区间痕迹下事故再现结果不确定性分析的改进仿射法

邹铁方，彭海涛，肖 璟，蔡 铭，李 华

(1. 长沙理工大学 汽车与机械工程学院，长沙 410114； 2. 工程车辆安全性设计与可靠性技术湖南省重点实验室，长沙 410114； 3中山大学 工学院 广东省智能交通系统重点实验室，广州 510275)

区间痕迹下事故再现结果不确定性分析的改进仿射法

邹铁方1，2，彭海涛1，2，肖 璟1，2，蔡 铭3，李 华1，2

(1. 长沙理工大学 汽车与机械工程学院，长沙 410114； 2. 工程车辆安全性设计与可靠性技术湖南省重点实验室，长沙 410114； 3中山大学 工学院 广东省智能交通系统重点实验室，广州 510275)

区间痕迹下事故再现结果亦为区间，当采用仿射算法分析再现结果不确定性时，因再现模型的非线性而会导致分析结果偏离真值。为提高不确定性分析的精度，借助泰勒展开式对仿射法进行改进。改进仿射法先对事故再现模型进行标准化处理，再对模型进行泰勒展开，得到理想的泰勒展开式；接着对泰勒展开式内的变量进行仿射转换，并用矩阵形式表达；用区间多项式上下界公式计算出事故再现结果的取值区间。进一步，给出了分析仿真再现结果不确定性的改进仿射法步骤，并用3个数值算例和一个真实案例验证所提出的方法，结果表明，改进方法能提高计算结果精度，且实用范围广，表明其能用于实践中。

事故再现；不确定性分析；仿射算法；区间痕迹；区间

事故中的痕迹是事故再现的基础，但由于事故现场痕迹的复杂性、人们认知的局限性及事故后人们反应的滞后性等，使得测量人员往往不能准确地测得相关痕迹，而只能给出一个范围，由此导致区间痕迹的产生。区间痕迹下事故再现结果理应为区间，如何计算此区间则成为事故再现结果不确定性分析的重要内容，已成为了事故再现中的研究热点之一[1-2]。为此国内外学者展开了积极研究并取得若干成果，如张雷等[3]提出的随机摄动技术、袁泉等[4]将不确定度评定基本方法引入该领域、张晓云等[5-6]提出的反问题中的概率分析法及不确定轨迹优化算法并应用到事故再现领域、邹铁方等[7]提出的事故再现结果不确定性分析的区间算法。相比于其他方法，区间算法计算更加简单，但是该方法会存在区间扩张的问题，为减小区间扩张对不确定性分析过程产生的影响，谢永强等[8]把仿射算法引入到此领域中。仿射算法在处理不确定性问题时能够最大程度的保留并体现出变量的相关性，并且仿射算法的运算规则具有优化性质，因此计算结果比区间运算更可靠。然而，仿射算法中由于近似逼近的存在，而使得它的乘法运算和除法运算存在误差，误差的大小与模型的非线性程度相关，非线性程度越高，误差就越大[9]。

针对仿射算法中乘法运算带来的误差，文献[10]给出了区间多项式上下界公式，该公式能够更精确的计算区间多项式的结果区间，但是该公式却不能直接用于仿射算法的除法、开方等运算中，不能减小这些运算带来的误差。而事故再现模型不仅常为非线性，还经常包含除法特别是开方运算，为此，本文提出改进的仿射算法，该方法通过泰勒转换把仿射运算中的除法等运算转换为乘法运算，进而再利用区间多项式上下界公式计算结果取值区间。

1 问题描述

在事故再现中，根据不同的事故形态，可建立起相应的事故再现模型，最常见的有车-人、车-车、车-两轮车碰撞模型及车辆轨迹、人体多刚体和洒落物抛距等模型[11]。但不管涉及到多少模型、模型如何复杂，均可用式(1)表示

y=f(X),X=(x1,…,xs)T

(1)

式中：y为事故再现结果，一般为事故车辆车速；X为输入参数，如事故现场测量参数、几何参数和车辆参数等；s为输入参数的个数。注意到交通事故发生后，第一时间是救援且警方、医疗及事故深度调查等部门均是在接警后才出警，导致事故现场受人为或环境的影响而被不同程度的破坏，再加之人们认知的局限，使得X的准确值很难给出，常用区间值来代替。在此情况下，如何根据输入X的取值区间来确定输出y的取值区间是事故再现结果不确定性分析的主要任务。

2 事故再现结果不确定性分析的改进仿射算法

如前所述，为确保仿射算法能应用于事故再现结果不确定性分析中，提出如下改进仿射算法，其先对事故再现模型进行标准化处理，接下来将标准化处理后的事故再现模型进行泰勒展开，再将去掉余项的泰勒展开式表达为区间多项式形式，最后选用区间多项式上下界公式计算y的结果区间。各步骤如下所示。

2.1 事故再现模型的标准化处理

在对已知的事故再现模型进行泰勒展开之前先对原函数进行标准化处理，标准化的目的是将模型函数的变量控制在区间[-1,1]内，进而加快模型函数之泰勒展开式余项的收敛速度，从而提高最终计算结果的精度。假设原函数为y=f(x), x∈(a,b)，那么标准化后原函数变为

(2)

标准化处理之后的函数表达式会发生变化，但是标准化处理不会对函数的真实结果产生影响。

2.2 对标准化模型进行泰勒展开

对事故再现模型标准化处理后，再对其进行泰勒展开，以二元函数为例，其泰勒展开公式如式(3)所示。

设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一领域内连续且有直到n+1阶的连续偏导数，若(x0+h,y0+k)为此邻域内任意一点，则有

(3)

由2.1节可知，对模型函数进行标准化的目的是为了加快泰勒展开式余项的收敛速度。泰勒展开式余项的收敛速度越快，计算所得结果收敛的就越快；如果泰勒展开式的余项收敛速度慢，则计算所得结果将会不理想，此时建议引入子区间技术以加快计算结果的收敛速度。

对于余项收敛速度快的泰勒展开式，去掉其余项，再将模型函数的泰勒展开式表示为区间多项式形式

(4)

至此，事故再现模型已成功转化为区间多项式形式，直接通过区间多项式上下界公式便可以计算出事故再现模型的结果区间。

2.3 基于区间多项式上下界公式的事故再现结果区间计算

当获得事故再现模型的区间多项式形式后，定义

(5)

(6)

令矩阵D=BAC，则二元区间多项式f(x,y)的等价仿射函数为

(7)

(8)

(9)

如函数为三元函数，则其区间多项式形式为

(x,y,z)∈[xL,xU]×[yL,yU]×[zL,zU]

(10)

可将该式改写为张量积形式，即

f(x,y,z)=X⊗x(Z⊗zA)⊗yY

(11)

式中：X=(1,x,…,xn)；Y=(1,y,…,ym)T；Z=(1,z,…,zl)；Aijk为张量系数。

(12)

(13)

根据文献[12]，则f(x,y,z)的上下界公式可给出

(14)

(15)

依此类推，其他多元情况下均可推导出相应的上下界公式进行计算，限于篇幅，后面所有工作均仅以二元函数为例。

2.4 算例分析

下面用3个数值算例来验证此改进仿射算法：

用仿射算法、区间算法与本文方法计算各算例中值域，结果列入表1中。

表1 不同计算方法的结果比较

通过表1中的不同计算方法得到的结果对比可以发现，对于算例1，区间算法和仿射算法这两种方法得到的结果都已失真，而用本文方法计算得到的结果区间接近真实值；对于算例2，区间算法计算得到的结果已失真，仿射算法计算得到的结果比较接近真实值，本文方法计算得到的结果精度比仿射法更高；对于算例3，用仿射算法计算得到结果误差很大，区间算法计算得到的结果比较可靠，而本文方法计算得到的结果更加可靠。总的来说，通过这3个算例可以发现，本文方法计算得到的结果更接近真实值，计算结果的精度比区间算法和仿射算法更高。而对于区间多项式上下界公式，因3个模型中均含有除法运算，故据此公式均无法获得相对应的值域。

3 仿真再现结果不确定性分析步骤

因能充分利用事故现场痕迹对事故进行再现，仿真方法在事故再现中越来越受重视。但仿真中模型为隐式，由于不知道模型的具体表达式，无法对其进行标准化处理，则需进行以下操作：首先用拉丁超立法抽样在区间痕迹空间域内设计实验，得到均匀的实验样本；接着根据实验样本，借助隐式模型计算车速；然后依据所得车速及实验样本进行回归分析，得到隐式模型的近似响应面模型，最后再对所得响应面模型进行标准化处理。事实上，因为回归模型具有可控性，因而常在获取响应面模型过程中，采用多项式的形式，则可以直接省去后续的泰勒展开步骤。具体步骤如下：

步骤1 借助拉丁超立法实验设计方法，在由区间痕迹所组成的不确定空间域内生成均匀分布的实验样本；

步骤2 根据实验样本，借助Pc-Crash软件对事故进行再现仿真，确保每一次仿真实验中仿真痕迹均与实际情况吻合，得到与实验样本相符的车速；

步骤3 将步骤2中通过Pc-Crash软件仿真得到的车速与对应的实验样本进行回归分析，得到事故再现模型的近似响应面模型；

步骤4 对近似响应面模型进行标准化处理；

步骤5 对标准化处理后的模型进行泰勒展开，得到泰勒展开式；

步骤6 判断泰勒展开式通项的收敛速度，如果通项的收敛速度快，则泰勒展开式表达为矩阵形式多项式；如果泰勒展开式通项的收敛速度慢，则直接改用子区间法进行计算；

步骤7 通过区间多项式上下界公式计算，输出结果区间取值区间。

对于仿真来说，步骤3、步骤4、步骤5、步骤6常可合并，在获取响应面模型过程中，则选择矩阵形式多项式。

4 真实事故案例分析

这是一起真实的车-两轮车碰撞事故：2014年的5月的某天上午，天气晴，在我国湖南省某地，一辆自西向东行驶的小轿车和一辆自西向北转弯行驶的两轮电动车发生碰撞，造成了两轮电动车驾驶员死亡的重大交通事故。事故现场为干燥沥青路面，其摩擦因数为u，根据《典型交通事故形态车辆行驶速度技术鉴定》[13]，u的取值区间为[0.6，0.8]；在事故现场采集到了小轿车的制动距离s，其长度为[20.3， 23.8] m。图1给出事故现场示意图。根据警方的委托，需要对这起事故中事故小轿车的车速进行鉴定。

图1 事故现场示意图Fig.1 A sketch of the accident scene

根据改进仿射算法的步骤，先在不确定区间痕迹空间域内生成均匀分布的实验样本点，数据见表2。

表2 实验设计及仿真实验结果

然后根据表2中数据，借助Pc-Crash进行仿真再现，要求每一次再现中均保证事故现场痕迹均能在仿真中得到合理的解释。如进行第5次实验，需要反复调整车辆的车速及其他相关参数，以使仿真中痕迹与事故现场痕迹相吻合。图2给出两轮车变形情况对比，可以发现，两轮车的最大变形位置和仿真中碰撞位置是吻合的，这说明两轮车与小轿车的接触位置与实际情况是相符的；图3给出两轮车驾驶员头部与小轿车风挡玻璃接触位置，在图3中，小轿车挡风玻璃凹陷破碎的地方和仿真试验中被撞人员头部接触位置一致，这说明人车接触位置与实际情况是相符的；图4是仿真试验的二维仿真结果，由图4可知，两轮车驾驶员、两轮电动车和小轿车的最终位置和事故现场图能很好的吻合，说明仿真结果能很好的符合实际情况。相应的实验结果(事故车辆车速)列入表2中。

图2 小轿车与两轮车碰撞时的相对位置Fig.2 The relative position of the motorcycle and the vehicle

图3 两轮车驾驶员头部与小轿车挡风玻璃接触位置Fig.3 The relative position of the pedestrian and the vehicle

图4 二维仿真结果Fig.4 Simulation results (2D)

依据表2中的数据，通过回归分析，可得近似响应面模型

v=62.274+0.116s+14.827u+29.917u5

(16)

该回归方程的相关系数为0.997、残差平方和为0.11，表明回归关系显著。由于在回归分析时，已对近似响应面模型的表达式进行控制，得到的回归模型函数可以直接表达为矩阵形式的二元区间多项式形式，故无需再对回归模型函数进行标准化处理和泰勒展开。接下来用区间多项式上下界公式计算车速的取值区间，为[75.8， 86.7]km/h。很显然，在事故鉴定过程中，这样一个区间值比仅给出一个单一的数值说服力要大得多，特别是在事故路段有限速值情况下，如60km/h，在此种情况下此案例中事故车辆无论如何均是超速的，可省去很多无谓争论。

5 结 论

结合仿射算法、区间多项式上下界公式及泰勒公式，给出了一种计算事故再现结果区间的改进仿射算法，详细介绍了该方法的各个步骤，特别是利用该方法分析事故再现仿真结果不确定性的步骤，最后给出了3个数值算例及1个真实案例。

(1)通过3个数值算例，将改进仿射算法与仿射及区间算法进行比较，发现不管是区间算法能算的很好案例，还是仿射算法能算的很好的案例，亦或是两种方法均算的不好的案例，均能借助改进仿射算法得到这些案例的好的结果。至于区间多项式上下界公式，因其不能计算除法，故在这3个算例中均无法应用。

(2)通过一个真实的车-两轮车事故案例，演示了并论证了文中所给出的分析事故再现仿真结果不确定性的改进仿射算法，计算结果表明，用改进仿射算法可以依据事故现场不确定区间痕迹获得事故再现结果的取值区间。

(3)改进仿射算法在计算事故再现结果区间时，虽能得到较好的结果，但是计算结果与真实值还存在一定误差，这是后续工作需要努力的地方。

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A modified affine arithmetic for analyzing the uncertainty of reconstructed results in traffic accidents with interval traces

ZOU Tiefang1,2, PENG Haitao1,2, XIAO Jing1,2, CAI Ming3, LI Hua1,2

(1. School of Automobile and Mechanical Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China; 2. Hunan Province Key Laboratory of Safety Design and Reliability Technology for Engineering Vehicle, Changsha 410114, China; 3. Guangdong Provincial Key Laboratory of Intelligent Transportation System, School of Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

The reconstructed result in a traffic accident with interval traces is still interval. The result obtained from the affine arithmetic is not so accurate because of the nonlinear of the accident reconstruction model. In order to enhance the accuracy of a reconstructed result, the affine arithmetic was modified by combining the Taylor series. In the modified method, the accident reconstruction model was standardized and expanded as Taylor series firstly. And then, the Taylor expansion was converted to its affine form and recorded as a matrix. The interval of the reconstructed result could be calculated by the upper and lower bounds formula finally. Furthermore, steps of the modified method in analyzing the uncertainty of a simulation result were given. Three numerical cases and a real accident case were analyzed. It is shown that results obtained from the modified affine arithmetic are all accurate and the method can work under any conditions, which proves the modified method is practical.

accident reconstruction; uncertainty analysis; affine arithmetic; interval traces; interval

国家自然科学基金(51405035)；湖南省自然科学基金(2016JJ2003)； 广东省科技计划项目(2015B010110005)；道路交通安全公安部重点实验室开放基金(2016ZDSYSKFKT08)

2016-04-08 修改稿收到日期： 2016-07-06

邹铁方 男，博士，副教授，1982年7月生

U491.3; TP391.91

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.011