数学“构造法”运用探索与实践

福建省尤溪第一中学 陈 贤

数学“构造法”运用探索与实践

福建省尤溪第一中学 陈 贤

数学构造法是数学解题中的一种常见方法，构造法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式，或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的方法。

构造法；整合；发散思维；知识模块

构造法在具体的解题过程中，其思维过程是：对条件、结论及其相互关系进行分析，通过创造性思维实现转译，构造适当的数学对象或形式，再通过推演实现转化，最后得出所求（证）结论。而要完成这一思维过程乃至整个构造，实践教学中要有意识地引导学生做到如下几点：

一、加强知识的整合，是激发联想的基石

加强原有知识的整合，理清知识的发生、发展过程，丰富了联想的素材，保障了类比、联想等思维过程的流畅性，是完成构造法的基石所在。

如在立体几何中，长方体、正方体、正四面体是几种重要的几何模型，它们之间也有着千丝万缕的联系，学习立体几何后，可引导学生进行归纳，形成如下知识链：

1.图形间的关系：

2.长方体具有的特征、性质：

①从外部特征看，长方体是一个直棱柱，每个表面都为矩形，同一顶点上的三条棱相互垂直；

③长方体有一个外接球，球的直径为长方体的体对角线长；

3.正方体具有长方体的所有性质，但正方体也具有其特殊性：

①正方体的每个面都为全等的正方形，面对角线都相等；

4.正四面体可由正方体得来，其体积就为所对应的正方体截去四个角后所得的几何体体积；外接球的直径即为正方体的外接球直径。

学生在具备了以上知识模块的基础上，解决以下问题时就迎刃而解。

通过联想类比等思维方法，由正方体的几何特征，构造出如图2的正方体ACBD—PC1B1D1，从而使PB与AC所成的角转化为PB与BD所成的角（详解略）。

图1 图2

二、构建知识模块，是完成创造性构造的保障

创造性思维就是运用自己掌握的知识和经验，通过分析、综合、比较、抽象，加上合理的想象，产生新思想、新观点的思维方式。在平时教学中若能引导学生做知识的有心人，及时对所学过的相同、相似或似是而非的知识进行归纳、整理，形成知识的网络，构建知识的模块，定能触发构造的灵感,点燃创新的火花，从而保障构造性解题的完成。

如三角形的重心是三角形的一个重要几何量，在平面几何、平面向量、解析几何中都有三角形重心的很多重要性质，若能及时归纳、总结，则为构造新的数学模型提供了素材，并能促进创新思维。我在教学中对三角形的重心做了如下归纳：

此题作为选择题，既可采用坐标的方法，也可采用特殊值法，令△ABC为正三角形，再通过向量的坐标形式得出答案。但若有了上述知识模块作基础，并对三角形的重心的性质有较清晰的认识，则不难联想到三角形重心的向量形式（详解略）。

由上述解题过程知，对三角形重心的全面认识，触发了构造的灵感，促进了解答的创造性。

三、鼓励发散性思维，是促进构造性解题完成的催化剂

发散性思维是指思维的广度，反映了思维的灵活性与多样性。构造法是数学中最富有活力和创造性的化归方法之一，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，同时它也渗透了思维的广泛性、深刻性和敏捷性。故在平时的教学中，努力创设问题情境，鼓励学生进行发散性思维，是促进构造法完成的催化剂。

在此题的教学中，教师“启发生疑——鼓励质疑——引导解疑”，鼓励学生通过一题多解进行发散性思维训练，从而催化了学生进行构造性解题的思维火花，达到了解题的创造性。

美国著名数学教育家波利亚曾说过：“解题的成功要靠正确思路的选择。”在构造法的教学中，不仅要教给学生构造什么，更重要的是要通过揭示构造的思维方式教会学生如何去构造，而要教会学生如何构造，教师只有从源头抓起，才能取到事半功倍的效果。