一道原创题的评析

河北省顺平县教育局教研室 郑泉水 (邮编:072250)

一道原创题的评析

河北省顺平县教育局教研室 郑泉水 (邮编:072250)

1 原题再现

图1

(1)利用尺规作线段AD的垂直平分线l(不写作法,但要保留作图痕迹);

(2)若P是直线l上一点且满足条件:位于线段AD的上方,∠PAD＝30°.连结PB、PC、PD.求证:PB＝PC;

(3)若点P′是点P关于直线AC的对称点,连结P′B、P′C,求的值.

2 试题评析

本题为原创题,它是一道知识与能力并行的几何综合题,它将尺规作图、几何画图、几何证明、几何计算等知识有机地结合在一起.综合考查学生的动手操作能力、逻辑推理能力、运算能力.试题起点低,三个小问题的难度依次递进:第(1)问是学生熟知的尺规作图—“作已知线段的垂直平分线”,在此基础上,第(2)问学生需根据题意画出图形,然后展开几何推理证明—利用三角形全等证明PB＝PC,这一问的难度也适中,多数学生不会存在问题;第(3)问的难度要稍大一些,学生除了根据题意画出图形外,还需运用“线段垂直平分线的性质”“直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半”“三角函数”“勾股定理”“用字母表示数(这里是线段)”等知识与方法展开运算,较好地体现了“考查核心主干知识”“考查通性通法”“能力立意”的命题理念.

3 试题解析

图2

(1)利用尺规所作线段AD的垂直平分线l如图2所示:

(2)因为P是线段AD垂直平分线上的点,

所以PA＝PD.

因为∠PAD＝30°,∠BAC＝120°,所以∠PDA＝30°,∠PDC＝150°,∠PAB＝150°.

所以△PAB≌△PDC(SAS).

所以PB＝PC.

(3)按题意画出点P关于直线AC的对称点P′,连结P′A.

因为点P′是点P关于直线AC的对称点,

所以P′A＝PA,∠P′AD＝∠PAD＝30°.

因为∠BAC＝120°,即∠P′AB＝90°.

2017-05-15)