例析“恒成立”问题的解题策略

福建省三明市宁化第一中学 涂海滨

例析“恒成立”问题的解题策略

福建省三明市宁化第一中学 涂海滨

不等式中恒成立问题是高中数学学习和考试中最常见的题型之一。对于这类问题,学生经常是束手无策,不知道从哪里下手,找不到问题的突破口,因而感觉十分困难。解决这类问题主要是运用化归与转化的数学思想、数形结合思想，借助函数的性质、导数在最值中的应用予以求解。以下是笔者在平时的教学中的一些经验总结，着力在问题的类型特点和解答策略方面给大家一些思考和借鉴。

一、分离参数，转化为求函数最值法

这是解决含参数不等式恒成立问题的常见方法，即将参数与变量分离于不等式的两边，转化为参数与函数之间的关系，然后根据题设中变量的取值范围求出变量一侧函数的最值，最终确定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决，从而缩短解题的时间。这种方法适合于分离变量过程中，不等式的移项等步骤简单明了，移项后变量一侧函数的最值易求。具体示例如下：

二、数形结合，直观求解法

数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”“数”与“形”反映了事物两个方面的特性，数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观、形象的几何图形结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，从而达到优化解题过程的目的。许多不等式都可以通过移项，将一条含参数的动直线分离到不等式的一边（笔者称该法为分离动直线），或者通过移项，将两个在同一处取到极值的函数分两边（笔者称该法为分离同极值点函数），这类题型均可采用数形结合法求解，所以数形结合策略在不等式恒成立问题的解决过程中也扮演着重要的角色。

三、分类讨论，直接求最值法

对于某些含参不等式恒成立问题，不易分离参数，也不易采取数形结合法，则可选择讨论含参函数的最值策略。具体示例如下：

四、端点效应，求出参数范围的必要性，再证明所求范围的充分性

“分类讨论，直接求最值法”是解决恒成立问题的基本方法，但分类讨论是大部分学生惧怕的过程，对于某些不等式的恒成立问题中，变量范围的端点会使得该不等式的左右两边式子恒相等，则可使用端点效应法，此法可使问题得到简单明快的解决，从而缩短解题的时间。示例如下：

五、函数比较，单调性法

在双变量恒成立问题中，若两变量分两边后，左右两边的函数形式一致，即可利用函数单调性来解决。示例如下：

六、整合变量，变更主元

在双变量恒成立问题中，若两变量可整合成一个变量，即可转换为单变量的恒成立问题来解决，示例如下：

“恒成立”问题能够把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，而且此类问题渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等重要数学思想方法，因此也成为历年高考的一个热点。本文着力归纳了常见的“恒成立”问题的题型与解题策略，希望能给备考中的老师和同学带来些许帮助。