关系式an=Sn—Sn—1的应用
2017-08-09刘仁道
刘仁道
教材中有这样一道数列题:在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),求证a2,a3,…,an是等比数列.我们可以先给出这道题的解法,然后再分析an与Sn的关系,指出在解题时需要注意的地方.
一、数列题的解法
解法一由an+1=3Sn(n≥1),∴an=3Sn-1(n≥2).
两式相减an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n≥2),
化为an+1an=4(n≥2),n从2取值,a3a2=4,a4a3=4,…,
而a2a1=3≠4,
所以从第二项起,a2,a3,…,an是等比数列.
解法二可知an+1=Sn+1-Sn(n≥1),
代入原式有Sn+1-Sn=3SnSn+1=4Sn,
∴{Sn}是公比为4,首项为1的等比数列,
Sn=4n-1(n≥1)代入原式,
∴an+1=3·4n-1(n≥1),n從1取值a2=3,a3=12,a4=48,…,而a2a1=3≠4,所以从第二项起,a2,a3,…,an是等比数列.
其实对于初学者来说理解上述解法有些地方还是有困难的,我们可以从an与Sn之间的关系来思考.
二、分析an与Sn之间的关系
把a1+a2+…+an叫作数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an,由此可见,已知数列{an}的通项an可以求出数列的前n项和Sn,反之,若已知数列{an}的前n项和Sn,能不能求出通项公式an=f(n)呢?
因为Sn=a1+a2+…+an(n≥1),(1)
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),(2)
在这两个关系式的共同定义域n≥2的条件下,
(1)-(2)得an=Sn-Sn-1(n≥2),
当n=1时,由(1)得a1=S1,即an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).
这是数列通项an与前n项和Sn之间的关系式,值得注意的是an=Sn-Sn-1不是对一切自然数n都成立,而局限于对n≥2的一切自然数恒成立,因为当n=1时,S1-S0无意义.因此,已知数列{an}的前n项和Sn求an时,应重视分类讨论的应用.这里首先有a1=S1,若计算出的an中当n=1时值与S1相同,则可以合并为一个通项公式,否则应该为两段构成,不少人易把a1=S1忽略,造成错误.
三、常见的两种解题技巧
(一)消去Sn转化为an
例1已知各项都为正数的数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n≥1,有Sn=2a2n+an-1,求数列{an}的通项公式.
解由Sn=2a2n+an-1,
∴2Sn-1=2a2n-1+an-1-1(n≥2),
两式相减:2an=2(a2n-a2n-1)+an-an-1,
化为(an+an-1)(2an-2an-1-1)=0,
∴an-an-1=12(n≥2).
又a1=1,∴an=1+12(n-1)=12n+12.
(二)消去an转化为Sn
例2在数列{an}中,a1=1,当n≥2,数列an,Sn,Sn-12成等比数列,求{an}的通项公式.
解当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又S2n=anSn-12,∴S2n=(Sn-Sn-1)Sn-12,
即有1Sn-1Sn-1=2,a1=1,
∴1S1=1,1Sn是以1为首项2为公比的等差数列,
∴1Sn=2n-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2(2n-1)(3-2n),
综上有an=1(n=1),2(2n-1)(3-2n)(n≥2).
例3数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=12,Sn=n2an-n(n-1)(n≥1),求Sn的通项公式.
解当n≥2时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),
∴n+1nSn-nn-1Sn-1=1,
∴n+1nSn是首项为1,公差为1的等差数列,
∴n+1nSn=1+(n-1)=n,即Sn=n2n+1.
教师在平常教学中应善于思考,乐于分析,将一个例题引出多种解法,让学生掌握其中的解题技巧.在历年的高考数列题中,这样类型的试题时常出现,我们只有吃透教材,把握了解题技巧,才能得心应手.