改进巴西试验：从平台巴西圆盘到切口巴西圆盘1)

王启智李炼吴礼舟黄润秋

∗(地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，成都610059)†(四川大学土木工程及应用力学系，成都610065)

创刊60周年专栏

改进巴西试验：从平台巴西圆盘到切口巴西圆盘1)

王启智∗,†,2)李炼†,∗吴礼舟∗黄润秋∗

∗(地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，成都610059)†(四川大学土木工程及应用力学系，成都610065)

巴西试验是测试混凝土、陶瓷、岩石等脆性或准脆性材料拉伸强度的标准方法，在材料科学和土木工程中有广泛的应用，研究该方法的改进在科学和工程界都受到日益增长的关注.我们对巴西试验的原始试样即巴西圆盘(Brazilian disc,BD)提出一种新的构型：切口巴西圆盘(grooved Brazilian disc,GBD)，利用GBD加载直径两端的窄而浅的切口，消除完整巴西圆盘对径压缩加载时可能非中心起裂的缺点，这一点与我们过去提出的平台巴西圆盘(flattene Brazilian disc,FBD)相同.GBD的构型更普适，因为它涵盖了巴西圆盘和平台巴西圆盘.对于求解GBD切口顶点及其正前方近邻的应力，提出两个近似解析模型，分别求出对应的压应力和拉应力，用叠加原理最后推出的公式能够定性地预测应力的变化趋势，以及试样几何参数的影响.近似解析公式，有限元数值计算，对比实验的结果都证实，对径压缩圆盘的几何与表面边界条件的一个微小的改变，对巴西试验试样的几何稳定性和断裂过程产生显著和有利的影响.利用推出的切口应力公式进行试样几何参数的优化选择，可以使GBD比BD和FBD更具优越性.

巴西试验,切口巴西圆盘,平台巴西圆盘,解析,数值,实验

引言

70多年前，巴西学者Carneiro FLLB首先提出利用对径压缩圆盘试样测试混凝土的拉伸强度[1](图1)，该方法被冠名巴西试验.其后，著名的国际学会都将其定为测试混凝土、岩石等脆性或准脆性材料的拉伸强度的标准方法[23].巴西试验的弹性力学原理由力学大师赫芝和铁摩辛科给出[4]，其计算公式为[2-4]

式(1)表达的是含圆心的中部约80%加载直径上的均匀拉伸应力场.式中的P为作用在圆盘上的集中力，当P为临界值时求出的σt为拉伸强度，D为圆盘直径，t为圆盘厚度.

图1 巴西圆盘Fig.1 Brazilian disc

巴西试验由平板加载施加的集中力，会使起裂点发生在力接触点附近即圆盘边缘，而不是圆盘的中心附近，这违背了巴西圆盘(Brazilian disc,BD)试验的弹性力学原理[4]，使试验失效，这是由于式(1)不适用于靠近圆周边缘约20%的加载直径.为了解决此关键问题，我们曾提出平台巴西圆盘(flattene Brazilian disc,FBD)[57](图2)，适当选择面力加载角即平台角2β可以满足中心起裂的条件.FBD的测试原理是基于这种试样独特的载荷--位移曲线的两个临界点，分别对应载荷的最大值和其后的局部最小值，不仅可测拉伸强度，还可以用来测断裂韧度，这一工作[57]得到海内外学者广泛的认可和引用.以平台巴西圆盘(FBD)为先导[57]，继平台圆环(flattene ring,FR，或holed flattene Brazilian disc,HFBD)和压缩圆孔板(drilled compression,DC)之后[8]，我们又提出更加普适的切口巴西圆盘(grooved Brazilian disc,GBD)(图3).

图2 平台巴西圆盘Fig.2 Flattened Brazilian disc

图3 切口巴西圆盘Fig.3 Grooved Brazilian disc

提出GBD的思路与平台巴西圆盘类似，为了避免完整圆盘在加载时可能的非中心起裂，在危险区边缘挖去一点，类似医生切除肿瘤.GBD在圆盘的加载直径两端对称地加工切口，其深度a，宽度2b，半圆形切口底部半径b.这一新的试样构型，涵盖了圆盘直径两端的圆弧，平台，切口或裂纹这三种情况：a=0，b≠0为平台巴西圆盘；a=0，b=0为原始的巴西圆盘；a≠0，b=0为裂口巴西圆盘(cracked Brazilian disc,CBD)，但是CBD实际不容易实现.材料试验机平板加载时，一对大小是P/2的集中力压在切口的两个边缘(图3)，使切口尖点局部应力反压为拉.为了使起裂点不是切口尖点，该尖点O的拉应力，要比对径压缩完整圆盘时直径中部的拉应力的值小，或者不能大太多，文中会有具体分析.下面的第1，2节是GBD的两个应力解析解，第3节是数值解，第4节实验是针对3种试样构型(BD,FBD,GBD)有效性的比较.第5节是结论和讨论.

1 GBD切口尖点的正应力解析解

由于切口的尖点O的应力σo(0)不可能有精确解，见图4(a)，我们提出一个近似分析的方法，即基于两个模型分析应力的叠加.把加载分为两步：先加载完整圆盘，如图4(b)，即模型1，求出压缩应力σo1；然后挖掉一点加载直径末端的物质，形成底部半圆形的切口，并在槽边壁加上面力p，或其等效力Q，见图4(c)，即模型2，求出拉伸应力σo2.

图4 GBD切口顶点应力分析的叠加模型σo=σo1+σo2Fig.4 Stressat thegrooveapex of GBD,analysis isbased on superposition of twomodels

用模型1考虑切口尖点的压缩效应，由于切口小，假设切口的曲边边界可以当成直线边界，分别考虑图4(b)中两个集中力P/2的作用，用符拉芒(Flament)解[4]得到模型1的结果.用模型2考虑切口的拉伸效应，图4(c)要在原来自由的切口边上加上面力边界条件，该面力仍然由符拉芒解确定，但这样做比较复杂.换一种思路，由于拉伸效应是由弯曲引起，只要求出与原始一对集中力P/2对切口尖点的弯矩相等的切口开口处的一对张力Q即可，然后用帕里斯(Creager-Paris)解[9]得到模型2的结果.将模型1和模型2的结果叠加就是图4(a)的近似解析解.

1.1 两个模型的近似解析解

1.1.1 模型1的符拉芒解[4]

图5为半平面体在边界上受法向集中力P，符拉芒解给出一点(a,θ)深度和极角的应力公式[4]

图5 半平面体在边界上受法向集中力Fig.5 Half plane subjected to a concentrated forceon itsboundary

根据图4(b)模型1，用符拉芒解求出切口尖点位置O处的压缩应力σo1，它对应符拉芒解中的σy分量，与sinθ,cosθ,a有关，最终和切口几何尺寸a,b有关.

将式(3)代入式(2)中的σy得式(4),即图4(b)中的σo1

1.1.2 模型2的帕里斯解[9]

如图4(c)所示，欲求半圆弧切口的尖点O及其正前方的拉伸应力，可用断裂力学的帕里斯解[9].切口的两侧有面力p的边界条件，为了简化分析，只考虑弯曲拉伸作用，故只要求出与原来的一对集中力P/2对切口的尖点O弯矩相同的一对等效集中力Q即可,如图4(c),Q作用在切口开口处.弯矩相同的等效集中力就是Q=Pb/2a.当b/a=0时切口变为裂纹，由应力强度因子手册[10]可查得，其应力强度因子为

根据帕里斯解[9]，切口尖点拉应力是

将式(5)代入式(6)，得出σy,即图4(c)中σo2

1.2 切口尖点的正应力σo(0)

叠加模型1和模型2的解,就是图4(a)中切口尖点应力的σo的近似解析解

求得的应力σo与由式(1)计算的应力σt的比值为

其中，令形状因子F为

形状因子F描绘在图6中，横坐标已采用以10为底的对数表示.

切口的尺寸b/a值过小时GBD退化为CBD，b/a过大会使加载时GBD实际受力与FBD类似.考虑实际情况，b/a值在合理范围内取0.1～10，采用对数坐标得到F随b/a的变化曲线如图6所示，F值随着b/a值的增大而增大.b/a在0.1～1范围内F值缓慢增加，在1～10范围内急剧增加，这是由于b/a越大，弯曲效应产生的拉伸效应起到主要作用.

图6 式(9)和式(10)的形状因子F(b/a)Fig.6 Shape factor F(b/a)in Eqs.(9)and(10)

2 GBD切口尖点正前方近邻的正应力解析解

与第1节的分析类似，现在考虑GBD切口尖点正前方近邻的一点，见图7,其坐标是x，作用在该点的压应力[4]是σo1(x)

拉应力是[9]

推导式(12)时，注意切口对应裂纹的应力强度因子仍然是式(5).x=0时，式(11)退化为式(4)，式(12)退化为式(7).式(11)和式(12)叠加后总应力是

图7 切口尖点o正前方应力σo(x)Fig.7 Stressσo(x)atstraightahead of groove’sapex

其中形状因子Y为

式(14)中的形状因子Y描绘在图8中.每一条曲线对应一个b/a值，b/a取0.2,0.4,0.6,0.8,1时，GBD切口尖点正前方近邻，即x/a为0.1～1.在O点产生Y局部最大值，随后，Y值随着x/a急剧下降.因此，当D/2a为某一定值时，σo(x)在尖点处产生最大拉应力后急剧下降，注意这一拉应力区产生于局部，且范围较小.

图8 式(13)和式(14)的形状因子Y(x/a)Fig.8 Shape factor Y(x/a)in Eqs.(13)and(14)

对径压缩完整圆盘时，加载直径上产生的拉应力区约占直径的80%，假设GBD挖去的切口深度a最大值等于此压应力区的长度，即(D/2a)min=5.由图6可得b/a最小值为0.1，此时x=0.624，即(σo/σt)m in=3.12，由最大应力准则似乎不满足中心起裂的条件.但由图8可知其应力会急剧下降.因而，只要选择合适的构型尺寸,GBD中心起裂是有可能的，稍后再加分析.

3 数值解

3.1 切口尖点的正应力σo(0)

建立1/4GBD有限元模型，使用ANSYS有限元软件的plane82平面应变单元划分网格，共1272个单元，3941个节点.求解不同D/2a和b/a值条件下GBD的尖点应力σo(0)，其有限元模型及无量纲化后的σo/σt即σo/(2P/πDt)绘于图9.图9显示，在b/a∈[0.1～2]范围内，当D/2a=100时，σo/σt曲线出现负值且随b/a增大而增大；随着D/2a值的减小，σo/σt曲线呈现先增后减的特征.b/a越小，GBD可退化为CBD，甚至接近BD，因此，图中D/2a值较大时，尖点应力出现零值甚至负值.

图9 FEM模型和数值计算GBD切口尖点O的应力σoFig.9 FEM modeland calculatedσoat theapex of thegroove

图10 为当D/2a=20，b/a变化时，式(9)与数值模拟结果对比.当b/a=0.1时，σo/σt比值式(9)的结果为12.48，数值结果为12.32，两者相差无几.但b/a比值越大，两者结果差异就越大.因为推导公式时把切口的曲边边界当成直边边界，尖点离边界越近，即D/2a比值越大；且切槽宽度越大，即b/a比值越大，圆弧边界对其切口底部应力影响越大.

图10 D/2a=20时式(9)与数值结果对比Fig.10 Comparison between formula(9)and numerical resultswhen D/2a=20

3.2 加载直径上的应力分布

为了保证加载过程中试样中心起裂，尖点的拉应力要小，选择恰当的D/2a值使(σo/σt)min值尽可能小.因此计算D/2a取100/4,100/6,100/8,b/a取0.5,1.0,1.5,2.0时，GBD圆盘加载直径上的应力分布.结果为图11.D/2a值越小，在切口尖点产生的最大拉应力值也越小，这与前文分析一致.当D/2a=100/4时会出现压缩区，D/2a值减小，压缩区范围减小，甚至消失.图11显示,尖点处产生最大拉应力后急剧下降，会出现小负值，即压应力.由于拉伸应力从切口尖点处开始迅速下降，甚至还可能转变为压缩应力，而且此处的应力场是非均匀的，应力下降的梯度很大，因此，即使切口尖点处的拉伸应力大于2P/πDt，最大拉伸应力破坏准则也不适用.对准脆性材料的破坏，要考虑一个重要的参数即材料特征长度，求其上的平均应力，或者用临界距离理论(theory of criticaldistance)对应的点应力[1112]，因此，起裂就可能不发生在切口尖点，或者即使是短暂地发生也不能持续扩展.这一点也被下一节的实验观察所证实.

由图11可知：对所选取的切口几何参数，GBD直径中部约80%的拉伸应力是均匀的，而且就等于2P/πDt，与完整圆盘时相同.因此，若GBD满足中心起裂条件，就可以用式(1).在图12中，式(13)和式(14)给出切口尖点正前方近邻的应力的解析解，比数值计算结果大，但趋势一致.

图11 数值计算不同几何参数GBD圆盘加载直径上的应力分布Fig.11 FEM calculated stressdistribution along loading diameter forGBD w ith di ff erentgeometric parameters

图12 b/a=1.0时式(13)与数值计算结果对比Fig.12 Comparison between formula(13)and numerical resultswhen b/a=1.0

4 实验

实验的目的是为了验证上文理论及数值分析的正确性，特别是验证GBD是否在中心起裂.试样石材选自四川雅安的青砂岩岩芯，其颗粒细致紧密，分布均匀，泊松比为0.21，密度为3.055g/cm3，弹性模量为17.67GPa.共取12个圆盘，直径100mm，厚度30mm.然后制作6个GBD，切口尺寸参数是b/a=0.5，D/2a=100/4；3个FBD加载平台角为20°；3个BD就是原始圆盘.用GBD，FBD，BD作对比研究.

实验在成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室的MTS-815刚性试验机上进行，机架刚度为10.5GN/m，直接对圆盘进行径向单轴压缩，采用0.05mm/m in的位移加载速率进行控制.3种圆盘试件典型的载荷--位移曲线如图13所示.加载时，GBD和BD载荷--位移(P-v)曲线达到最大载荷后，载荷直接下降；而FBD会出现二次倒拐现象，最大载荷后面会发生一个先下降后上升的过程.

图13 加载圆盘试件和载荷--位移曲线Fig.13 Specimen and load-displacementcurves

图14 3种试件裂纹起裂位置与扩展方向Fig.14 Typicalphotosof crack initiation location and propagation for GBD,FBD,and BD

圆盘试件径向受压在中心处起裂，随后裂纹将沿径向扩展，若在非中心起裂则为失效试件.图14为数码相机拍摄的3种试样的破裂情况，照片经软件处理后得到每隔0.04 s记录的图片，可以清晰地观察到试件的裂纹起裂位置及扩展方向.图14(a)显示，GBD-3试件从圆盘中心处先起裂，产生细裂纹，随着裂纹的扩展，中心裂纹的宽度也在逐渐增大，但切口附近没有裂纹.从图14(b)可观察到FBD-3试件也有同样的现象.图14(c)中的BD-1试件观察到边缘起裂后的裂纹扩展，(0.04s后)瞬间出现贯穿直径的主裂纹，及加载点附近产生的次生裂纹.当然，对裂纹扩展路径更加精细的观察需要动用高速摄影装置.

6个GBD试件中有5个能成功观察到中心起裂，径向裂纹沿加载直径扩展.加载平台满足一定角度的FBD试件可以保证中心起裂[7]，实验选用的3个FBD试件均为中心起裂.而3个BD试件，仅有一个(BD-1)中心起裂，非中心起裂的试件最大载荷值小，数据分散.全部实验数据见表1,¯Pmax为最大载荷平均值.

表1 3种圆盘实验数据Table 1 Experimentaldata forGBD,FBD,and BD

非中心起裂的测试是无效的，从表1可知有效最大载荷的平均值：GBD是24.9 kN，FBD是26.19kN，GBD是FBD的92%.GBD有恰当的切口几何参数就可以直接应用式(1)，而FBD用式(1)时要乘一个系数0.95，这是文献[6]标定的结果，显然，0.92与0.95非常接近，这也说明了GBD测试结果的有效性.3个BD测试结果中有2个是无效的.

5 结论

发表在学科期刊(IJRMMS,JMPS)上的论文[13-16]表明，解决巴西试验长期存在的问题，一直是国际岩石力学和固体力学研究的一个热点.为了克服BD可能非中心起裂的缺点，必须减弱加载端的压应力集中.早前提出的FBD做到这一点[57]，本文提出的GBD甚至反压为拉，产生切口顶部的拉伸应力.研究表明，只要对圆盘几何边界做一微小的改变，可以显著地改变施力点附近的应力，从而影响试样测试的几何稳定性和断裂过程.

对GBD的切口应力解提出的近似解析模型是有效的，由此推出的近似公式能够预测切口尖点和正前方应力的变化趋势，被有限元分析证实.公式可用于GBD试样几何参数的选择，较小的b/a值和合适的D/2a值，可使切口尖点产生的拉应力值较小，避免切口尖端先于中心起裂.选取恰当的切口几何参数，GBD中部直径的拉应力与BD一样，可以直接应用公式(1).初步建议的GBD尺寸范围为b/a为(0.5～2)，D/2a为(15～30).

实验说明，BD在集中力作用下压应力集中程度很高，容易引发圆盘边缘开裂，且最大载荷数据分散，使巴西试验的有效性不高.GBD的实验结果有效性比BD显著提高，如果在切口用细圆棒加载可能更好.GBD和FBD试样加工的几何精度(平行度，对称性)会影响加载准确性(点接触，面接触，1点接触，2点接触).GBD沿直径一分为二的断面比FBD和BD都要规整.

GBD还不能像FBD那样得到载荷-位移曲线的第2个拐点用于断裂韧度测试.因为GBD中心起裂后成为中心穿透直裂纹切口巴西圆盘(crack straight through grooved Brazilian disc,CSTGBD)，其应力强度因子与中心穿透直裂纹巴西圆盘(crack straight through Brazilian disc,CSTBD)类似，随裂长单调上升；与中心穿透直裂纹平台巴西圆盘(crack straight through flattene Brazilian disc,CSTFBD)[17]的先升、后降有一个最大值不类似.

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17张盛,王启智.用5种圆盘试件的劈裂试验确定岩石断裂韧度.岩土力学,2009,30(1)：12-18(Zhang Sheng,Wang Qizhi.Determ ination of rock fracture toughnessby split testusing fve typesof disc specimens.Rock and Soil Mechanics,2009,30(1)：12-18(in Chinese))

IMPROVEMENTOFBRAZILIAN TEST:FROM FLATTENED BRAZILIAN DISC TO GROOVED BRAZILIAN DISC1)

Wang Qizhi∗,†,2)Li Lian†,∗Wu Lizhou∗Huang Runqiu∗∗(

State Key Laboratory ofGeohazard Prevention and Geoenvironmental Protection，Chengdu 610059，China)†(DepartmentofCivil Engineering and Applied Mechanics，Sichuan University，Chengdu 610065，China)

Brazilian test,astandardmethod formeasuring the tensilestrength of concrete,ceram ics,rock,and otherbrittle orquasi-brittlematerials,hasbeenw idely applied inmaterialsscienceand civilengineering,research on its improvement attracted ever-grow ing attention in scientifi and engineering communities.We ideate a new specimen configuratio to improve the Brazilian test,i.e.grooved Brazilian disc(GBD),w ith a pair of narrow and shallow groove produced at opposite ends of the loading diameter,GBD relieves the shortcom ing of non-central crack initiation possibly inherent to the original complete Brazilian disc(BD)under diametrically compression,having the samemerit pertaining to our previously-proposed flattene Brazilian disc(FBD).GBD isalsomoregeneral in specimen configuration as it represents both BD and FBD.Moreadvantagesmay beobtained if thegeometric parametersofGBD aresuitably chosenby referring to the analytical stress formulas,derived by superposition of twomodelswe proposed for solving the compressive stressand tensile stress respectively.The derived two simple stress formulas can be used to predict qualitatively the stress evolution trend,both at and near the front of the apex of the groove,and also the influencin geometric parameters of GBD,which are also confirme by quantitative numerical calculationsw ith finit elementmethod.The analytical formulas,numerics and comparative experimental result jointly indicate：a slight change in the geometry and surface boundary condition of a disc-type specimen under diametral compression turns around a substantially favorable change for the stability and fracture processof the specimen,making theGBDmore favourable in the Brazilian test.

Brazilian test,grooved Brazilian disc,flattene Brazilian disc,analysis,simulation,experiment

O346.1+1，TU458+.3

A

10.6052/0459-1879-17-031

2017-01-21收稿，2017-04-10录用,2017-04-13网络版发表.

1)国家自然科学基金(41672282)和地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室开放基金(SKLG2016K015)资助项目.

2)王启智,教授,主要研究方向：岩石和混凝土等材料和结构的动态断裂.E-mail：qzwang2004@163.com

王启智,李炼,吴礼舟,黄润秋.改进巴西试验：从平台巴西圆盘到切口巴西圆盘.力学学报,2017,49(4)：793-801

Wang Qizhi,Li Lian,Wu Lizhou,Huang Runqiu.Improvementof Brazilian test：From flattene Brazilian disc to grooved Brazilian disc.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：793-801