水下发射航行体空泡、气泡和自由面相互影响的理论研究

陈玮琪

（中国船舶科学研究中心，水动力重点实验室，江苏无锡214082）

水下发射航行体空泡、气泡和自由面相互影响的理论研究

陈玮琪

（中国船舶科学研究中心，水动力重点实验室，江苏无锡214082）

基于势流理论、细长体理论和奇点分布法，对水下发射过程中的航行体空泡、自由面和筒口气团的相互影响开展了理论研究。文中用一个奇点模拟气团、用沿轴线分布的奇点模拟细长体形状的航行体和空泡，建立了自由面影响下的气团和空泡相互耦合的动力学模型，提出了非定常流场中带气体泄漏现象的含气空泡的压力估算方法。实验结果验证了文中提出的模型的合理性。

空泡；自由面；奇点分布法；格林函数；细长体；气泡

0 引言

水下高速航行体的空泡现象一直受到关注，尤其是在俄罗斯提出超空泡减阻技术并发展出超空泡鱼雷之后，水下空泡的研究就引起了各国的极大重视。Savchenko等人[1]基于空泡形态的测量数据和量纲分析，建立了空泡形态与空化器阻力、空化数等之间的经验关系式。Fridman[2]总结了非线性超空泡流理论研究的方法。Kinnas和Fine[3]、Semenenko[4]发展了计算二维或轴对称超空泡的边界元方法；Delannoy和Kueny[5]、Senocak[6]发展了计算三维空泡的Multiphase CFD方法。在工程上，那些既能反映力学本质又具有简洁形式的空泡模型也得到深入研究，Logvinovich[7]提出的“空泡截面独立膨胀原理”就是广泛应用于充分发展空泡的简化计算模型。陈玮琪[8]就基于此原理对水下垂直空泡的发展和出水溃灭过程进行了计算。但是在实际问题中，水流场会受到船舶航行、水下爆炸、水下发射等各种扰动源的影响，导致航行体穿越的实际上是一个非定常流场。在非定常流场中，空泡的演化过程必然不同于均匀流场，因此研究非定常流场中的空泡计算具有重要意义。

考虑水下航行体从一个水下筒中利用高压气体弹射出来的空泡问题（见图1），航行体高速弹射出来后，在航行体尾部将产生一个空泡，同时筒中的气体随航行体一起冲入水中并在筒口产生一个迅速膨胀的气团，气团刚开始与空泡相连，随后气团将会与空泡分离。但是，即使空泡距离气团较远，由于气团的膨胀或收缩对整个流场产生了扰动，气团对空泡的发展仍然具有重要影响。俄罗斯专家在1994年之前就从理论上研究了这个问题，他们通过将筒口气团等效于一个球泡、将航行体尾空泡近似为圆柱体外形后，利用Rayleigh-Plesset方程作为筒口气团的动力学方程，计算了航行体尾部空泡的形态及压力变化过程。采用类似的思想，国内李杰和鲁传敬[9]将尾空泡等效为球形，建立了尾空泡泡内压力变化模型，并与航行体运动学方程的联合求解，讨论了尾空泡对弹道的影响。程少华和权晓波[10]采用类似俄罗斯专家的方法将筒口气团与尾空泡的演化过程分为四个阶段分别进行了计算，但是他们用一个指数函数模拟了筒口气团内的温度下降过程。

在上述理论研究中，对自由面的影响研究不多。这其中可能的原因是，加入水面因素之后，问题就从空泡与气团的相互作用，变为自由面、空泡和气团三者的耦合作用，这使得问题的数学描述变得相当困难。但是，我们认为，自由面的存在极大地改变了水下流场中的压力场形态，对空泡压力及其发展过程的影响不可忽略。因此，为了深入探究筒口气团对空泡的影响机制，本文对自由面影响下的非定常流场中的空泡发展开展了理论研究。

1 问题的一般提法

水下带空泡航行体与筒口气团的示意图见图1。在原来静止的流体中，位于水深H处的筒中弹射出一个细长带空泡航行体，并以速度U向上垂直运动。显然，当气团膨胀或收缩时，会导致航行体周围的流场发生变化，从而改变空泡外形；反过来，航行体及空泡的运动，也会改变气团周围的流场及气泡的运动，因此双方的影响是相互耦合的。

图1 水下气泡与航行体空泡示意图Fig.1 Illustration of underwater gas bubble and vehicle’s cavity

建立坐标系oxyz，xoy平面与静止水面重合（见图1水平虚线），z轴垂直向上。设重力流体是理想、不可压和无旋，因此流场存在速度势φ=φ（）t。但是注意到图1中的航行体是在一个双连通流场中运动，因此还需设流场中无环量，同时给定水面、空泡面和球泡面上法向速度初值，即给出Neumann边界条件，且在无穷远处满足，则流场中存在唯一的速度势满足Laplace方程：

边界条件：

（2）自由水面（Sf:free surface）：DSf/Dt=0，psf=p0=const.。p0为大气压力。

（3）气团面（Sb:bubble surface）：DSb/Dt=0，psb=pb。pb为气团压力。

（4）空泡面（Sc:cavity surface）：DSc/Dt=0，psc=pc，pc为空泡压力。

（5）航行体浸湿面SA上不可穿透条件：∂φ/∂n=n·U，n为航行体外表面的法向量。由于问题是非定常的，因此还有初始条件：

（6）零时刻水面静止Sf（0）=0，速度势φ（0）=0。

（7）气团初始外形Sb（0）、初始速度∂φ/∂n及压力pb（0）。

（8）空泡初始压力及外形：pc（0），Sc（0）。

（9）航行体初始速度及位置：U（0）=U0，z（0）=z0

原理上利用边界元结合时间推进的数值方法可以求解上述初边界条件下的Laplace方程，得到空泡和气泡的演化过程，但是数值求解是相当复杂的，因此本文致力于寻找在工程上有用的近似解。正如俄罗斯流体力学专家Logvinovich[7]所言：应该牢记，很少有重要的水动力学问题是在与实际流动相当接近的流型中被解出来的，在大多数重要场合，为了提出数学解，原始的流动模型在某些程度被简化，所得出的解能在一定程度上反映所包含的实际物理过程。也就是说，为了求解复杂问题，必须采用包含模型的方程，这些模型在物理上可能不完全精确，但利用它可以给出工程上感兴趣的近似解。

2 自由面的线性化

从原理上来看，气团与自由面的相互作用，同时会导致气团和自由面的不断变形[11]，从而使问题变得复杂。但是现实中的问题存在三个特点：

（1）气团、空泡和航行体的最大直径都远小于水深H。

（2）航行体是细长体，且航行速度较高，因此尾空泡也呈细长外形。

（3）航行体从出筒到出水的时间t非常短暂。

依据特点（1），可知气团与自由面之间的相互影响很小[11]；依据特点（2），在航行体空泡未出水前，空泡截面主要是径向膨胀，对自由面的扰动也很小（这里不考虑细长体航行体对自由面的扰动）；再考虑特点（3），因时间短暂，自由面还未来得及变形很大。因此在上述三个条件下，自由面波动很小，可以线性化。设自由面方程为z=h（ x,y,t），g是重力加速度，则自由面线性化的动力学和运动学条件分别为

3 筒口气团的模型

当气体从筒内高速进入水中开始形成气团时，根据对称性可看出气团近乎球形。研究表明[11]，当球泡距水面较远时，球泡的膨胀过程也近乎维持球形。因此，在航行体出水的短暂过程中，气团都可以用一个球形气泡近似（见图1），而球泡的膨胀（收缩）又可以用一个点源（点汇）描述。模拟球泡的点源强度根据气团膨胀时排开的总流量来计算。如果设点源强度为Q（t），球泡的半径为R，膨胀或收缩速度为，则模拟球泡的点源（汇）的强度与半径之间的关系为本文称Q（t）为气团的脉动强度。

气团与球泡形状的微小偏离，可以用球泡上非均匀分布的奇点来进一步描述，这些奇点的总强度为0。不难看出，这些球面奇点对较远位置的总效应相当于一个偶极子扰动，所诱导的速度势按O（1/r2）衰减，远快于点源的O（ 1/r），因此从工程角度来看，球面上奇点的影响相对点源来说可忽略。

4 线性自由面条件下的点源解

何友声在文献[12]中给出了线性自由面条件下沿任意路径运动的变强度点源速度势，设源点坐标为p=（ξ（t）,η（t）,ζ（t ）），强度为Q（t），场点坐标为q=（x,y,z），则其解为

5 轴对称流动的奇点解

当航行体以垂直方式出筒并忽略球状气团的变形时，整个流场是轴对称流动（见图1）。航行体及空泡都是轴对称细长体，所以可以用对称轴上的源分布来给出航行体和空泡的扰动势；又因为筒口气团可用一个变强度点源来描述，所以整个流场的扰动势可用图2所示的奇点分布模型给出。

图2中l0（实线）是航行体长度，l1（虚线）是尾空泡长度。为了方便，图中的坐标改为柱坐标。这里假设航行体与尾空泡构成一个完整的光滑细长体，细长体的横截面积定义为S（z），且细长体两端同时满足S（z）=0和S′（z）=∂S/∂z=0。图中的奇点可选取满足线性自由面条件的点源解。

设航行体和空泡轴线上分布的源强密度为q（ζ,0,t），对应的源点坐标为（ζ,0），所研究的场点坐标为（z,r），筒口气团的源强为Q（t），则利用（3）式，流场的速度势可以表示为：

图2 水下航行体空泡和气泡的奇点分布模型Fig.2 Singularity distribution model of vehicles’cavity and gas bubble

从数学形式上来看，φ1是不考虑筒口气团影响的空泡航行体的速度势，φ2是不考虑空泡航行体的筒口气团的速度势。但是，由于源强分布须根据叠加速度势φ=φ1+φ2满足航行体、空泡和球泡的边界条件而求出（速度势φ自动满足线性自由面条件），因此φ1与φ2是相互耦合的，下面分别讨论之。

（1）航行体上的边界条件

根据细长体理论，在细长体边界上应满足条件[14]

将速度势的表达式（4）～（6）代入（7）式中进行数学运算可求出源强。但是如果采用物理意义来理解，则更容易看出最后结果。注意到对航行体轴线上某点径向速度有贡献的只能来自紧邻区域的源[13]，因此来自水面以上镜像点和水下筒口气团的点源对航行体轴线上的径向速度的贡献为0；再注意到贝塞尔函数的偏导数

这表明来自自由面波动的贡献也为0。这从物理上也好理解，由于水面外形也是轴对称，因此对径向速度贡献必然为0。根据上述分析可看出航行体轴线l0上的源强为

由于航行体外形已知，因此航行体轴线上的源强q（ z,t）也是已知的。

（2）空泡的边界条件

设空泡外形的半径为Rc=Rc（z），因空泡也是一个自由面，所以在空泡表面上需满足运动学条件和动力学条件：

根据类似前面的讨论，镜像点、球泡点源和自由面波动对空泡径向速度的贡献为0。

再将（13）式代入动力学条件（11）式，将得到一个非常复杂的表达式（略）。（13）式中的未知量Q （t），即球泡的脉动强度，需根据球泡的动力学条件给出，见下文。

（3）球泡的边界条件

气团表面也包括运动学边界条件和动力学边界条件。当气团用球泡近似时，运动学边界条件自然满足，因此只需考虑动力学边界条件。由于球泡半径远小于水深R/H＜＜1，因此这里用球泡中心深度H近似球面上任意点的深度，于是动力学条件可表示为

将速度势φ的表达式（4）～（6）代入（14）式，可以得到类似（13）式的复杂表达式。

原则上，将等式（11）～（14）联立求解，可求出源强q（ z,t）和脉动强度Q（t），再由（4）～（6）式得到速度势，由（2）式得到自由面形状。

但是在（13）式中包含复杂的积分，求解并不简单，从工程角度来看，还希望能更简化，因此下面讨论一种符合实际问题的单向耦和解。

6 单向耦合

6.1 气团的脉动强度

从物理上来看，航行体和空泡的所有能量，以及整个水流场中的能量，都来自于筒中高压气体释放的能量，因此航行体及空泡受气团的影响不可忽略。但是，相对于整个流场的能量来看，航行体和空泡的能量在其中只占很少一部分，因此反过来看，航行体和空泡对筒口气团的影响很小，在一定条件下可忽略，这就是单向耦合的含义。在这种意义下，气团的速度势可忽略航行体和空泡上的奇点影响，即有

从中可看出，气团上不同点的速度势并不相同，与θ有关。这个差异与球泡假设有矛盾，但是正如在第3章所述，这个矛盾可以用球面分布的奇点来弥补，而这些奇点的影响相对又可忽略。因此，考虑到球面顶点位置最靠近航行体空泡，这里简单的取球泡顶点的速度势作为整个球泡速度势的近似值，即取θ=π/2，得到

对时间求偏导得到

（18）式是一个一阶非线性常微分方程组。如果已知球泡压力变化规律pb=pb（t），或者再增加一个气体状态方程pb=ρgRgT（ρg、Rg分别是气体密度和气体常数），则可以通过常微分方程数值方法计算出气团的脉动强度Q（t）。

6.2 空泡的脉动强度

空泡轴线上的点源分布密度q（ z,t）由空泡表面的动力学条件（11）式给出。将速度势（4）、（5）、（6）式代入其中得到

注意到关系式

其中：β是速度向量▽φ1和▽φ2的夹角。

在细长体空泡条件下，▽φ1近似径向方向；而当气团距离空泡截面较远时，▽φ2近似为轴向方向，因此这两个速度的夹角接近垂直，即于是（20）式可改写为

等式右边的压力项

注意到（21）式所表示的物理意义，它可看作是单独一个带空泡航行体在环境压力为p1（t）的无界流场中运动的柯西-拉格朗日积分。因此，求解在自由面和气团影响下的水下带空泡航行体的问题，就转化为求解一个无界、非定常流场中的带空泡航行体问题，这个问题无疑要更为简单。

（21）、（22）式中速度势φ1，φ2分别由（5）式和（6）式求出，其中φ2的表达式为

将（23）式代入（22）式，即可求出环境压力p1（t）。再将p1（t）和φ1代入（21）式，原则上可求出q（ z,t）。但是速度势φ1和φ2的表达式（5）和（6）中仍然含有反映自由面波动影响的复杂积分项，计算还是比较复杂，因此需要对自由面波动的影响进行估算。

7 自由面波动的影响及特殊解

首先考察自由面对空泡的影响，见（23）式中等号右边第二项的积分项。注意到筒口气团的脉动强度Q（t）可正可负，但是由于筒内释放的能量有限，因此Q（t）必然是有限的。设其最大值为Qm＞0，再作变量替换，令则（23）式的右边第二项可变换为

其中的积分项

从不等式（26）可看出，如果发射筒释放的能量有限，则只要水深H足够大，出水时间t足够短，就远小于（23）式等式右边的第一项的绝对值大小，在这种条件下可认为自由面波动对空泡表面的速度势的影响就很小。同样的方法可证明在上述条件下自由面波动对速度势的变化率影响也很小。类似地，利用（16）式也能用同样方法证明在上述条件下自由面波动对筒口气团的影响也很小。于是可得出一个结论：只要t/H＜＜1，就可忽略自由面波动影响，即从速度势的表达式中去掉积分项。

在（18）式中去掉积分项，得到简化的气团动力学方程

在（23）式中去掉积分项，再代入（21）式中，并注意到Rc/H＜＜1且z有限，可得到气团产生的速度势表达式

气团在所考察的空泡截面位置z上诱导的速度为

将（28）、（29）式代入（22）式得到环境压力的表达式

在（5）式中去掉积分项，得到φ1的简化表达式

将（30）、（31）式代入空泡动力学条件（21）式，再结合（12）式，原则上可求出分布源强和空泡外形。但是我们注意到，即使不考虑自由面波动影响，φ1的表达式（31）依然包含复杂的积分项。因此直接利用（21）式求解空泡外形还是很困难。

但是，如果再次注意到将（21）式所表达的物理含义看作是单一的带空泡航行体在环境压力为p1（t）的无界流场中运动，且空泡为细长体，则可得知此时的空泡满足Logvinovich的“空泡截面独立膨胀原理”[7]。因此我们可以跳过（21）式所表达的复杂方程，而直接采用独立原理给出的空泡截面动力学方程[7]：

其中：a是反映空化器外形的常数。注意到方程中的环境压力项p1（t）由（30）式给出。

综上所述，可将单向耦合且忽略自由面波动影响的求解方法总结如下：

计算时，由前两个方程构成的方程组求出气团脉动强度Q（t），再代入第三个方程求出环境压力p1（z,t），最后根据独立膨胀原理方程组求出空泡外形。

在计算中还必须知道空泡压力pc和气团压力pb。其中，气团压力可以通过在方程组中增加一个气体状态方程联立求解得到，或者直接通过实验测量得到。但是空泡因存在气体泄漏现象而并不能简单地通过利用气体状态方程求出，因此需要通过另外方法确定。

8 空泡压力的测量与计算

当航行体刚出筒时，尾空泡内卷入了大量筒口气团内的气体，而不是饱和蒸汽，本文称这种主要成分为气体的空泡为含气空泡。空泡的特征主要包括空泡压力和空泡外形，实际上空泡压力和空泡外形是相互耦合，只要确定了两者之一，另一个就能计算出来。需要说明的是，由于空泡内部压力并不均匀，因此这里的空泡压力专指航行体底部上的压力传感器所测量到的空泡压力，也即空泡头部位置的空泡压力。

对于含气空泡压力，常规的计算方法都是先计算空泡外形及体积，然后利用气体状态方程得到空泡压力。但是注意到空泡尾部并不封闭，而是存在复杂的气体泄漏现象，泡内气体含量无法准确得知，因此不能直接应用气体状态方程，需要采用另外的方法来估算空泡压力。本文在这里提出一种结合物理意义和经验事实的估算方法。

含气空泡的典型实例可参考入水空泡和通气超空泡。入水空泡实验表明，在入水较长时间内，入水空泡的头部形状几乎不会发生改变，似乎空泡头部的是作为一个形状和体积都不变的空气容器在向前运动[14]。通气超空泡的实验研究也发现类似情况，当空泡数较小时，靠近空化器的空泡头部外形仅受空化器外形的影响，而与空化数无关。例如，对于圆盘空化器，有个经验型的“1/3”定律，即空泡头部外形由经验公式确定[7]。

综合上述两个经验事实，可推测至少在空化数较小时，空化器分离点附近部分的空泡外形保持不变（见图3虚线的前面部分），与空化器的运动速度、水深、空泡内部压力变化、外部环境压力变化等因素无关（但是这些因素会影响外形保持不变的空泡范围）。

因此，空泡靠近空化器的某一部分可以当作一个“固体面”来看待，而空化器底部测量的空泡压力应与“固体面”上的压力相同。设“固体面”上靠近空化器边缘的压力系数为-Cp：

其中：p1（h）表示航行体底部位置的环境压力，则空泡压力可按下式估算：

在短时间内Cp可近似为一个常数，其具体值与航行体底部外形有关，由实验确定。将（35）式的pc代入（32）式中可得到空泡截面动力学方程（32）的一种简化形式

9 实验验证

在实验中，我们只测量和比较了含气空泡压力，而没有比较空泡外形，这样做的另一个关键理由是，空泡压力的测量显然比空泡外形的测量更容易，也更精确。

实验原理参见图1所示，在水下固定位置H处放置一个发射筒，筒中航行体在垂直方向利用高压气体高速弹出。实验中测量的参数有：航行体的运动时间t、速度U、航形体尾部的水深h、空泡压力pc、球泡压力pb和环境压力p1的分布。测量方案见图3，通过沿航行体表面布置一排压力传感器sensor1…sensorN，可测量航行体周围流场的环境压力分布随时空间的变化。球泡压力和空泡压力由布置在航行体底部和空泡内的传感器测量得到。实验测量结果见图4、图5。其中所有实验结果和计算结果都已经无量纲化（用上标“*”表示）。

实验数据的处理过程如下：将球泡压力pb的测量值代入微分方程（33）中，利用数值方法求出气泡脉动强度Q；再将计算的Q值代入环境压力公式计算出航行体底部在水深h位置的环境压力p1（h,t），以及航行体表面上所有压力传感器位置上的环境压力值p1′；最后将计算p1（h,t）代入公式（35），求出空泡压力pc。在本次实验中，取参数Cp=0.07。

计算时，初始时刻取为航行体底部离开发射筒口一个半径的距离，球泡半径初始值取R（0）≈H-h（0），球泡膨胀速度初始值取航行体的初始速度

验证过程即是将上述计算值与实验测量值进行比较。航行体表面上压力传感器sensor1位置的环境压力计算值p1′和实测结果的对比见图6（左图），空泡压力的计算值与实测结果的比较见图6（右图）。

图3 压力传感器布置图Fig.3 Pressure sensor distribution scheme

图4 航行体速度（左图）和水深（右图）的测量结果Fig.4 Measured results of vehicle’s velocity(Left)and water depth(Right)

图5 球泡压力（左图）和空泡压力（右图）的测量结果Fig.5 Measured results of the pressure of spherical bubble(Left)and cavity(Right)

图6 测量压力与计算压力比较（左图：空泡压力；右图：sensor1压力）Fig.6 Comparison of measured and calculated pressure(Left:cavity pressure;Right:sensor1 pressure)

在t*=0和t*=0.01两个时刻，航行体表面上所有压力传感器测量的环境压力分布与计算的压力分布的比较见图7。

图7 两个不同时刻航行体上的压力分布的计算结果与实验结果的对比Fig.7 Comparison of calculated and experimental pressure distribution of vehicles at two different moments

图6右图显示，当t*＞0.5时，实验结果比计算结果偏大，经过分析表明，这是由于实验中航行体头部的空化影响了传感器sensor1的测量结果，而不是计算的原因。从图6、图7的比较结果来看，方程（33）的计算结果与实验结果吻合相当好，这表明本文所建立的球泡与空泡的耦合动力学模型是合理的。

10 结论

基于势流理论、细长体理论和空泡截面独立膨胀原理，研究了水下发射过程中筒口气团、自由面和航行体空泡的耦合运动，建立了自由面、气团和空泡相互影响的动力学模型，提出了带泄气现象的含气空泡压力的计算方法。研究表明，非定常流场中的含气空泡压力主要受流场的环境压力的影响，空泡外形则随着空泡压力的变化而进行自适应调整，空泡尾部的泄气，可视作是空泡受流场压力挤压后产生的。本模型也可用于水下爆炸对空泡的影响研究。

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Theoretical study of the interaction of the underwater-vehicle cavity,free surface and gas bubble in launching

CHEN Wei-qi
(Key Lab of Science and Technology on Hydrodynamics,China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

The interaction of cavity,free surface and gas bubble around the outlet of the launch silo in the process of launching vehicles underwater is theoretically studied based on the potential theory,slender-body theory and singularity distribution method.The gas bubble is simulated by one singularity.The slendershaped vehicle and cavity are simulated by singularities distributing along the axis.A dynamic model of the interaction of the bubble and cavity under the influence of free surface is built up.And the method estimating the pressure of gas-filled cavity in the unstable flow field with gas-leakage from the cavity is proposed. The experiment verification shows that the calculated results of presented model agree exactly with the experimental results.

cavity;free surface;singularity distribution method;Green’s function;slender body

O352

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.08.001

1007-7294（2017）08-0929-12

2017-04-02

水动力预研基金项目（51314010403）

陈玮琪（1971-），男，博士，研究员，E-mail:tiger_cwq@aliyun.com。