小学阶段“数形结合”思想初探

江苏省苏州工业园区青剑湖学校 祁卫勇

小学阶段“数形结合”思想初探

江苏省苏州工业园区青剑湖学校 祁卫勇

数学是研究数量关系和空间形式的科学，“数与代数”、“图形与几何”是小学阶段两个重要的课程内容。从数学发展史中我们可以看出这两者有着紧密的关系，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”两个方面统一起来。数、形都来自于自然，因此“数形结合”更有其现实意义。

数形结合；数学发展史；数、形、自然

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，“数与代数”、“图形与几何”是小学阶段两个重要的课程内容。翻开数学发展史，我们看到从远古人类发现数、形开始，数与形就从来没有分开过，小学阶段强调“数形结合”不但体现了数学教学要符合儿童思维发展的规律，更体现了我们探索数学之源的方法和古人是一脉相承的。在小学阶段，“数形结合”的方法不应该只停留在一种解题的策略，更应该从历史中看它的意义，将它提高到一个应有的高度。

一、什么是“数（式）形结合”

数与形是数学中最基本的两个研究对象，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”可以更深刻、细致地研究“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。

正如华罗庚先生所说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”

二、探讨“数形结合”的内涵

1.神奇的“黄金分割”数告诉了我们什么

大家都知道黄金分割数，从舞蹈演员的身材到黄金螺线形，从蒙娜丽莎迷人的微笑到宇宙天体的形状，都可以发现这个神奇的数字0.618，但是直到现在，人们还是没有搞清楚为什么自然界与这个数有这么大的关系。似乎冥冥之中这个数字在揭示着宇宙中的奥秘，是偶然巧合，还是一种必然？

如果我们追溯远古，想象一下古人是如何认识这个世界的，我们会发现，古人一定是先看到这个自然界，观察很多物体的形状或事物发生的规律，将这些用某种图形描绘下来，而有的图形就转化成现在的数。所以我们发现，人类应该是从自然界到图形、数这样一个认知的过程，再用数、形去反映、刻画他们所看到的世界。现在我们发现了数居然与自然界有如此紧密的联系并不奇怪，这不是恰恰说明我们的数或形对自然界的规律进行了简洁的总结和描绘，将自然界的统一规律用一个最简洁的数字0.618叙述出来了吗？0.618这个密码显示了什么？是事物生长的规律还是宇宙起源的秘密？这些需要科学家去给出答案了，简单的结果可能隐藏着更深奥的道理。

2.从一维、二维、三维空间中看“数形结合”

小学阶段的几何知识从直线上的点开始，直线上有无数个点，那么这些点和数又有什么关系呢？如果将这条直线规定了原点、单位长度、正方向，这条直线就是一条数轴，这条数轴上的点和数之间是一一对应的。

如果将两条数轴互相垂直相交，有同一个原点，这个数轴所在的平面上的任意一点与数对之间也是一一对应的。

如果经过一个原点三条互相垂直的数轴所在的空间中，任意一点和坐标也是一一对应的。

我们看出在直线、平面、空间中的点，都和数之间存在着一一对应关系，而点是最简单的图形，任何图形都可以看作是由点组成的，显然图形和数之间存在着重要的关系。

3.式（特殊的数）与形的关系

在小学阶段，有一个章节是“用字母表示数”，学习了用“式”或“方程”表示数，它们在一维、二维、三维空间中点与数又是什么关系呢？x=5、x+5=6,这些方程的解表示的是一维空间中数轴上的点；y/x=k(一定)、xy=k(一定)表示的是二维空间平面上特定的线（直线、曲线）；而z=x2+y2得到的曲面是三维空间上的抛物面。从这些方程中我们看出，在线、面、空间中，方程在不同的维度中可以用独特的图形进行呈现，这也是数与图形独特关系的最好诠释。

三、小学阶段“数形结合”的教学应用

在小学教学中，用直观的形来研究数的规律更加形象清楚。如在《非零自然数和的奇偶性》教学中，教师分三种类型进行教学：偶数+偶数、偶数+奇数、奇数+奇数。在教学中，教师充分应用几何直观进行教学，取得了良好的效果。

教师用点表示数，两个点表示2，成对出现的图形就是偶数，图形中有不成对的点就表示奇数。

如图：偶数+偶数。

两个成对出现点的图形，合成一个图形还是成对出现，所以偶数+偶数=偶数。

我们再来研究奇数+奇数，两个不成对出现的点合并在一起配成一对，变成了一个都是成对出现的图形，这个图形表示的就是偶数，所以奇数+奇数=偶数。

同样方法，我们可以研究偶数+奇数等问题，这节课从用点图表示奇偶性到合成图形表示的奇偶性，形象直观地反映出数字奇偶性求和的规律。

研究用数、式可以细致入微地研究“形”的特征，如用y/x=k(一定)、xy=k(一定)方程研究正反比例图数图象的性质等。

老子说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”从老子这句朴实的哲学思想中，就道出了数、形（阴阳图）、自然界有着千丝万缕的联系。正是由于数、形有着紧密的联系，我们就不能将二者割裂开来，应该将“数形结合”作为小学数学教学的一个重要组成部分，不仅仅是通过“几何直观”作为解题的一种策略，更应该将“数形结合”的数学思想在小学阶段教给学生，让学生在认识自然、解释自然中可以充分利用这个思想工具。