺定理”一文中的两个问题[J]. 物理通报，1992(8)：11. Yan Zijun. Two problems in the paper of“general Carnot cycle and Carnot theorem”[J]. Physics Bulletin, 1992(8)：11. (in Chinese)

[7] 刘凤鳌. 卡诺定理及其推广的简捷证明[J]. 工科物理(现刊名物理与工程)，1994(3)：18-19. Liu Feng’ao. Simple proof of Carnot theorem and its extension[J]. Physics and Engineering, 1994(3)：18-19. (in Chinese)

[8] 张成义.T-S图和可逆循环效率的计算[J]. 大学物理，1996，15(5):46-47. Zhang Chengyi.T-Sdiagram and the calculation of efficiency of reversible cycle[J]. College Physics, 1996，15(5):46-47. (in Chinese)

[9] 白玉林. 再谈任意循环极限效率的p-V图证明[J]. 大学物理，1997，16(8):48. Bai Yulin. Further discussion on the proof of limiting efficiency of arbitrary cycle byp-Vdiagram[J]. College Physics, 1997，16(8): 48. (in Chinese)

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THE CORRECT UNDERSTANDING OF CARNOT THEOREM

Zhou Xubo He Lizhu Wang Jin

(College of Physics, Qingdao University, Qingdao Shandong 266071)

The understanding of Carnot theorem and the efficiency of reversible cycle are very important in the teaching of general physics. However, it is easy to produce some misunderstandings on this. By the common problems in the teaching, the scope of Carnot theorem, the efficiency of reversible non Carnot cycle and the way of improving the efficiency of heat engine are discussed. We emphasize that the reversible heat engine of Carnot theorem is the Carnot cycle, the efficiency of reversible non Carnot cycle is generally related to the working substance and the shape of the circular curve, but there is a special case such as Carnot-like cycle etc. The way of improving the efficiency of heat engine is to make the cycle as close as possible to the Carnot cycle and improve the temperature difference between the two heat sources. Some vague understandings about it are corrected. This paper has a certain reference value for practical teaching.

Carnot theorem; cycle; reversible cycle; efficiency; heat engine

2016-09-26

山东省重点教学改革项目：依托国家级和省部级优势资源构建“四特、四能”创新型人才培养的实践教学体系(No.2015Z042);青岛大学教学研究与改革项目：物理公共基础课教学改革研究(2016WLJY04)。

周旭波，男，副教授，主要从事基础物理教学工作，研究方向为物理海洋数值模拟，zhouxubo9@163.com。

周旭波,何丽珠,王进. 卡诺定理的正确认识[J]. 物理与工程，2017，27(4)：57-59.