巧找等量关系，破解圆锥曲线求离心率类高考题

黄昌杰

【摘要】圆锥曲线求离心率类的高考题如果能很好地抓住等量关系这一思想，解这类题思路会非常清晰，而且学生容易把握.

【关键词】圆锥曲线；离心率；等量关系

求圆锥曲线的离心率的高考题，对一些学生特别是基础中等以下的学生来说，往往比较有迷惑性，有时随意列出几个式子，但却不知道能不能解出自已想要的结果来.众所周知，我们从小学开始，“找等量关系，列方程，解应用题”的思想就慢慢在我们的大脑中根深蒂固，这种思想曾经在我们解应用题时给我们带来过极大方便.对于高中圆锥曲线的题目来说，我们同样可以用这种思想获得一些灵感.下面结合笔者长期的教学经验，主要以椭圆、双曲线求离心率类的高考题为例，谈一点教学心得，以供大家参考.

（一）椭圆隐含有等量关系a2=b2+c2，双曲线隐含等量关系c2=a2+b2，所以只要从这类题目中寻找到另一个等量关系建立方程，即知道a，b，c三个字母中两个字母的等式，就可以用一个字母把另外两個字母表示出来，从而把离心率求出来.

例1（2016高考山东卷理）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是.

解析假设点A在第一象限，点B在第四象限，则Ac，b2a，Bc，-b2a，所以|AB|=2b2a，|BC|=2c，由2|AB|=3|BC|等量关系结合c2=a2+b2等量关系，得离心率e=2或e=-12（舍去），所以E的离心率为2.

例2（2015高考山东卷理）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p>0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为.

解析设OA所在的直线方程为y=bax，则OB所在的直线方程为y=-bax，

解方程组y=bax，x2=2py， 得x=2pba，y=2pb2a2，

所以点A的坐标为2pba，2pb2a2，

抛物线的焦点F的坐标为0，p2.

因为F是△OAB的垂心，

所以可以建立kOB·kAF=-1等量关系，

所以-ba2pb2a2-p22pba=-1b2a2=54.

所以e2=c2a2=1+b2a2=94e=32.

例3（2014年浙江卷理）设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线x2a2-y2b2=1（a>b>0）两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.

解析由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y=bax，与y=-bax，分别于x-3y+m=0，联立方程组，解得A-ama-3b，-bma-3b，B-ama+3b，bma+3b，设AB的中点为Q，则Q-ama-3b+-ama+3b2，-bma-3b+bma+3b2，由|PA|=|PB|，则PQ⊥AB，所以得kPQkAB=-1等量关系，故-bma-3b+bma+3b2-ama-3b+-ama+3b2-m=-3，解得2a2=8b2=8（c2-a2），即c2a2=54，ca=52.

（二）常见等量关系

正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形相似、垂直的两个向量之积为0、斜率存在的两条直线斜率之积为-1等等，这些往往是建立方程的依据.以上只是抛砖引玉，读者只要仔细观察题目，必然会发现出题人会在一些字眼里暗示了等量关系，此处往往为解题的突破口.同时，我们还要提高学生解复杂方程组的计算能力，这样才能更好更快地解答此类问题.

【参考文献】

[1]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书·数学[M].北京：人民教育出版社，2007.